高中数学常用公式大全85315

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高中数学常用公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系 x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
.
3.包含关系
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AIC
U
B??
?C
U
AUB?R

2 ．集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集 个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；
非空的真子集有
2
n
–2个.

3.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
4.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
5.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位 ，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；若
将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)? 0
的图象.
6.分数指数幂
(1)
a
m
n
2
2
?
1
n
a
m
1
m
n
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
(2)
a
?
m
n
?
（
a?0,m,n?N
，且
n? 1
）.
?
a
n
n
7．根式的性质（1）
(
n
a)?a
；（2）当
n
为奇数时，
a
n
?a< br>；
当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
8．有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rsrs
rsr?s
n
n
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
。
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(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
9.指数式与对数式的互化式

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

10.对数的换底公式
rrr
log
a
N?
log
m
N
(a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,
N?0
).
log
m
a
n
推论
log
a
m
b?
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,n?1
,

N?0
).
m
11．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log< br>a
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R )
.
12.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L ?a
n
).
a
n
?
?
s?s,n?2
?
nn?1
*
13.等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
其前n项和公 式为
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n (n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d )n
.
2222
n?1
14.等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q?
a
1
n
?q(n?N
*)
；
q
?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?< br>?
其前n项的和公式为
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1< br>?
na,q?1
?
1
?
1
15.同角三角函数的基本 关系式
sin
?
?cos
?
?1
；
tan
?
=
16.和角与差角公式
22
sin
?
。 < br>cos
?
sin(
?
?
?
)?sin
?cos
?
?cos
?
sin
?
；
cos(?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
；
tan(
?
?
?
)?< br>tan
?
?tan
?
。
1
m
tan
?
tan
?
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
( 辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan?
?
b
).
a
。
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17.二倍角公式
s in2
?
?sin
?
cos
?
；
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
；
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
18.三角函数的周期公式
函数
y?s in(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，
ω＞0)的周期
T?
2
?
?
?
ω＞0)的周期
T ?
.
?
19.正弦定理
20.余弦定理
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?< br>?
2
且A≠0，
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，abc
???2R
.
sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
；
b
2
? c
2
?a
2
?2cacosB
；
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
21.三角形面积定理 < br>111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）. 222
111
（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222
（1）
S?
22.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
。
??
222
23.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
24.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
25．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则a
P
b(b
?
0)
? x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
26.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
27.平面向量的坐标运算 < br>(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x< br>2
,y
2
)
，则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
( x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)
.
。
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uuuruuuruuur
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2< br>?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x< br>2
?y
1
y
2
)
.
28.两向量的夹角公式
cos
?
?
29.平面两点间的距离公式
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2)
).
uuuruuuruuur
d
A,B
=
|AB |?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
30.向量的平行与垂直
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2?x
2
y
1
?0
.
a
?
b(a?
0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
.
31.常用不等式：
（ 1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）
a,b?R
?
?
22
a?b
?ab
(当 且仅当a＝b时取“=”号)．
2
22222
（3）柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

（4）
a?b?a?b
.
32.最值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
； < br>（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
33.斜率公式
k?
34.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
1
2
s
.
4
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P< br>2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
（3）两点式
y?y
1
x? x
1
?
(
y
1
?y
2
)(
P1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
( x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
。
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(4)截距式
xy
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
35.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2< br>:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2
B
2
C
2< br>②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
36.点到直线的距离
d ?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
( 点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
37. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
?
x?acos
?
x
2
y
2
38 .椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
?
y?bsin
?
39．椭圆的的内外部
22< br>x
0
y
0
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
. < br>abab
22
x
0
y
0
x
2
y2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB? (x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
或
22
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦 端点
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)
，由方程
?
?
y?kx?b
2
消去y 得到
ax?bx?c?0
，
??0
,
?
为直线
?< br>F(x,y)?0
。
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AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
x
2
y
2
41.双曲线
2
?
2
? 1(a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?|e(x?)|
，
PF
2
?|e(?x)|.
cc
42.双曲线的内外部
x
2
y
2
( 1)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲 线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
ab< br>43.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
x
0
y
0
?
2
?1
. 2
ab
22
x
0
y
0
?
2
? 1
.
2
ab
x
2
y
2
x
2y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
2222
xyxy
(2)若双曲线与< br>2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2< br>??
（
??0
，焦点在x轴
abab
上，
??0，焦点在y轴上）.

44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
45.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
46.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实数 对
x,y
,使p＝xa＋yb．
47.空间向量基本定理
如果三个向 量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，
y，z，使p＝xa＋y b＋zc．
48.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1< br>,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a
＋b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(2)
a
－b＝
(a1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(3)λ
a
＝
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·b＝
a
1
b1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
；
uuuruuuruuur
49.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
AB?OB?OA
=
(x
2
?x1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
。
50．空间的线线平行或垂直
。
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?
x
1
?
?
x
2
rr
rrrrrr
?
设
a?(x< br>1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2< br>,y
2
,z
2
)
，则
a
P
b
?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
??
y
2
；
?
z?
?
z
2
?
1
rrrr
a?b
?
a?b?0
?
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
.
51.空间两点间的距离公式
若A
(x
1< br>,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y< br>2
,z
2
)
，则
uuuruuuruuur
d< br>A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z2
?z
1
)
2
.
52.球的半径是R，则
4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R
．
其体积
V?
53．柱体、锥体的体积
柱体的体积V=
S
h

1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
3
54.分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
55.分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
56.排列数公式
A
n
m
=
n(n?1)?(n?m? 1)
=
注:规定
0!?1
.
57.组合数公式
n！< br>*
.(
n
，
m
∈N，且
m?n
)．
(n?m)！
n！
A
n
m
n(n?1)?(n?m?1)
*
C
=
m
==(
n
∈N，
m?N
，且m?n
).
m！?(n?m)！
1?2???m
A
m
m
n
58.组合数的两个性质
(1)
C
n
=
C
n
mn?m
；(2)
C
n
+
C
n
mm?1
=
C
n?1
。
m
0
注:规定
C
n
?1
.
n0n1n?12n?22rn?rrnn
59.二项式定理
(a?b)?C< br>n
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab ???C
n
b
；
rn?rr
二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
.
60.等可能性事件的概率
P(A)?
m
.
n
59.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
60.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
。
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P(A
1
＋A2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋ …＋P(A
n
)．
61.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
kkn?k
62.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
P
n
(k)?C
n
P(1?P).

63.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
P
（2）
Pi
?0(i?1,2,L)
；
1
?P
2
?L?1
.
64.数学期望
E
?
?x
1
P
1?x
2
P
2
?L?x
n
P
n
?L
65.数学期望的性质
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
.
66.方差
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p< br>2
?L?
?
x
n
?E
?
?
?pn
?L

67.方差的性质
D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；
68.标准差
??
=
D
?
.
69. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
222< br>f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
70.几种常见函数的导数
'n?1
(1)
C
?
?0
（C为常数）。(2)
(x
n
)?nx(n?Q)
。(3)
(sinx)
?
?cosx
。
(4)
(cosx)
?
??sinx
。(5)
(lnx)
?
?
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
11
e
x
；
(loga)
?
?log
a< br>。
xx
71.导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1 ）
(u?v)?u?v
.（2）
(uv)?uv?uv
.（3）
() ?
2
vv
''''''
72.判别
f(x
0
)是极大（小）值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
。
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73.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
74.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a?bi|< br>=
a
2
?b
2
.
75.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?
2
i (c?di?0)
.
222
c?dc?d
76．几个统计常量
（1）样本均值.
（2）样本方差.

;









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那是心与心的交汇，是相视的莞尔一
笑，是一杯饮了半盏的酒，沉香在喉，甜润在心。
红尘中，我们会相遇一些人，一些事，跌跌撞撞里，逐渐懂得了这世界，懂得如何经营自己的内心， 使它柔韧，更适应这风雨征途，而不会在过往的错失里纠结懊悔一生。
时光若水，趟过岁月的河， 那些旧日情怀，或温暖或痛楚，总会在心中烙下深深浅浅的痕。生命是一座时光驿站，人们在那里来来去去。一些 人若长亭古道边的萋萋芳草，沦为泛泛之交；一
些人却像深山断崖边的幽兰，只一株，便会馨香满谷。
人生，唯有品格心性相似的人，才可以在锦瑟华年里相遇相知，互为欣赏，互为懂得，并沉淀下来， 做一生的朋友。
试问，你的生命里，有无来过这样一个人呢？
张爱玲说“因为懂得，所以慈悲”.

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于千万人群中，遇见你要遇见的人，没有早一步，也没有晚一步 ，四目相对，只淡淡的问候一句：哦！原来你也在这里，这便足够。
世间最近与最遥远的距离，来 自于心灵与心灵。相遇了，可以彼此陌生，人在咫尺心在天涯，也可初见如旧，眼光交汇的那一刻，抵得人间万般 暖。


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