高中高等数学公式汇总

空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
? y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2< br>向量在轴上的投影：Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?是AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
?a< br>2
)?Prja
1
?Prja
2
?
?
??
a?b?a?bcos
?
?a
x
b
x
?a< br>y
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos
?
?
i
?
??
c?a?b?a< br>x
b
x
j
a
y
b
y
a
x< br>b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
a
x
?a
y
?a
z
?b
x
?b
y
?b
z
222222
k
??
?
???< br>a
z
,c?a?bsin
?
.例：线速度：v?w?r.
b< br>z
a
y
b
y
c
y
a
z
?< br>?
?
b
z
?a?b?ccos
?
,
?
为锐角时，

c
z
a
x
??
????
向 量的混合积：[abc]?(a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的体积 。
?
1、点法式：A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?C( z?z
0
)?0，其中n?{A,B,C},M
0
(x
0
, y
0
,z
0
)
2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0
x yz
3、截距世方程：???1
abc
平面外任意一点到该平面的距离：d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A
2
?B
2
?C
2
平面的方程：
?
x?x
0
?mt
x?xy?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方 程：
0
???t,其中s?{m,n,p};参数方程：
?
y?y
0
?nt
mnp
?
z?z?pt
0
?
二次曲面：x
2
y
2
z
2
1、椭球面：
2
?2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
2、抛物面：??z（,p,q同号）
2p2q
3、双曲面：
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面：
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2
双叶双 曲面：
2
?
2
?
2
?（马鞍面）1
abc

多元函数微分法及应用
全微分：dz?
?z?z?u?u ?u
dx?dy　　　du?dx?dy?dz
?x?y?x?y?z
全微分的近似计 算：?z?dz?f
x
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y
多元复 合函数的求导法：
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]　　　????　dt?u?t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]　　 　?　???
?x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，
du ?
?u?u?v?v
dx?dy　　　dv?dx?dy　
?x?y?x?y
隐函数的求导公式：
F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F(x,y)?0，　　??，　　
2
?(?
x
)＋(?
x< br>)?
dxF
y
?xF
y
?yF
y
dx
dx
F
y
F
x
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0，　 ??，　　??
?xF
z
?yF
z

?F
?
F(x,y,u,v)?0
?(F,G)
?u
隐函数方程组：　　　J??
?
?G
G(x,y,u,v)?0
?(u,v)
?
?u
?u 1?(F,G)?v1?(F,G)
???　　　　???
?xJ?(x,v)?xJ?(u, x)
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???　　　　???
?yJ?(y,v )?yJ?(u,y)
微分法在几何上的应用：
?F
?v
?
Fu
?G
G
u
?v
F
v
G
v

?
x?
?
(t)
x?xy?y
0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程：
0
??
??
?
(t)
?
(t)
?
?
(t
0
)
00
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程：
?
?
(t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y
0
)?
?
?
(t
0< br>)(z?z
0
)?0
?
?
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
?
F(x,y,z)?0< br>若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,
?
GG
G
x
Gx
?
yz
G
z
?
G(x,y,z)?0
曲面F (x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
)，则：
?
1、过此点的法向量：n?{F
x
(x
0
,y
0
,z
0
),F
y
(x
0
,y
0
, z
0
),F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过 此点的法线方程：??
F
x
(x
0
,y
0
,z0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
F
y
}
G
y
2、过此点的切平面方程：F
x
(x< br>0
,y
0
,z
0
)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0< br>)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)( z?z
0
)?0

方向导数与梯度：
?f?f?f
函 数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos
?
?sin?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f
?
?f
?
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?i ?j
?x?y
??
?f
??
它与方向导数的关系是：?gradf( x,y)?e，其中e?cos
?
?i?sin
?
?j，为l方向上的
?l
单位向量。
?f
?是gradf(x,y)在l上的投影。
?l
多元函数的极值及其求法：
设f
x
(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)?0，令：f
xx(x
0
,y
0
)?A,　f
xy
(x
0
,y
0
)?B,　f
yy
(x
0
,y
0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极大值2
AC?B?0时，
?
?
?
A?0,(x
0
, y
0
)为极小值
?
?
2
则：值
?
AC?B ?0时，　　　　　　无极
?
AC?B
2
?0时,　　　　　　　不确定?
?
?
重积分及其应用：

??
f(x,y)dxd y?
??
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
?
?
?z
?
1?
??
?
?
?
?y
?
?
dxdy
?x
??
??
22
平面薄片的重心：x?
M
x
?
M
??
x?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?< br>D
D
,　　y?
M
y
M
?
??
y< br>?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴I
x
?
??
y
2
?
(x,y)d
?
,　　对于y轴I
y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平面薄片（位于xoy平面） 对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{F
x
,F
y
,F
z
}，其中：
F
x
?f
??
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
222
2
，　　F
y?f
??
3
D
?
(x,y)yd
?
(x?y? a)
222
2
，　　F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
22
3
2< br>2
柱面坐标和球面坐标：

?
x?rcos
?
?
柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
, z)rdrd
?
dz,
?
y?rsin
?
,　　　
???
??
?
z?z
?
其中：F(r,
?
,z)? f(rcos
?
,rsin
?
,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标：
?
y?rsin?
sin
?
，　　dv?rd
?
?rsin
?
?d
?
?dr?rsin
?
drd
?
d
?
?
z?rcos
?
?
2
??
r(
?
,?
)
???
f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,< br>?
,
?
)r
??
2
sin
?
drd
?
d
?
?
?
d
?
?
d
?
00
?
F(r,
?
,
?
)r
0
2
sin
?
dr
重心：x?
1
M
???
x< br>?
dv,　　y?
?
?
1
M
???
y
?
dv,　　z?
?
?
1
M
???
z
?
dv，　　其中M?x?
???
?
dv
??
?
转动 惯量：I
x
?
???
(y
2
?z
2
)?
dv，　　I
y
?
???
(x
2
?z
2
)
?
dv，　　I
z
?
???
(x
2
?y
2
)
?
dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对 弧长的曲线积分）：
?
x?
?
(t)
设f(x,y)在L上连续，L 的参数方程为：,　　(
?
?t?
?
),则：
?
y?
?
(t)
?
?
L
?
x?t
f(x,y)ds?< br>?
f[
?
(t),
?
(t)]
?
?
2
(t)?
?
?
2
(t)dt　　(
?
?
?
)　　特殊情况：
?
?
y?
?
(t)
?
?

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
?
x?
?
(t)
设L的参数方程为，则：
?
y?
?
(t)
?
?
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?
?
{P[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)?Q[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)}dt
L
两类曲线 积分之间的关系：
?
Pdx?Qdy?
?
(Pcos
?
?Q cos
?
)ds，其中
?
和
?
分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P
格林公式：(?)dxdy?Pdx?Q dy格林公式：(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy
?????
?x?y?x ?y
DLDL
?Q?P1
当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A?< br>??
dxdy?
?
xdy?ydx
?x?y2
LD
· 平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P(x,y)，Q(x,y )在G内具有一阶连续偏导数，且
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求 积：
?Q?P
在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：
? x?y
(x,y)
?Q?P
＝。注意奇点，如(0,0)，应
?x?y
u(x,y)?
(x
0
,y
0
)
?
P(x,y) dx?Q(x,y)dy，通常设x
0
?y
0
?0。

曲面积分：
22
对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x, y)]1?z(x,y)?z(x,y)dxdy
xy
????
?D
xy对坐标的曲面积分：
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x ,y,z)dxdy，其中：
?
号；
??
R(x,y,z)dxdy????
R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
?D
xy
号；
??
P(x,y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z] dydz，取曲面的前侧时取正
?D
yz
??
Q(x,y,z)dzdx??
??
Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
?D
z x
两类曲面积分之间的关系：
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
? ?
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??
高斯公式：

???
(
?
? P?Q?R
??)dv?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??< br>(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds?x?y?z
??
高斯公式的物理意义——通量与散度：
?
?P?Q?R
?
散度：div
?
???,即：单位体积内所产生的流体质量，若div?
?0,则为消失...
?x?y?z
?
?
通量：
??
A?nds?
??
A
n
ds?
??
(Pcos?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds，
?
因此 ，高斯公式又可写成：
???
divAdv?
??
A
n
ds
??
???
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
??
(
?
?R?Q?P?R?Q?P
?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??
Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z?x?x?y
?
cos
?
?
?y
Q
cos
?
?
?z
R

dydzdzdxdxdycos
?
????
上式左端又可写成：?
????
?x?y?z?x
??
PQRP
?R?Q?P?R?Q?P
空间曲线积分与路径无关的条件：?，　?，　?
?y?z?z?x?x?y
ijk
?
???
旋度：rotA?
?x?y?z
PQR
??
?
向量场A沿有向闭曲线?的环流量：Pdx?Qdy?Rdz?A
??
?tds
??
常数项级数：
1?q
n
等比数列：1?q?q???q?
1?q< br>(n?1)n

等差数列：1?2?3???n?
2
111
调 和级数：1?????是发散的
23n
2n?1
级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
?
?
?1时，级数收敛?
设：
?
?lim
n
u
n
，则
??
?1时，级数发散
n??
?
?
?1时，不确定
?2、比值审敛法：
?
?
?1时，级数收敛
U
?
设：?
?lim
n?1
，则
?
?
?1时，级数发散
n??
U
n
?
?
?1时，不确定
?
3、定义法：< br>s
n
?u
1
?u
2
???u
n
;l ims
n
存在，则收敛；否则发散。
n??

交错级数u
1
?u
2
?u
3
?u
4
??(或?u
1?u
2
?u
3
??,u
n
?0)的审敛法——莱布尼兹 定理：
?
?
u
n
?u
n?1
如果交错级数满足s? u
1
,其余项r
n
的绝对值r
n
?u
n?1
。
?
limu?0
，那么级数收敛且其和
?
?
n??n
绝对收敛与条件收敛：
(1)u
1
?u
2
???u
n
??，其中u
n
为任意实数；
(2)u
1
?u< br>2
?u
3
???u
n
??
如果(2)收敛，则(1) 肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(?1)
n
调和级数：
?
n
发散，而
?n
收敛；
1
　　级数：
?
n
2
收敛；
ｐ?１时发散
1
　　p级数：
?
n
p
　　
p?1时 收敛
幂级数：

1
x?1时，收敛于
1?x
1?x? x
2
?x
3
???x
n
??　　
x?1时，发散< br>对于级数(3)a
0
?a
1
x　?a
2
x
2
???a
n
x
n
??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时 不定
1
?
?0时，R?
求收敛半径的方法：设lim
a
n? 1
?
?
，其中a
n
，a
n?1
是(3)的系数，则
?
?0时，R???
n??
a
n
?
???时，R? 0
?
函数展开成幂级数：
f
??
(x
0
)f(n)
(x
0
)
2
函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)???(x?x
0< br>)
n
??
2!n!
f
(n?1)
(
?
)
余项：R
n
?(x?x
0
)
n?1
,f(x) 可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR
n
?0
n??
(n?1)!f
??
(0)
2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x??? x??
2!n!
一些函数展开成幂级数：
m(m?1)
2
m(m? 1)?(m?n?1)
n
x???x??　　　(?1?x?1)
2!n!

2n?1
x
3
x
5
x
sinx?x?????(? 1)
n?1
??　　　(???x???)
3!5!(2n?1)!
(1?x )
m
?1?mx?
欧拉公式：
?
e
ix
?e?ix
cosx?
?
?
2

e
ix
? cosx?isinx　　　或
?
ix?ix
?
sinx?
e?e< br>?
2
?
三角级数：
a
0
?
f(t)?A< br>0
?
?
A
n
sin(n
?
t?
?< br>n
)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sin nx)
2
n?1n?1
其中，a
0
?aA
0
，a< br>n
?A
n
sin
?
n
，b
n
?A< br>n
cos
?
n
，
?
t?x。
正交性：1,s inx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[?
?
,
?
]
上的积分＝0。
傅立叶级数：
?

a
0
?
f(x)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)，周期?2
?
2
n?1
?< br>?
1
(n?0,1,2?)
?
a
n
?
?f(x)cosnxdx　　　
?
?
?
?
其中
?
?
?
b?
1
f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)
?
n
?
?
?
?
?
?
2
11
1?
2
?
2
???
8
35
　
?
2
111
?
2
?
2
???
2
24
642
正弦级数：a
n
?0，b
n
?
余弦级数：b
n
?0，a
n
?
?
2
111
1?
2
?
2
?
2
???（相加）
6
432
?
2
111
1?
2
?
2
?
2
???（相减）< br>12
342
f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)?
?b
?
?
0
2
?
n
sinnx是奇函数
2
?
?
?
0
f(x)cosnxdx　　n?
0,1,2? 　f(x)?
a
0
?
?
a
n
cosnx是偶函数< br>2

周期为
2l
的周期函数的傅立叶级数：
a
0< br>?
n
?
xn
?
x
f(x)??
?
( a
n
cos?b
n
sin)，周期?2l
2
n?1
ll
l
?
1n
?
x
dx　　　(n?0,1,2?)
?
a
n
?
?
f(x)cos
ll
?
?l
其中
?
l
?
b?
1
f(x)sin
n?
x
dx　　　(n?1,2,3?)
?
n
l
?
l
?l
?