高中数学司马红丽_第11讲 椭圆 讲义-高中数学教师的荣誉有什么
高中数学公式大全(学考简化版)
1. 元素与集合的关系
x?A?x
?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.集合运算 全集U
交集:
A?B?{xx?A且x?B}
,并集:
A?B?{xx?A或x?B}
补集:
C
U
A?{xx?U且x?A
}
,
3.集合关系 (可以数形结合---文氏图、数轴)
空集
?
子集
A?B
:任意
x?A?
4. 包含关系
A
5.集合
{a
1
,a
2
,
?A
;
A?B?B?A?B
x?B
A?B?A?A?BB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A
?AC<
br>U
B???C
U
AB?R
,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个;真子集有
2
n
–1个;非空子集有
2
n
–1个。
,
6. 函数的单调性 设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
,
?<
br>x
?
x
2
?
x
1
?0
在
a
,
b
上是增函数; 若
?
y
?
f
(
x
2
)?
f
(
x
1
)?0
?
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数. 若
?
y
?
f
(
x
2
)?
f
(x
1
)?0
?
f
(
x
)
对于复合函数
的单调性:
f
?
?
g
?
x
?
?
?
单调性满足:同增异减。即:
f
?
x
?
与
g<
br>?
x
?
的增减性相同,那么符
合函数就是增函数(同增);
f
?
x
?
与
g
?
x
?
的增减性相反
,那么符合函数就是减函数(异减))。
7.函数的奇偶性
判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
f(x)偶函数
?
f(?x)?f(x)
?
f(x)图象关于
y
轴对称
f(x)奇函数
?f(?x)??f(x)
?
f(x)图象关于原点对称
注:(1)
f(x)奇函数,在x=0有定义
?
f(0)=0
(2)对于复合函数:
f
?
?
g
?
x
?
?
?
:有偶则偶,两奇为奇
奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象
关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么,
这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
8.二次函数解析式的两种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
二次函数在闭区间上的的最值 二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
p,q
上的最值只能在
2
22
??
??
?
?
b
处及区间的两端点处取得,具体如下:
2a
b
b
?
?
p,q
?
,则
f(x)
min
?f
(?),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
; (1)当a>0时,若
x??
2a
2a
b
?
?
p,q
?
,
f(x)
max
?
max
?<
br>f(p),f(q)
?
,
f(x)
min
?
min<
br>?
f(p),f(q)
?
.
x??
2a
b
?
?
p,q
?
,则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
, (2)当a<0时,
若
x??
2a
b
?
?
p,q
?
,
x??
则
f(x)
m
max(f),p(f)q
??
,
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?.
xa
?
2a
x??
9. 指数函数与对数函数
y=a
与
y=log
a
x
x
注:
y=a
与
y=log
a
x
图象关于
y=x
对称(互为反函数)
分数、指数、有理数幂
x
a?
m
n
1
n
a
m
(
a?0,m,n?N
,且<
br>n?1
);
a
?
?
m
n
?
1
a
m
n
(
a?0,m,n?N
?
,且
n?1).
?
a,a?0
.
(
n
a)
n
?a
;
当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
; 当
n
为偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
?a,a?0
?
有理指数幂的运算性质
a?a?a
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)
.
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
.
指数式与对数式的互化式
log
a
N?b?a
b?N
(a?0,a?1,N?0)
.
log
m
N
对数的换底公式
log
a
N?
,
log
a
m
log<
br>m
a
b
n
?
n
log
a
b
m
对数的四则运算法则 若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log
a
注:性质
log
a
1?0
,
log
a
a?1
,
a
常用对数
lg
M
n
?log
a
M?log
a
N
;(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
.
N
log
a
b
?b
,
log
a
a
b
?b
<
br>,
N?log
10
N
,
lg2?lg5?1
,
自然对数
lnN?log
e
N
lne?1
*10.
函数图像与方程(选) 图象变换 (1)平移:“左加右减,上正下负”
(2)翻折:
y?f(x)?y?|f(x)|
保留
x
轴上方部分,并将
下方部分沿
x
轴翻折到上方
y
y=f(x)
y
y=|f(
x)|
a
o
b
c
x
a
o
b
c
x
y?f(x)?
y?f(|
x|)
保留
y
轴右边部分,并将右边部分沿
y
轴翻折到左边
y
y=f(x)
y
y=f(|x|)
a
o
b
c<
br>x
a
o
b
c
x
11.
零点定理 若
f(a)f(b)?0
,则
y?f(x)<
br>在
(a,b)
内有零点
注:函数
f(x)
的零点
?
方程
f(x)?0
的根
?
函数
f(x)
图像与x轴
焦点的横坐标。
12.特殊角的三角函数值
?
sin
?
0
0
?
6
1
2
3
2
3
3
?
4
2
2
2
2
1
?
3
3
2
1
2
?
2
1
?
0
3
?
2
?1
cos
?
1
0
?1
0
tg
?
0
3
0
13.弧长
l?
?
?r
扇形面积
S?lr
sin
?
,
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
1
2
22
14. 同角三角函数的基本关系式
sin
?
?cos
?
?1
,
tan
?=
15.
正弦、余弦的诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限);符号:“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
16. 和差角公式
tan(
?
?
?
)?
ta
n
?
?tan
?
1tan
?
tan
?<
br>sin
?
sin
?
;
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
s
in
?
;
cos(
?
?
?
)?
cos
?
cos
?
17. 二倍角公式
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?<
br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
22
18. 辅助角公式
asin
?
?bcos?
=
a?bsin(
?
?
?
)
(其中
tan
?
?
b
,a要为正 ).
a
19.
正弦定理
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
22
2
b
2
?c
2
?a
2
20. 余弦定理
a?b?c?2bccosA
,
(求边) ;
cosA?
(求角)
2bc
21. 面积定理
S?
111
absinC?bcsinA?casinB
.
222
22.三角函数的图象性质
y=sinx y=cosx y=tanx
图象
单调性:
值域
奇偶
周期
对称轴
??
(?,)
增
22
[-1,1]
奇函数
2π
(0,
?
)
减
[-1,1]
偶函数
2π
??
(?,)
增t
22
无
奇函数
π
无
x?k
?
?
?
2
x?k
?
?
?
?
?
?k
?
,0
?
?
2
?
中心
?
k
?
,0
?
?
k
?
?
,0
?
?
2
??
23. 实数与向量的积的运算律,设λ、μ为实数,量那么
结合律:λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb.
24.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?
y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1<
br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a-b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设A
(x
1
,y
1
)
,
B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x<
br>2
?x
1
,y
2
?y
1
)
. (4)设a=
(x,y),
?
?R
,则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
25.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ.
26. 对空间任意两个向量a、b(b≠0
),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
P、A、B
三点共线
?AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.
27. 两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
28. 向量的平行与垂直 设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,且b?
0,则
平行:
ab?
a?
?
b
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
(
b?0<
br>);垂直:
a?b?a?b?0
?x
1
x
2
?y1
y
2
?0
29. 三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶
点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则△ABC的重心的坐标是
G(
30. 等差数列
定义:
a
n?1
?a
n
?d
,通项:
a
n
?a
1
?(n?1)d
,
求和:
S
n
?
中项:
b?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
n(a
1
?a
n
)
1
?na
1
?n(n?1)d
2
2
a?c
(
a,b,c
成等差)性质:若
m?n?p?q<
br>,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
2
31. 等比数列
a
定义:
n?1
?q(q?0
)
,通项:
a
n
a
n
2
?
na
1
(q?1)
?
?a
1
q
n?1
求和:
S
n?
?
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
?
?
1?q
中项:
b?ac
(
a,b,c
成等比)
性质:若
m?n?p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
32. 数列通项与前
n
项和的关系
?
s
1
?a
1
(n?1)
a
n
?
?
( 数列
{an
}
的前n项的和为
s
n
?
s
n
?s
n?1
(n?2)
?a
1
?a
2
??a
n
).
33.
数列求和常用方法 公式法、裂项法、 错位相减法
22
34.常用不
等式:(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
.
(2)
a,b?R
?
?
(3)
ab?(
a?b
?ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
2
a?b
2
)
(当且仅当a=b时取“=”号).
2
备注:求最值条件是“一正、二定、三相等”
35. 最值定理
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
;
(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s
.
4
2
2
36. 一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)
,解不等式的步骤:
(1)化正使得a>0,(2)用
求根公式法求
ax?bx?c?0
的根,(3)写解集:大于取两边,小于取中间。
37.三视图 正视图、侧视图、俯视图(长对正、高平齐、宽相等)
''
38.直观图 斜二测画法
?X
'
OY
=45,平行
X轴的线段,保平行和长度,平行Y轴的线段,保平行,长
0
2
度变原来一半
39.体积与侧面积
V
柱
=
S
底
h
,
V
锥
=
S
底
h,V
球
=
πR
3
,S
圆锥侧
=
?
rl
, S
圆台侧=
?
(R?r)l
,S
球表
=
4
?
R
2
40. 平行的判定与性质
?
a
b
1
3
4
3
线面平行:
a
∥
b
,
b?
?
,a?
?
?
a
∥
?
?
a<
br>∥
?
,
a?
?
,
?
?
?
?
b?
a
∥
b
面面平行:
AB
∥
?
,
AC
∥
?
?
平面
ABC
∥
?
?
∥
?
,
a?
?
?
a
∥
?
41.垂直的判定与性质
线面垂直:
p?AB,p?AC?p?面ABC
面面垂直:
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;
若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
42.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似
,截面面积与底面面积的比等于顶点
到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多
边形是相似多边形,相似多边形面积
的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等
于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
43. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,
正方体的外接球的直径是正方体的
体对角线长.
44.直线倾斜角
范围
?
0,
?
?
1
2. 斜率公式
k?t
an
?
?
2
(
P
1
(x
1
,y<
br>1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
).
x
2
?x
1
y?y
45. 直线的方程形式
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直
线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)<
br>,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
(3)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
46. 两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
①
l1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k<
br>1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A<
br>1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1<
br>C
1
; ②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
;
??<
br>A
2
B
2
C
2
47.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(
除直线
x?x
0
)。
(2)
平行直线系方程:与直线
Ax
?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
),λ是参变量.
(3)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
(A≠0,B≠0)垂直的直线
系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ
22
是参变量.
48. 距离公式 两点间距离:|AB|=
(x
1
?x
2<
br>)?(y
1
?y
2
)
d?
点到直线距离:
|Ax
0
?By
0
?C|<
br>A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
:
Ax?By?C?0
).
49. 圆的方程形式
(1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.圆心(a,b),半径r
22
(2)圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
>0).
22
D
2
?E
2
?4F
?
DE
?
圆心
?
?,?
?
半径
r?
2
2
??
2
222
50. 点
P(x
0<
br>,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
,若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
,
22<
br>则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
51. 直线与圆的位置关系
222
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r<
br>的位置关系有三种:
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
52.
两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2
,
O
1
O
2
?d
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
53.
直线截圆所得弦长
AB?2r?d
备注:其中d表示圆心到弦AB的距离,r表示圆的半径。
54.古典概型:<
br>P(A)?
22
m
A包含的基本事件个数
A的区域长度(面积或体积)
()2.几何概型:
P
?
A
?
?
n区域总长度(面积或体积)
总的基本事件个数
55.常用抽样(不放回):简单随机抽样:
逐个抽取(个数少), 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个
数多),分层抽样:总体分成几层,各层
按比例抽取(总体差异明显)
56.频率分布直方图 小长方形面积=组距×
频率
=频率 各小长方形面积之和为1
组距
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