高中数学公式及知识点总结大全(精华版).docx

、函数、导数

高中文科数学公式及知识点速记



1、函数的单调性


(1)设x、x2∈[a,b],x
f(x)-f(x)<0f(x)在a,b]上是增函数


f(x)-f(x2)>0÷f(x)在a,b]上是减函数


(2)设函 数y=f(x)在某个区间内可导,若f(x)>0,则f(x)为增函数;若f(x)<0,则f(x)为减< br>

函数



2、函数的奇偶性


对于定义域内任意的x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数


对于定义域内任意的x,都有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数。


奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义


函数y=f(x)在点 x处的导数是曲线y=f(x)在P(x,f(x)处的切线的斜率f(x),相应的切线方


程是y-y0=f(x)(x-x)





*二次函数:(1)顶点坐标为(4a):(2)
4、几种常见函数的导数
bac-b
焦点的坐标为(

①C=0;②(x2)=nx2:③(snx)=cosx;④(cosx)=-snx

⑤(a2)=aha:⑥(e)=e;⑦(log,x)=






5、导数的运算法则

(1)(u±v)=u±v.(2)(uv=uV+uv.(3)

6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程f(x)=0.当f(x)=0时

(1)如果在x附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,那么f(x)是极大值:


(2)如果在x附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,那么f(x)是极小值




(1)aa=Va(a>0,mn∈Nn>1)
指数函数、对数函数

分数指数幂


(a>0,mn∈N,且n>1)





根式的性质

(1)当n为奇数时,Va2=a
,a≥0

a
当n为偶数时,a°=a=

a.a<0

有理指数幂的运算性质

2

(k∈Z)时,ym=-1.

n
0y=±-x

若q则
p
原命题互逆、逆命题

若p则
q

互
2丌


偶函数


(a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0)
1+cos 2



a


否


否
2

否命题

=入(入>0,焦点在x轴上,入
<0,

逆

奇函数


在[2k
若1p
-
则
,k(k ∈Z)
1q互逆
上是增
若1q则p


在k丌

kT+


函数
2抛
:在
物
[2kr,2 k7+]
线上的点到焦点距离等于它到准线的距离)

(了解即可)


(k∈Z)上是增函数

(k∈Z)上是减函数



0
b 4ac-b-+

0


4a

42.证明直线与直线的垂直
a>1
的思考途径

对称中(kr
对称中心(k+2,0(k∈z)
(1)转化为相交垂直


经过(8,y)点

逆否命题
否


】垂
0(k∈z)
(2)转化为线面垂直
对称轴x=kr(k∈Z)
(4转化⑧(hx)为线与形成射影的斜线垂直

(3)转化为线与另一线的射影垂直

.证明直线与平面垂直
X
的思考途径
a
43
xIn
无对称轴

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直






y=coSx









q≠


(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直
u v-uv

(3)转化为该
V≠
直线与平面的一条垂线平行
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。
44.证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角

(2)转化为线面垂直

y= tanx

tan 2a


sin a

R

xx≠kr+-,k∈Z


x=a cos 6





第109674
2
358页 (
(
共10
10
页页
页
))))
)
a
1,参数方程是
ly=bine

既无最大值也无最小值

R

2a

1)aa=a(a>0,r,s∈Q
(2)(a2)=a

ab)=ab(a>0,b>0,r∈Q


注:若a>0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数< br>


指数幂都适用

指数式与对数式的互化式:log,N=ba=N(a>0,a≠1,N>0)


对数的换底公式:lg, N log N

g a







对数恒等式:aN=N(a>0,且a≠1,N>0)

推论1ogb=1og,b(a>0,且a≠1,N>0)

常见的函数图象






X
k>0

y=ax+bx+c


二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量


8、同角三角函数的基本关系式
sin





sin e

cose



9、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

k丌±a的正弦、余弦,等于a的同名函数,前面加上把a看成锐角时该函数的符号

k丌+一±a的正弦、余弦,等于a的余名函数,前面加上把a看成锐角时该函数的符号。


(1)sin(2kT+a)=sina, cos(2kr+a)=cos a, tan(2kr+a)=tana(kEZ)


(2)sin(T+a)=-sina, cos(T+a)=-cosa, tan(T+a)=tana


(3)sin(-a)=-sina, cos(-a)=cos a, tan(-a)=-tana



4)sin(丌-a)=sina,cos(丌-a)=-cosa,tamn(-a


口诀:函数名称不变,符号看象限


SIn


a=sin a.(6sin-+a|=cos a, cos -+a


-a= cos a, cOS



口诀:正弦与余弦互换,符号看象限



10、和角与差角公式

sin(a±p)= sin a cos B± cos asin B

cos(a+B)=cos acos BFsinasin B:

tan(a±)






tana±tanf

Intan a tan B

11、二倍角公式

sin 2a=sin acos a

cos 20= cOS

tan 2a

2 tan a

1-tan-a



2cos

公式变形

2sin'a=l-cos2a, sima l-cos2a


12、函数y=sin(ox+q)的图象变换


①的图象上所 有点向左(右)平移个单位长度,得到函数y=sm(x+q)的图象:再将函数y=si(x+可)


的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(a +q)的图象


再将函数y=sin(ax+q)的图象上所有点的纵坐标伸长(缩 短)到原来的A倍(横坐标不变),得到函数


y=Asin(ax+q)的图象


②数y=sinx的图象上所有点的横 坐标伸长(缩短)到原来的一倍(纵坐标不变),得到函数



y= SIn ox的图象:再将函数y= SIn ox的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数



y=sin (amx+q)的图象:再将函数y=si(ax+q)的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍

(横坐标不变),得到函数y=Asin(ax+q)的图象



13.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性

数

质

=SIn x










图象

3丌

定义域

值域

R

1,1

最值当x=2kx+(k∈2)当x=2(k∈z)时

时

当y=1:当x=2kn+丌

X=2k丌

(k∈Z)时,y


周期性



奇偶性

2丌

奇函数

在22-,2kr4、

(k∈Z)上是增函数:在








k∈Z)上是减函数

单调性

2k丌+-,2k丌+

对称中心(kz,0)(k∈Z)






对称性

对称轴x=kz+(k∈Z)

14、辅助角公式











y=asix+ bcos=√a2+b2sin(x+g)其中tang


a
15.正弦定理
b



c
=2R(R为△ABC外接圆的半径)

sin a sinb sin c

o a=2Rsin Ab= 2Rsin B, c= 2RsinC sa: b: c=sin A: sin B: sinC

a=b

16.余弦定理

17.面积定理

(1)S=ah=b=ch(h、l、h分别表示a、b、c边上的高)

(2)S=-absin C=-bc sin a=-ca sin B

2

18

、三角形内角和定理



丌A+B

在△ABC中,有A+B+C=丌分C=丌-(A+B)

分2C=2r-2(A+B)

19、a与b的数量积(或内积)


b=a|· b cos

20、平面向量的坐标运算



(1)iA(,y1),B(x,, y2), AB=OB- OA=(x,x,y-y)

(2)设a=(x,y),b=(x2,y2),则a.b=xx2+yy2

(3)设a=(xy),则=√x2+y

21、两向量的夹角公式

设a=(x,y1),b=(x,y2),且b≠0,则

ab




xX+yy

(a=(x,y),b=(x2,y2))

a|b|√x+y√x+y

22、向量的平行与垂直

设a=(%,y1),b=(x2,y2),且b≠0

ab→b=a分x1y2-xy1=0












a⊥ba≠0)分ab=0分x1x2+yy2=0

平面向量的坐标运算
(1)设a=(x,y),b=(x,y2),则a+b=(X+x2,y+y2)

(2)设a=(x,y1),b=(x2,y2),则a-b=(X-x2,y1-y2)

(3)iA(x,y),B(x, y2), A AB=OB-OA=(x-x,y2-y)

(4)设a=(xy),A∈R,则Aa=(xAy)

(5)设a=(x,y1),b=(x,y2),则a·b=xx2+yy2

数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系
n=1

(数列{a2}的前n项的和为Sa=a1+a2+…+an)

n≥2

24、等差数列的通项公式


a,=a,+(n-1)d=dn+a-d(neN)





25、等差数列其前n项和公式为

n(a,+a

2

=na3+

n(n-1

d


d==n+(a1--d)n



26、等比数列的通项公式


a=a,o-1a.q


q




或


27、等比数列前n项的和公式为


(1-q2)

sn= 1-q

na,q=l

a q



na
q


四、不等式

< br>28x+y≥√xy,必须满足一正(xy都是正数、二定(x是定值或者x+y是定值)、三相等(x= y


2

时等号成立)才可以使用该不等式)



(1)若积xy是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2√P:

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积xy有最大值s2


五、解析几何


29、直线的五种方程












(1)点斜式y-y1=k(x-x)(直线1过点P(x,y),且斜率为k)

(2)斜截式y=kx+b(b为直线1在y轴上的截距)

(3)两点式yM=x-8(y≠y2)(P(x,y)、P2(x2,y)(x≠x2)

y2-y1 x-x
(4)截距式+=1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b≠0)

(5)一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)

30、两条直线的平行和垂直
21: y=kx+b, 1: y=k,x+b,

①112≌→k=k2,b≠b2

②1⊥12kk2=-1

31、平面两点间的距离公式
dAB=v(x-x)+(y2-y)

32、点到直线的距离

d

I Ax+ Byo+Cl
(点P(x,y0),直线1:Ax+By+C=0)

√A2+B




33、圆的三种方程
(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

x=a+rcos e

(3)圆的参数方程








y=b+rsin

*点与圆的位置关系:点P(x,y)与圆(x-a)2+(y-b)=r的位置关系有三种

若d=(a-x)2+(b-y)2,则d>r分点P在圆外d=r台点P在圆上;d
34、直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b )2=r2的位置关系有
三种d>r分相离台△<0;

d=r台相切台△=0;

d0.弦长=2√r2-d




a+B


35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆
a2+b2

=1(a>b>0),a2-c2=b2,离心率


双曲线
X
其中
d

Aa+Bb+

e


1(a>0b>0),c2-a2=b2,离心率e=->1,渐近线方程是y=±x

抛物线:y2=2px,焦点( 卫,o),准线x=-卫。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
2

(1)若双曲线方程为-2-2=1→渐近线方程

(2若浙近线方程为y=xexy=0→双曲线可设为x-y=x

(3)若双曲线与
=1有公共渐近线,可设为

焦点在y轴上)


37、抛物线y2=2px的焦半径公式


抛物线y2=2px(p>0)焦半径|PFF=x+


38、过抛物线焦点的弦长AB=x++x2+=x+x2+p



六、立体几何



39证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点;


(2)转化为二直线同与第三条直线平行:


(3)转化为线面平行


(4)转化为线面垂直


(5)转化为面面平行



40.证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点

(2)转化为线线平行;


(3)转化为面面平行



41.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;


(2)转化为线面平行;

(3)转化为线面垂直

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=2m1,表面积=2m1+2m2

圆椎侧面积=丌1,表面积=1+23



Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高)
柱体




锥体
1sh(s是锥体的底面积、h是锥体的高)


球的半径是R,则其体积V=二丌R3,其表面积S=4丌R2



46、若点A(x,y,2),点B(x2,y2,2),则dAB=1AB= =(x-x)+(y2-y)2+(乙2-2)

47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)
18、直棱柱、正棱柱、长方

体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算
平均数:x=+x+方差:s2=1[(x-x)2+(x2-x)2+…(x-x)

标准差:s=1(x-x)2+(x2-x)2+…(x1-x)1





50、回归直线方程(了解即可)
∑(x-x)(y-y)∑xy

y=a+bx,其中

b
∑(x-x)∑x2-ns



a=y-bx

51、独立性检验K2=




n(ac- bd)

(a+b(c+da+c(b+d

52、古典概型的计算(必须要 用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗
漏)
八、复数







53、复数的除法运算

a+bi(a+bi(c-di)(ac+bd)+(bc- ad)i

c

c+di (c+di(c-di)

54、复数z=a+b的模|z|=|a+bil=√a2+b

55、复数的相等:a+bi=c+di台a=c,b=d.(a,b,c,d∈R)



57、复数的四则运算法则


56、复数z=a+bi的模(或绝对值)|z|=|a+bil=√a2+b

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad )i

+d


+d



58、复数的乘法的运算律
对于任何1,2,乙3∈C,有


交换律:z1z2=221




()(a+bi)-(c+di)=ac+ bd+ bc-ad(c+di+o)

结合律:(2乙2)乙3=21(乙2乙)

分配律:z(乙2+2)=21乙2+2123

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

55,pcos=x

X-+



psi= y tan 0=2(x≠0)

X

十、命题、充要条件


充要条件(记p表示条件,q表示结论)

(1)充分条件:若p→q,则p是q充分条件

(2)必要条件:若q→p,则p是q必要条件

(3)充要条件:若p→q,且q→p,则p是q充要条件

注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然

56.真值表

pq非pp或qp且q

真真|假


真假|假


假真真
假假「真


真真真假

真

假假假

十一、直线与平面的位置关系


空间点、直线、平面之间的位置关系


三个公理


(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内



(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

(3)公 理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直
线。
空间中 直线与直线之间的位置关系


1空间的两条直线有如下三种关系:

共面直线了相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点




平行直线:同一平面内,没有公共点

异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。

2公理4:平行于同一条直线的两 条直线互相平行。
3等角定理:空间中如果两
个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互 补

4

注意点:

线中的一条上


①a'与b’所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O 一般取在两直

②两条异面直线所成的角6∈OO2)

③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作
a⊥b; ④两 条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形
⑤计算中,通常把两条
异面直线所成的角转化 为两条相交直线所成的角。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系:

(1)直线在平面内 有无数个公共点

(2)直线与平面相交
有且只有一个公共点


(3)直线在平面平行 没有公共点









直线、平面平行的判定及其性质

直线与平面平行的判定


1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。


平面与平面平行的判定


1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

2、判断两平面平行的方法有三种:

(1)用定义

(2)判定定理;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。


直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线口该言亚


简记为:线面平行则线线平行。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

直线、平面垂直的判定及其性质

直线与平面垂直的判定

1、定义:如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面a互相垂直,记作L⊥a,


直线L叫做平面a的垂线,平面a叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P叫做垂

足


2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形



梭1

B


2、二面角的记法:二面角a-1-B或a-ABB


3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直


直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。