初、高中数学常用公式

初、高中数学常用公式
一、初中部分
1、直角三角形的勾股定理 :设直角三角形
ABC
(不妨设
?C?90?
)的三边为
a,b,c
,则
c?a?b
.
2、勾股定理的逆定理:三角形
ABC
的三边设为
a,b,c
,若
c?a?b
,则三角形
ABC
是 以
?C?90?
的
直角三角形.
3、多边形内角和定理:
n
边形的内角和等于
(n?2)?180?
(其中
n
为正整数,且
n ?3
).
222
222
4、正
n
边形的每个内角
?
(n?2)?180?
(其中
n
为正整数,且
n?3
).
n
5、菱形的面积等于对角线乘积的一半.
6、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于底边,且等于底边长的一半.
7、梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于底边,且等于上、下底的和的一半.
8、比例的 基本性质:若
a:b?c:d
,则
bc?ad
;反之,若
bc?ad
,则
a:b?c:d
,或者
a:c?b:d
.
9、合比定理:若
aca?bc?d
?
,则
?
.
bdbd
acma?c???ma
???,(b?d???n?0)
,则
?< br>.
bdnb?d???nb
3
2
a
.
4
10、等比性质:若
11、边长为
a
的正三角形的面积
?
12、扇形 的弧长计算公式:
L?
n
?
R
(其中
n
为扇形中心 角的度数,
R
为扇形所在圆的半径).
180
n
?
R2
1
?LR
(其中
n
为扇形中心角的度数,
R
为扇形所在圆的半径,
L
为弧长). 13、扇形面积计算公式
S?
3602
14、圆的面积公式
S?
?
R
(其中
R
为圆的半径 ).
15、圆的周长公式
L?2
?
R
(其中
R
为 圆的半径).
2
16、圆柱的侧面积
S
侧
?2
?
Rh
;圆柱的全面积
S
全
?2
?
Rh?
?
R
(其中
R
为圆的半径,
h
为圆柱的高).
2
2
17、乘法公式(反过来就是因式分解):
(a?b)(a?b)?a?b;(a?b)?a? 2ab?b;
(a?b?c)?

22222
a
2
?b2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
;
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
;(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
; (a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2< br>?b
3
;(a?b)
3
?a
3
?3a
2b?3ab
2
?b
3
.
18、幂的运算性质:
a?a?a

mnm?n
;a
m?a
n
?a
m?n
;(a
m
)
n
?a
mn
;(a
m
b
n
)
r
?a
mr
b
nr
.
1

2
19、 一元 二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的根的判别式为
??b?4ac
;当
??0
时,方程有两个相异的
2
实数根
x
1,2
? b?b
2
?4ac
bc
?
;根与系数的关系(韦达定理):
x
1
?x
2
??,x
1
?x
2
?
.
2a
aa
20、直角三角形的三角函数:不妨直角三角形
ABC
中
?C?90?
,三角所对的边为
a,b,c
,则锐角
A
的 四个
三角函数为:正弦
sinA?
b
aba
,
余弦
cosA?,
正切
tanA?,
余切
cotA?
;同角三角函数间的 关系:①
ccb
a
sinAcosA
;③倒数关系
tanA?cot A?1
.
,cotA?
cosAsinA
133
,cos30?? ,tan30??,cot30??3
;
223
平方关系
sinA?cos A?1
;②商的关系:
tanA?
22
21、特殊角的三角函数:
s in0??0,cos0??1,sin30??
sin45??cos45??
2313,tan45??cot45??1,sin60??,cos60??,tan60??3,cot60? ?
；
2223
sin90??1,cos90??0,cot90??0,tan9 0?
无意义.
22、三角不等式:对任意的实数
a,b
,均有
a? b?a?b
,“=”成立的条件是
a,b
同号,即
ab?0
;对任意 的
实数
a,b
,均有
a?b?a?b
,“=”成立的条件是
a,b
异号,即
ab?0
.
23、概率:如果用
P
表示一 个事件
A
的概率,则
0?P(A)?1
;
P
(必然事件)< br>?1
;
P
(不可能事件)
?0
.
24、二次函数的 三种形式:①一般式
y?ax?bx?c(a?0)
;②顶点式
y?a(x?m)?n (a?0)
,顶点为
22
(m,n)
;③交点式
y?a(x?x1
)(x?x
2
)(a?0)
,二次函数与
x
轴的交点 坐标为
(x
1
,0),(x
2
,0)
.
25、平 面内两点间的距离公式:设
A(x
1
,y
1
),B(x
2< br>,y
2
)
为同一平面内不同两点,则
A,B
两点间的距离公式
为
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
;特别地,当
A,B
两点为同一坐 标轴上的点时,如
A(x
1
,0),B(x
2
,0)
或 < br>A(0,y
1
),B(0,y
2
)
,则
AB?x1
?x
2
或
AB?y
1
?y
2
(即沙 尔公式).
二、高中部分
1、集合运算的“狄·摩根律”:
C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
B
;
C
U
(A ?B)?C
U
A?C
U
B
.其中
A,B
是两个集合,
U
是全集。
2、集合的性质:①
n
元集合的子集数2
;②
n
元集合的真子集数
2?1
;③
n
元集 合的非空真子集数
2?2
.
3、高中所学的三种新函数:①指数函数
f(x )?a(a?0,a?1
),其中
a
是常数;②对数函数
f(x)?log< br>a
x

x
nnn
(a?0,a?1
),其中
a
是常数;③幂函数
f(x)?x
?
,其中
?
是常数.指数 函数、对数函数的单调性只与底数

2

a
有关(须分
a?1
与
0?a?1
讨论).
4、 三角函数常见的
9
组诱导公式:①
sin(2k
?
?
?)?sin
?
,cos(2k
?
?
?
)?cos
?
,tan(2k
?
?
?
)?

tan
?
(k?Z),
?
为象限角;②
sin(
?
?
?< br>)?sin
?
,cos(
?
?
?
)??cos
?
,tan(
?
?
?
)??tan
?
,
?
为象限
角;③
sin(?
?
)??sin
?
,c os(?
?
)?cos
?
,tan(?
?
)??tan?
;
?
为象限角;④
sin(
?
?
?
)??sin
?
;
cos(
?
?
?
)??cos
?
,tan(
?
?
?
)?tan
?
;?
为象限角;⑤
sin(2
?
?
?
)??sin
?
,cos(2
?
?
?
)?
cos
?
,

?
?
??
?
??
?
?
tan( 2
?
?
?
)??tan
?
;
?
为象限角; ⑥
sin
?
?
?
?
?cos
?
,cos< br>?
?
?
?
?sin
?
,tan
?
?
?
?
?cot
?
;
?
2
??
2
??
2
?
?
?
??
?
??
??
?
为象限角;⑦
sin
?
?
?
?
? cos
?
,cos
?
?
?
?
??sin
?
,tan
?
?
?
?
??cot
?
;
?
为象限角;⑧
?
为
?
2
??
2
??< br>2
?
象限角时,
sin
?
?
3
?
?
?
3
?
??
3
?
??
3
?
?
?
?
?
??

?
?
?
??c os
?
,cos
?
?
?
?
??sin
?< br>,tan
?
?
?
?
?cot
?
;⑨
sin
?
?
2
?
?
2
??
2
??
2
?
?
3
?
??
3
?
?
?
?
?
?sin
?
,tan
?
?
?
?
??cot
?
;
?
为象限角.口诀:“奇变偶不变,符号看象限 ”.
cos
?
,
cos
?
?
2
??2
?
5、三角函数
y?Asin(
?
x?
?
) ,(A?0,
?
?),x?R
,的最值:
y
max
?A,y
min
??A
;最小正周期
T?
2
?
?
.
6、简单的三角恒等变形:①两角和(差)的公式
sin(
?
?
?< br>)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
,
?
,
?
为任意实数;
tan(
?
?< br>?
)?
tan
?
?tan
?
2
,
?
,
?
为象限角;②二倍角公式:
sin2
?
?2sin?
cos
?
,cos2
?
?
cos
?

1?tan
?
?tan
?
?sin
2
?
? 2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
,
?
为任意实数;
tan2
?
?
2tan
?
,
?为象限角;③半角公式:
1?tan
2
?
sin
2
?
2
?
1?cos
??
1?cos
??
1?cos< br>??
sin
?
1?cos
?
,cos
2
?, tan
2
?,tan??
;④辅助角
22221?cos
?
21?cos
?
sin
?
a
.
b
公式:
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
s in(
?
?
?
)
,
ab?0,
?
由
a,b
确定:
tan
?
?
7、解斜三角形时,用到的两个定理:设
?ABC
三个内角
A,B,C
所对的边为
a,b,c
,?ABC
外接圆的半径为
R
,则有①正弦定理:
abc
11???2R
,由此得到
?ABC
的面积公式
S
?ABC
?a?h
a
?b?h
b

22
sinAsinBsinC< br>?
1111abc
c?h
c
?absinC?bcsinA?acsi nB?
;
h
a
,h
b
,h
c
分别为边a,b,c
上的高;②余弦定理:
22224R
a
2
?b2
?c
2
?2bccosA,b
2
?a
2
?c
2
?2accosB,c
2
?b
2
?a
2
?2abcosC
.

3

8、设平面向量a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2)
.①
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
),
?
a?
?
b?(
?
x
1
?
?
x
2
,
?
y
1
?
?
y
2
)
;
②
a?
.
12、复数有关 运算:设复数
z
1
?a?bi,z
2
?c?di,(a,b,c,d ?R)
.①
z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i
;
z
1
?z
2
?

x
1
?y< br>1
;③
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
;④向量
a,b
的夹角
?
?
?
0,?
?
,
cos
?
?
22
a?b
ab< br>.
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
z1
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
???
;
22
z
2
c?di(c?di)(c?di)
c?d
②
z
1
?a
2
?b
2
;③
1
的两个 虚立方根
?
1
?
?1?3i?1?3i
22
,
?< br>2
?
的性质:
?
1
?
?
2
,
?
2
?
?
1
.
22
13、直线方程的五种形式 :①过定点
(x
0
,y
0
)
,斜率为
k
的 直线
l
的“点斜式”方程:
y?y
0
?k(x?x
0
)
;②
过定点
(0,b)
,斜率为
k
的直线
l< br>的“斜截式”方程:
y?kx?b
;③过两点
A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
)
的直线
AB
的“两点式”方程:
y?y
1
x?x
1
y?y
2
x?x
2
??
或者;④过两点
A(a,0),B(0,b)
的直线< br>AB
的“截
y
2
?y
1
x
2
?x< br>1
y
1
?y
2
x
1
?x
2
距式”方程:
xy
??1(ab?1)
;⑤一般式方程:
Ax?By?C?0 (A
2
?B
2
?0)
.直线的倾斜角
?
的取值范< br>ab
围:
?
?
?
0,
?
?
. 22
14、定点
P(x
0
,y
0
)
到定直线< br>l:Ax?By?C?0(A?B?0)
的距离公式
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
15、两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C< br>2
?0,(C
1
?C
2
)
间的距离公式
d?
C
1
?C
2
A?B
22
.
16、两相交 直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2:y?k
2
x?b
2
(k
1
k
2
?? 1)
的夹角
?
?
?
0,
2
k
1
? k
2
?
?
?
tan
?
?
公式.
?
1?k?k
?
2
?
12
22
17、圆的方程:① 圆心为
C(a,b)
,半径为
r(r?0)
的圆的标准方程:
(x? a)?(y?b)?r
;②圆的一般方
?
DE
?
程:
x?y ?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
,圆心
C
?
?,?
?< br>,半径
r?
2
??
2
2222
D
2
?E
2
?4F
.
2
x
2
y
2
1 8、焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程为
2
?
2
?1(a?b ?0)
;焦点在
y
轴上的椭圆的标准方程为
ab
y
2
x
2
x
2
y
2
??1(a?b?0)
;焦点在< br>x
轴上的双曲线的标准方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0)
;焦点在
y
轴上
a
2
b
2
ab

4

y
2
x
2
2
的双曲 线的标准方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0)
;焦点在
x
轴正半轴上的抛物线的标准方程为
y?2px

ab
(
p? 0
),焦点坐标为
F
?
p
?
p
?
,0?
,准线方程为
x??
;焦点在
x
轴负半轴上的抛物线的标准方 程为
2
?
2
?
p
?
p
?
y
2
??2px
(
p?0
),焦点坐标为
F
?
?, 0
?
,准线方程为
x?
;焦点在
y
轴正半轴上的抛物线的标 准方
2
?
2
?
程为
x?2py
(
p?0< br>),焦点坐标为
F
?
0,
2
?
?
p
p
?
,
?
,准线方程为
y??
;焦点在
y
轴负半轴上的抛物线的标准
2
2
?
方程为
x??2py
(< br>p?0
),焦点坐标为
F
?
0,?
2
?
?< br>p
p
?
?
,准线方程为
y??
.
2
2
?
a?b
?ab,
“=”成立的条件:当且仅当
a?b
.
2
19、基本不等式(均值不等式):对于任意两个正数
a,b
,均有< br>基本不等式的推广:对于任意
n
个正数
a
1
,a
2< br>,?,a
n
,均有
当且仅当
a
1
?a
2??a
n
.
20、两条异面直线间的夹角
?
的范围:
?
?
?
0,
成的“二面角”
?
的范围:
?
?
?
0,
?
?
..













a
1
?a
2
???a
n
?a
1
a
2
?a
n
,
“=”成立的条件:
2
?
?
??
?
?
;直线与平面所成的角的范围:
?
?
?0,
?
;两个平面所
??
?
2
??
2
?


5