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(word完整版)高中数学图像及公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 14:22
tags:高中数学公式

重庆育才高中数学版本-贵州毕节高中数学会考真题


初等函数的图形
幂函数的图形



指数函数的图形



对数函数的图形



三角函数的图形


各三角函数值在各象限的符号


sinα, cscα cosα , secα tanα, cotα


三角函数的性质
函数
y=sinx y=cosx y=tanx

{x|x∈R且
?
x≠kπ+,k∈Z}
2
y=cotx

{x|x∈R且
x≠kπ,k∈Z}
定义域
R
[-1,1]
?
x=2kπ+ 时y
max
=1
2
?
x=2kπ- 时y
min
=-1
2
k∈Z
R
值域
[-1,1]
x=2kπ时y
max
=1
R
x=2kπ+π时
无最大值
y
min
=-1
无最小值
k∈Z
R
无最大值
无最小值
周期性 周期为2π
奇偶性 奇函数
周期为2π
偶函数
在[2kπ-π,2kπ]
上都是增函数;
在[2kπ,2kπ+π]
上都是减函数
(k∈Z)
周期为π
奇函数

周期为π
奇函数
?
?
,2kπ+ ]
22
上都是增函数;
单调性
?
3
在2kπ+
,2kπ+π]
2
2
上都是减函数(k∈Z)
在[2kπ-


??
在(kπ,kπ+π)
在(kπ-,kπ+
)
内都是 减函
22
内都是增函数 数 (k∈Z)
(k∈Z)


反三角函数的图形



反三角函数的性质
名称 反正弦函数
y=sinx
?
?
(x∈[-,])
22
的反函数,叫做
反正弦函数,
记作x=arsiny
arcsinx表示属于
?
?
[-
,

22
且正弦值等于x
的角
反余弦函数
y=cosx
(x∈[0,π])的
反函数,叫做
反余弦函数,
记作=arccosy
反正切函数
y=tanx
?
?
(x∈(- , )
22
的反函数,叫做
反正切函数,记作
x=arctany
反余切函数
y=cotx
(x∈(0,π))
的反函数,叫做
反余切函数,
记作x=arccoty
定义
理解
arccosx表示arctanx 表示属于arccotx表示属
属于[0,π],
?
?
于(0,π)且余切< br>(-,),且正切
且余弦值等于值等于x的角
22
x的角
值等于x的角
[-1,1]
[0,π]
(-∞,+∞)
(-
(-∞,+∞)
(0,π)
在(-∞,+∞)上
是减函数
arccot(-x)=
π-arccotx
非奇非偶
cot(arccotx)=x
(x∈R)
arccot(cotx)=x
(x∈(0,π))
定义域 [-1,1]
?
?
,]
22

单调性
在〔-1,1〕上是
增函数

arcsin(-x)=
奇偶性
-arcsinx
奇函数
周期性 都不是同期函数
sin(arcsinx)=x
(x∈[-1,1])
arcsin(sinx)=x
恒等式
?
?
(x∈[-,
])
22
值域
[-
互余
恒等式





?
?

)
22
在[-1,1]上在(-∞,+∞)上是增
是减函数 数
arccos(-x)= arctan(-x)=
π-arccosx -arctanx
非奇非偶 奇函数
cos(arccosx)=tan(arctanx)=x
x(x∈[-1,1]) (x∈R)
arccos(cosx)=arctan(tanx)=x
?
?
x(x∈[0,π])
(x∈(-,))
22
arcsinx+arccosx=
?
?
(x∈[-1,1]) arctanx+arccotx=(x∈R)
22


三角函数公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tanA?tanB
tan(A+B) =
1-tanAtanB
tanA?tanB
tan(A-B) =
1?tanAtanB
cotAcotB-1
cot(A+B) =
cotB?cotA
cotAcotB?1
cot(A-B) =
cotB?cotA
倍角公式
2tanA

2
1?tanA
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A = Co s
2
A-Sin
2
A=2Cos
2
A-1=1-2sin< br>2
A
tan2A =
半角公式
sin
1?cosA
A
=
2
2
1?cosA
A
=
2
2
1?cosA
A
=
1?cosA
2
1?cosA
A
=
1?cosA
2
A1?cosAsinA
==
sinA1?cos A
2
cos
tan
cot
tan


三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)
3

cos3A = 4(cosA)
3
-3cosA
?
?
tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)
33
附推导过程:
sin3a =sin(2a+a)
=sin2a·cosa+cos2a·sina
=2sina(1-sin
2
a)+(1-2sin
2
a)sina
=3sina-4sin
3
a
cos3a=cos(2a+a)
=cos2a·cosa-sin2a·sina
=(2cos
2
a-1)cosa-2(1-cos
2
a)cosa
=4cos
3
a-3cosa
sin3a=3sina-4sin
3
a
=4sina(34-sin
2
a)
=4sina[(√32)
2
-sin
2
a]
=4sina(sin
2
60°-sin
2
a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina·2sin[(60°+a)2]cos[(60°-a)2] ·2sin[(60°-a)2]cos[(60°+a)2]
=4sina·sin(60°+a) ·sin(60°-a)
cos3a=4cos
3
a-3cosa
=4cosa(cos
2
a-34)
=4cosa[cos
2
a-(√32)
2
]
=4cosa(cos
2
a-cos
2
30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa·2cos[(a+30°)2]cos[(a-30°)2] ·{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30°)2]}
=-4cosa·sin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosa·sin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosa·cos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosa·cos(60°-a) ·cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tana·tan(60°-a) ·tan(60°+a)





和差化积
a?ba?b
cos
22
a?ba?b
sina-sinb=2cossin
22
a?ba?b
cosa+cosb = 2coscos
22
a?ba?b
cosa-cosb = -2sinsin
22
sin(a?b)
tana+tanb=
cosacosb
sina+sinb=2sin
积化和差
1
[cos(a+b)-cos(a-b)]
2
1
cosa·cosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]
2
1
sina·cosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]
2
1
cosa·sinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]
2
sina·sinb = -
诱导公式
sin(-a) = -sina
cos(-a) = cosa
?
sin(-a) = cosa
2
?
cos(-a) = sina
2
?
sin(+a) = cosa
2
?
cos(+a) = -sina
2
sin(π-a) = sina
cos(π-a) = -cosa
sin(π+a) = -sina
cos(π+a) = -cosa
sina
tga=tana =
cosa


万能公式
2tan
a
sina=
2

1?(tan
a
)
2
2
1?(tan
a
)
2
cosa=
2

1?(tan
a
)
2
2
2tan
a< br>tana=
2
1?(tan
a

)
2
2
其它公式
a?sina+b?cosa=
(a2
?
b
2
)
?sin(a+c) [其中tanc=
b
a
]
a?sina-b?cosa =
(a
2
?
b
2
)
?cos(a-c) [其中tanc=
a
b
]
1+sina=(sin
a
+cos
a
)
2
sin
2
a+cos
2
a=1 1+tan
2
2
a=sec
2
2
a
1-sina = (sin
a
2
-cos
a
2
)
2
tana?cota=1 seca?cosa=1
其他非重点三角函数
csca =
1
sina

seca =
1
cosa

双曲函数
e
a
-e
-a
e
a
?e
-a
sinh(a)=
2

cosh(a)=
2

tg h(a)=
sinh(a)
cosh(a)

2
a=csc
2
a
csca?sina=1

1+cot


公式一
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)= sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα
cot(2kπ+α)= cotα
公式二
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)= -sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
cot(π+α)= cotα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)= -sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
cot(-α)= -cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)= -cosα
tan(π-α)= -tanα
cot(π-α)= -cotα
公式五
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)= -sinα
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)= -tanα
cot(2π-α)= -cotα


公式六
?
3
?
±α及±α与α的三角函数值之间的关系:
2
2
?
?
sin(-α)= cosα
sin(
+α)= cosα
2
2
?
?
cos(-α)= sinα
cos(
+α)= -sinα
2
2
?
?
tan(-α)= cotα
tan(
+α)= -cotα
2
2
?
?
cot(-α)= tanα
cot(
+α)= -tanα
2
2
3
?
3
?
sin(
+α)= -cosα
sin(-α)= -cosα
2
2
3
?
3
?
cos(
+α)= sinα
cos(-α)= -sinα
2
2
3
?
3
?
tan(
+α)= -cotα
tan(-α)= cotα
2
2
3
?
3
?
cot(
+α)= -tanα
cot(-α)= tanα (以上k∈Z)

2
2
A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ)
=
A
2
?B
2
?2ABcos(
?
?
?
)?sin
?
t?arcsin[(Asin
?
?Bsin
?)
A?B?2ABcos(
?
?
?
)
22

乘法与因式分解
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b) a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2) a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab +b
2
)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|


一元二次方程的解
-b+b
2
-4ac- b-b
2
-4ac

2a2a
根与系数的关系
(韦达定理)

X
1
+X
2
=-ba
X
1
?X
2
=ca
判别式 b
2
-4ac=0 注:方程有相等的两实根
b
2
-4ac>0 注:方程有一个实根
b
2
-4ac<0 注:方程有共轭复数根
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b
2
=a
2
+c
2
-2ac?cosB 注:角B是边a和边c的夹角
某些数列前n项和
n
?
n+1
?

2
1+2+3+4+5+6+7+ 8+9+…+n=
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n
2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1
2
+ 2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
2
=
n
?
n?1
??
2n?1
?

6
2
2
3333333
n
?
n?1
?
1+2+3+4+5+6
+… n
=
4
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=
n
?
n?1
??
n?2
?

3


正切定理
[(a+b)(a-b)]={[tan(a+b)2][tan(a-b)2]}
附过程 (a-b)(a+b)
=(ab-1)(ab+1)
=(sinAsinB-1)( sinAsinB+1)
=(sinA-sinB)(sinA+sinB)
=2cos[(A+B)2]sin[(A-B)2] {2sin[(A+B)2]cos[(A-B)2]}
=tg[(A-B)2]tg[(A+B)2]
圆的标准方程
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程
x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0 注:D
2
+E
2
-4F>0
抛物线标准方程
y
2
=2px y
2
=-2px x
2
=2py x
2
=-2py
直棱柱侧面积
S=c?h c为底面周长,h为侧棱长.
斜棱柱侧面积
S=c'?h c'为直截面的周长,h为侧棱长.
正棱锥侧面积
1
S=c?h' c为底面周长,h'为侧面的高线长.
2
正棱台侧面积
1
S=(c+c')h' c、c'为上下底面的周长,h'为侧面的高线长.
2


圆台侧面积
1
S=(c+c')l= π(R+r)l
2
弧长公式
l=a?r a是圆心角的弧度数r >0
扇形面积公式
1
s=
?l?r
2
c、c'为上下底面的周长,l为母线长.
球的表面积
S=4πr
2

圆柱侧面积
S=c?h=2π?h
锥体体积公式
1
V=
?S?H
3
圆锥体体积公式
圆锥侧面积
1
S=
?c?l=π?r?l
2
斜棱柱体积
1
V=
?π?r
2
h
3
V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式
圆柱体
V=s?h

V=πr
2
h

---------------------- -------------------------------------------------- --------------------
三角函数 积化和差、和差化积公式
用两角和差的正余弦:
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
两式相加或相减,可以得到2组积化和差:


相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]2
相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
两式相加或相减,可以得到2组积化和差:
相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]2
相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]2
这样一共4组积化和差,倒过来既是和差化积 (附口诀)
正加正 正在前
正减正 余在前
余加余 都是余
余减余 没有余还负
正余正加 余正正减
余余余加 正正余减还负.

三角形中的一些结论:(不要求记忆)
(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A2)cos(B2)cos(C2)
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A2)·sin(B2)·sin(C2)+1
(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
...........................

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