高中数学 小课题-2003年湖南省高中数学竞赛试题及答案
N:非负整数集(或自然数集) R:实数集 Q:有理数集 Z:整数集
N或N
+
:正整数集
1.集合的元素的特征: ⑴确定性 ⑵互异性
⑶无序性
2.子集:记作:
A?B(或B?A)
读作:A包含于B,或B包含A 子集个数:
2
n
个
3.真子集:记作:A B(或B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A)
真子集个数:
2
n
-1个
4.空集:不含有任何元素的集合称为空集.
记作:
?
非空真子集个数:
2
n
-2个
5.集合相等:集合A与集合B中的元素是一样的.
6.并集:记作:A∪B,
读作:A并B 即:A∪B={x|x∈A或x∈B}. Venn图表示:
7.交集:记作:A∩B 读作:A交B 即:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
Venn图表示:
8.补集:记作:
C
U
A
,读作:A在U中的补
集,即
C
U
A?xx?U,且x?A
Venn图表示:
9.指数:
m
*
??
U
A
C
U
A
(1)
a
?p
1
n
m
mnmnrsr?s
0
(2)
a?1
(
a?0
);(3)
a?(a)
(4)
a?a?a(a?0,r,s?Q)
(5)、
a
n
?a
?
p
;
a
Mn
n
(3)
log
a
m
b??log
a
b
Nm
?b
(5)
log
a
a?1
(6)
log
a
1?0
(7)
log
a
b?log
b
a?
1
10.对数:
(1)
log
a
M?log
a
N?log
a
(MN)
(2)
log
a
M?log
a
N?log
a
(4)
a
log
a
b
换
底公式:
log
a
b?
log
c
b
(
a?
0
,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?
0
).
log
c
a
指数式与对数式的互化式:
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
11.指数函数:
一般地,函数
y?a(a?0,且a?1)
叫做指数函数
,其中x是自变量,函数的定义域为R.
a>1
6
5
x
06
5
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246-
4-2
0
-1
246
定义域 R
值域{y
| y>0}
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图像都过定点(0,1)
当x>0时,y>1
当x<0时,0
值域{y |
y>0}
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图像都过定点(0,1)
当x>0时,0
12.对数函数:
一般地
,函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数
,其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
a>1
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
01
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域{x| x>0}
值域为R
在(0,+∞)上递增
函数图像都过定点(1,0)
当x>1时,y>0
当0
1
定义域{x| x>0}
值域为R
在(0,+∞)上递减
函数图像都过定点(1,0)
当x>1时,y<0
当0
13.特殊角的弧度
角度 0° 30°
弧度
45°
60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
5
?
3
?
?
2
?
62
14.三角函数定义:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点
P
(除了原点)的坐标为
(x,y)
,
0
?
6
?
4
?
3
?
2
2
?
3
3
?
4
它
与原点的距离为
r(r?|x|
2
?|y|
2
?
正弦,记作
sin
?
,即
sin
?
?
x
2
?y
2
?0)
,那么:
+ +
sin
?
- -
y
;
r
余弦,记作
cos
?
,即
cos
?
?
正切,记作
tan
?
,即
tan
?
?<
br>x
;
r
- +
cos
?
-
+
- +
tan
?
+ -
y
;
x
2
15.同角三角函数的基本关系式 :
sin<
br>?
?cos
?
?1
,
tan
?
=
1
6.诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)
2
sin
?
cos
?
公式一:
sin(
?
?2k
?
)?
sin
?
;
cos(
?
?2k
?
)?
cos
?
;
tan(
?
?2k
?
)?
tan
?
.(其
中
k?Z
).
?
?sin
?
;
cos(
?
?
?
)?
?cos
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
.
公式二:
sin(
?
?
?
)
公式三:
sin(?
?
)?
?sin
?
;
cos(?
?
)?
cos
?
;
tan(?
?
)?
?tan
?
.
公式四:
sin(
?
?
?
)?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?
?cos
?
;
tan(
?
?
?
)?
?tan
?
?
???
??) =
cos
?
; cos( ??)
=
sin
?
. 公式六: sin(+?)
=
cos
?
;cos(+?) =
?sin
?
.
2222
2
?
17. 三角函数:函数
y?sin(
?x?
?
)
,x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R的周期
T?
;
|
?
|
?
?
18. 函数
y?tan(
?
x?
?
)
,
x?k
?
?,k?Z
(A,ω
,
?
为常数,且A≠0)的周期
T?
.
y
|
?
|
2
公式五:
sin(
19.三角函数的图像:
y
y=sinx
1
-π2
3π2
π
x
-2π
o
π2
-2π
-3π2
-π
2π
-1
20.
和差公式:
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
co
s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
y=tanx
y=cosx
-3π2
-π
-π2
y
1
o
-1
π2
π
3π2
2π
x
-
3
?
2
-
?-
?
2
o
?
2
?
3
?
2x
二倍角公式: 降幂公式:
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1
?1
?2sin
2
?
sin2
?
?2sin
?
cos<
br>?
2tan
?
tan2
?
?
2
1
?tan
?
sin
2
?
?
tan(
?
?<
br>?
)?
tan
?
?tan
?
1tan
?
tan
?
1?cos2
?
2
1?cos2
?
cos
2
?
?
2
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由
点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
2
b
).
a
平
面
向
量
重
要
概
念
向量定义
零向量:
0
平行(共线)向量
向量的夹角
投影
既有大小有有方向的量,向量的大小叫做向量的模(长):
|AB|,|a|
长度为零,方向任意(
0
与任何一个向量平行,共线)
方向相同或者相反的向量叫做平行或共线向量
起点放在同一点的两个向量之间的角,范围是<
br>?
0,
?
?
,也记为
?a,b?
?a,b
?
=
?
,
a在b
方向上的投影:
|a|cos
?<
br>
a,b
不共线,则可以作为平面内的一组基底,任何
c?
?
a?
?
b
一般表示
坐标表示:
a?(x
1,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
重
要
法
则
定
理
各
种
运
算
基本定理(基底)
共线的条件
垂直的条件
加法
减法
数量积
求夹角
a,b
共线
?a?
?
b
a⊥b?ab?0(a,b?0)
三角形法则,平行四边形法则
减法转换成加法:
?AB??BA
a∕∕b?x
1
y
2
?x
2
y
1
a⊥b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0(a,b?0)
a+b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
a-b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
ab?|a||b|cos
?
ab?x
1
x
2
?y
1
y
2
构造向量:
ab
cos
?
?
|a||b|a?(x
1
,y
1
)
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
?AB?(x
2
?
x
1
,y
2
?y
1
)
其它运算
22.函数单调性:
?|a|?x
1
2
?x
2
2
?
a?(
?
x
1
,
?
y
1
)
增函数:若对任意的
x
1
,x
2
?D
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1<
br>)?f(x
2
)
成立,则
f(x)
在定义域D上是增函数。
减函数:若对任意的
x
1
,x
2
?D
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
成立,则
f(x)
在定义域D上是减函数。
等价关系: (1)设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?<
br>,x
1
?x
2
那么:
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)
在
?
a,b
?
上是增函数;
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
23.函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必
须关于原点对称)
奇函数:
定义:若对任意的
x?D
都有
f(?
x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0
,则
f(x)
就是奇函数,图象关于原
点对称;
偶函数:
定义:若对任意的
x?D
都有
f(?x)?f
(x)
,则
f(x)
就是偶函数,图象关于y轴对称;
24.函数的周期性:
定义:若对任意的
x?D
都有
f(x?T)
?f(x)
,则
f(x)
就是周期函数,周期为T;
f(x?n)??f(
x)?T?2n
(3)、
f(x?n)??
?
1
?T?2n
f(x)
25.幂函数(图像):形如
y?x
(
?
?R)<
br>的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
必背图像:
y?x;
y?x;
2
y?x;
3
y?x;
1
2<
br>y?x
?1
.
3
S
圆
V
柱
n
?
?r
2
1
n
?
?r
??
?r
l
圆
?
?
?d?2
?
?r
l
弧长
?
?l?r
S
扇形
?
3602
180
14
?S
底
?h
V
锥
?S
底
?h
V
球
?
?
R
3
S
球
?4
?
R
2
33
2
1.立体几何四个公理:
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
符号语言:
A?l,B?l且A?
?
,B?
?
?l?
?
.
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
三个推论:①过一条直线和该直线外一点,有且仅有一个平面;
②过两条相交直线,有且仅有一个平面;
③过两条平行线,有且仅有一个平面。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只
有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。
符号语言:
P?
?
,且P?
?
?
??
?l,P?l
.
公理4:(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言:
al,且bl?ab
.
2.空间中直线与直线之间的位置关系:
(1)异面直线:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
(2)异面直线夹角:已
知两条异面直线
a,b
,经过空间任意一点O作直线
a
?
a,b?
b
,我们把
a
?
与
b
?
所成
的角(或直角)叫异面直线
a,b
所成夹角。(易知:夹角范围
0?
??90?
)
?
1.直线在平面内:l?
?
(3)直线与平面的
位置关系有三种:
?
?
2.直线与平面相交:l
?
?A
<
br>?
?
直线在平面外
?
3.直线与平面平行:l
?
?<
br>?
(4)平面与平面之间的位置关系有两种:
?
3.直线、平面平行的判定及其
性质:
四个定理(一)
定理 定理内容
?
1.两个平面平行:
?
?
?
2.两个平面相交:
??
?l
符号表示 图像及常用方法
平面外的一条直线与
a?
?
,b?
?
,且ab
直线与平面
平面内的一条直线平行,
平行的判定
?a
?
则该直线与此平面平行。
一个平面内的两条相
a?
?
,b?
?
,
平面与平面
交直线与另一个平面平
ab?P,a
?
,b
?
平行的判定
行,则这两个平面平行。
?
?
?
一条直线与一个平面
直线与平面
平行,则过这条直线的任
平行的性质 一平面与此平面的交线与
该直线平行。
如果两个平行平面同
平面与平面
时和第三个平面相交,那
平行的性质
么它们的交线平行。
l
?
,l?
?
,
?
?lm
?
?m
?
?
,
??
?a,
??
?b?ab
4
四个定理(二)
定理
定理内容 符号表示 图像及常用方法
l
一条直线与一个
直线与平面
平面内的两条相交直
垂直的判定 线垂直,则该直线与
此平面垂直。
一个平面过另一
平面与平面
平面的垂线,则这两
垂直的判定
个平面垂直。
a、b?
?
,ab?A,
且l?a,l?b
?l?
?
b
?
A
a
l?
?
,l
?
?
?
?
?
?
(满足条件与
?
垂直的平面
?
有无数个)
直线与平面 同垂直于一个平
垂直的性质 面的两条直线平行。
a?
?
,b?
?
?ab
两个平面垂直,
平面与平面 则一个平面内垂直与
垂直的性质
交线的直线与另一个
平面垂直。
?
?
?
,
??
?
AB,
l?
?
,l?AB
?a?
?
其他基本概念:
①直线与平面垂直:如果直线
l
与平面
?
内的任意一条直线都垂直,我们就说直线
l
与平面
?
垂直,记作
l?
?
。
直线
l
叫做平面
?
的垂线,平面
?<
br>叫做直线
l
的垂面。直线与平面的公共点
P
叫做垂足.
②直线与平面所成的角:角的取值范围:
0?
?
?90?
.
③二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面<
br>叫做二面角的面。二面角的取值范围:
0?
?
?180?
两个平面垂直:直二面角.
④直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱.
⑤正棱锥:底面是正多边形,且每条侧棱都相等的棱锥.
4.直线的倾斜角
00
①直线与
x
轴平行或重合时,规定它的倾斜角为
0
②倾斜角
?
的范围
0?
?
?180
0
5.直线的斜率
0
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为<
br>90
的直线斜率不存在.记作
k?tan
?
(
?
?9
0)
0
00
⑴当直线
l
与
x
轴平行或重合时,
?
?0
,
k?tan0?0
⑵当直线
l
与
x
轴垂直时,
?
?90
,
k
不存在.
0
)x
1
?x
2
)
②经过两点
P
的直线的斜率公式是
k?
1
(x
1
,y
1
),P(x
2
,y
2(
③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率.
6.直线平行与垂直
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(1)两条直线平行:对于两条不重合的直线
l
1
,l
2
,其斜率
分别为
k
1
,k
2
,则有
l
1
l
2
?k
1
?k
2
特别地,当直线
l<
br>1
,l
2
的斜率都不存在时,
l
1
与l
2<
br>的关系为平行.
(2)两条直线垂直:如果两条直线
l
1
,l
2
斜率存在,设为
k
1
,k
2
,则有
l
1
? l
2
?k
1
?k
2
?-1
特别地,如果
l
1
,l
2
中有一条直线的斜率不存在,另一条直
线的斜率为0时,
l
1
与l
2
互相垂直.
5
7.直线方程的几种形式
名称
①点斜式
②斜截式
③两点式
方程的形式 已知条件 局限性
不包括垂直于
x
轴的直线
y?y
1
?k(x?x
1
)
(x
1,y
1
)
为直线上一定点,
k
为斜率
y?kx?b
y?y
1
x?x
1
?
y<
br>2
?y
1
x
2
?x
1
k
为斜率,
b
是直线在
y
轴上的截距
不包括垂直于
x
轴的直线
经过两点(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
且(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
不包括垂直于
x
轴和
y
轴的直线
④截距式
xy
??1
ab
Ax?By?C?0
(A
2
?B
2
?0)
a
是直线在
x
轴上的非零截距,
b
是
直线在
y
轴上的非零截距
不包括垂直于
x
轴和
y
轴或过原
点的直线
无限制,可表示任何位置的直线
⑤一般式
A,B,C为系数
x
?xy?y
8.A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),A,B中点坐标为:(
12
,
12
)
22
|PP|?
9.两点间的距离:平面上的两点
P
1
(x1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2)
间的距离公式:
12
10.点到直线的距离:点
P
0
(x
o
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距
离:
d?
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
11.两条平行线间的距离:两条平行线
Ax
?By?C
1
?0与Ax?By?C
2
?0
间的距离:
d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22
1
2.已知直线
l
1
,l
2
的方程分别是:
l
1:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
(
A<
br>1
,B
1
不同时为0),
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
(
A
2
,B2
不同
时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别:
(1)
l1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
; (2)
l
1
l
2
?A<
br>1
B
2
?A
2
B
1
?0,AC
12
?A
2
B
1
?0
;
13.圆的标准方程:方程<
br>(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0)表示圆心为A(a,b),半径长为r的圆.
DE
1
,?)
,
r?D
2
?E
2
?4F
.
22
2
r<
br>的关系:
相离?d?r;相切?d?r;相交?d?r.
15.圆与直线的位置关系:圆心到直线的距离 与半径
d
14.圆的一般方程:方
程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F?0
),圆心是
(?
16.正弦定理:a
sin
A
17.面积公式:
S
?ABC
2
?
2
r
(r为外接圆的半径)
sin
B
sin
C
1
11
?absinC?acsinB?bcsinA
222
??
2
2
b
c
b
2
?c
2
?a
2
18.
余弦定理:
a
?
b
?
c
?2
bc
cos<
br>A
推论:
cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2
b
?
a
?
c
?2
ac
cos
B<
br>
cosB?
2ac
222
b
2
?a
2
?c
2
c
?
a
?
b
?2
ab
cos
C<
br>
cosC?
2ba
22219.常考特殊结论:
sinC?sin(A?B)
a,b都得是正数
cosC?
?cos(A?B)tanC??tan(A?B)
积定和最小:a?b?2a?b
(a?b为定值)
(最常考)
20.
基本不等式:一正、二定、三相等?当且仅当a?
b时取最值,取等号。
(a?b为定值)
a,b都得是正数
(a?b)
2
和定积最大:a?b?
4
6
21.随机事件
在某个条件下,一定会发生的事件,叫做必然事件;
在某个条件下,一定不会发生的事件,叫不可能事
件;
必然事件和不可能事件,统称为确定事件。
在某个条件下,可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。
22.互斥事件(
A
B??
):A、B两个事件不能同时发生,有多个事件。(例如:抛一枚骰子,向上面的点数)
对立事件(
A
23.频数与频率
在某个相同条件下进行n次试验,若
某一事件A发生的次数为
n
A
,则称事件A出现的频数为
n
A
;
事件A出现的次数
n
A
与试验次
数n的比值叫做事件A出现的频率,记作
f
n
(A)
.
24.概率
对于随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生的频率
f
n
(A)
稳定在某个常数的附近,则把这
个常数称为事件A的概率,记作P(A).
25.数列:
已知
S
n
求
a
n
:
①当
n?1
时:
a
1
=S
1
=...
<
br>②当
n?2
时:
a
n
=S
n
?S
n
?1
=...
(记住检验①②能否合并在一起)
等比数列(不含0)
通项公式:
等比中项:
常用性质:
前n项和:
(例如:抛一枚硬币)
B??,AB=
必然事件):首先A、
B得互斥,仅有这两个事件。
(n?1)
?
S
1
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2)<
br>等差数列
通项公式:
等差中项:
常用性质:
前n项和:
a
n
?a
1
?(n?1)d
=a
m
?(n?m)d
a
n
?a
1
?q
n?1
?a
m
?q
n?m
a,b,c成等差?a?c?2b
a,b,c成等比?a?c?b
2
若m?n?p?q
则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
S
n
?<
br>
若m?n?p?q
则a
m
?a
n
?a
p<
br>?a
q
?
na
1
?
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
1?q
?
n(a
1
?a
n
)
2
n(n?1)
?na
1
?d
2
(q?1)
(q?1)
26.常用求和方法:
①等差用等差公式求和 ②等比用等比公式求和
n
③若是等差加等比,用分组求和:
a
n
?{等差}?{等
比}
,例如:
a
n
?2n?1?2
(2n?1)2
n
④若是等差乘等比,用错位相减求和:
a
n?{等差}{等比}
,例如:
a
n
?
⑤若是分母为n的二次函数
,分子为常数,用裂项相消求和:例如:
a
n
?
2211
?=2(?
)
2
n?nn(n?1)nn?1
注意:数列问题,在没有思路的时候,都
能回归到基本量,可以用首项、公差、公比、项数n来列式计算。
7
1.命题与常用逻辑用语: 命题定义:可以判断真假的陈述句叫做命题.
①真命题:命题是正确的叫做真命题; 假命题:命题是错误的叫做假命题.
②四种命题的形式: 原命题:若p,则q; 逆命题:若q,则p;
否命题:若¬p,则¬q; 逆否命题:若¬q,则¬p .
原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.
2. 充分与必要条件:
定义:如果p ? q,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
如果p ?
q,那么p 与 q互为充要条件.
3. 逻辑连结词:
用联结词“且”把命题p和命题q
联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”。(一假即假)
用联结词“或”把命题p
和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”。(一真即真)
对一个命题p全
盘否定,就得到一个新命题,记作¬p,读作“非p”或“p的否定”。(¬p和p真假相反)
4.全称量词:任意、所有,符号:
?
特称量词:存在,符号:
?
注意:命题的否定(¬p)是否定结论(前改
?与?
互改,后否);否命题是条件与结
论全否。
5.椭圆与双曲线:
椭圆
定义:平面内到两个定点<
br>F
1
、F
2
的距离之和等于常数
双曲线
定义:平面
内到两定点
F
1
、F
2
的距离之差的绝对值等
于定长
2a
(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹叫双曲线。
标准方程
2222
2a
(大于
F
1
F
2
)的点的轨迹叫做椭圆。
标准方程
a?b?0
图形
x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
y
2
x
2
?
2?1
2
ab
a、b?0
图形
xy
??1
22
ab
yx
??1
22
ab
短轴:2b焦距:2c
c
离心率:e??(0,1)
a
a最大:a
2
?b
2
?c
2
a,b,c
?0
长轴:2a
实轴:2a
虚轴:2b焦距:2c
c
离心率:e??(1,??)
a
222
c最大:c?a?ba,b,c?0
6.抛物线:平面内到一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点
F
为抛物线的焦点,
定直线
l
为抛物线的准线。
方程
y
2
?2px
?
p?0
?
y
2
??2px
?
p?0
?
x
2
?2py
?
p?0
?
x
2
??2py
?
p?0
?
图像
焦点
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
?
p
?
F
?
0,
?<
br>
?
2
?
p
??
F
?
0,?
?
2
??
准线
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
8
7.直线与圆
锥曲线相交的弦长问题:直线
l:Ax?By?C?0,斜率为k
弦长公式:设交点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
AB?1?k
2
?x
A
?x
B
=1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
bc
韦
达定理:ax
2
?bx?c?0,a?0,??0?x
1
?x
2??,x
1
?x
2
?
aa
8.空间向量的直角坐标运算律:
①若
A(x
1
,y
1<
br>,z
1
)
,
B(x
2
,y
2
,z<
br>2
)
,则
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
②
若
a?(a
1
,a
2
,a
3
)
,
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
,则
a?b
?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
,
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
,
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)
,
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?
a
3
b
3
,
|a|?a?a?a
1<
br>2
?a
2
2
?a
3
2
ab?a=
?
b(
?
?R)
,
a?b?a<
br>1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0
.
b?
③夹角公式:
cosa,
a1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?b
?
.
222222
|a|?|b|
a<
br>1
?a
2
?a
3
b
1
?b
2
?b
3
2
222
④两点间的距离公式:若
A(x
1
,y
1
,z
1
)
,
B(x
2
,y
2
,z
2
)
,
d
AB
?|AB|?AB?(x<
br>2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)
9.证明平行问题:
①线线平行:证明两
直线平行可用
ab?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
(
?
?R)
.
②线面平行:直线
l
的方向向量
为
a
,平面
?
的法向量为
n
,且
l?
?<
br>,若
a?n
即
a?n?0
则
a
?
.
③面面平行:平面
?
的法向量为
n
1
,平面
?
的
法向量为
n
2
,若
n
1
n
2
即
n
1
?
?
n
2
则
?
?
.
10.证明垂直问题:
①线线垂直:证明两直线垂直可用
a?b?a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b<
br>3
?0
②线面垂直:直线
l
的方向向量为
a
,平面
?
的法向量为
n
,且
l?
?
,若
an
即
a?
?
n
则
a?
?
.
③
面面垂直:平面
?
的法向量为
n
1
,平面
?
的法向
量为
n
2
,若
n
1
?n
2
即
n<
br>1
?n
2
?0
则
?
?
?
.
11.求夹角
①线线夹角:设
a?(a
1
,a
2
,a
3
)b?(b
1
,b
2
,b
3
)?
?(0?,90?]
,则:
cos
?
?|cos?a,b?|
;
②线面夹角:
sin
?
?
|cos?n,AP?|?
|n?PA|
|n||PA|
12.二面角:设
n
1
、
n
2
分别是二面角两个半平面
?
、
?
的法向量,直接求
cos?n
1
,n
2
?
的值,观察图像,
判
断二面角
?
为钝角还是锐角,得出
?
的值。
13.复数:
i
2
??1
①复数:
z?a?bi
,(a,b?R)其中a叫实部,b叫虚部,对应的坐标为(a,b),模长|z|=a
2
?b
2
;
②纯虚数:
bi,b?0
③两个复数相等:
a?bi?c?di?a?c且b?d(其中,a,b,c,d,?R)
.
④两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.
⑤复数加、减、乘、除法的运算法则: <
br>设
z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
,则
z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i
;
z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i
;
z
1
ac?bdbc?ad
?
2
?
2
i
。
22
z
2
c?dc?d
⑥共轭复数:两个复数实部相等,虚部互
为相反数:
z?a?bi
与
z?a?bi
互为共轭复数。
9
14.平均变化率:
f(x
2
)?f(x1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?
??
x
2
?x
1
?x
?x?x
15.导数的概念:从函数
?x?0
y?f(x)
在
x?x
0处的瞬时变化率是:
lim
f(x
0
??x)?f(x
0)
?f
?lim
我们称它为函数
y
?x?0
?x?x
'
0
?x?0
?f(x)
在
x?x
0
出的
导数,
'
y|
x?x
0
即
f
?
(x)?
lim
记作
f(x
0
)
或
f(x
0
??x
)?f(x
0
)
?x
16.常见函数的导数公式:
C'
?0
;
(x
n
)'?nx
n?1
;
(sinx)'
?cosx
;
(cosx)'??sinx
;
(a
x
)<
br>?
?a
x
lna(a?0)
;
(e
x
)?
?e
x
;
(
log
x)
??
a
1111
(a?0,
且
a?1)
;
(ln
x)
?
?
;
()
?
??
2
xl
naxxx
f(x)f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
]
?
?
g(x)[g(x)]
2
18.函数单调性与
导数:在区间内
y
?
?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区
间内的增函数;
在区间内
y
?
?0
,那么函数
y?f(
x)
在这个区间内的减函数.
19.函数的极值与导数:
把
a
叫
做函数
y?f(x)
的极小值点,
f(a)
叫做函数
y?f(x)<
br>的极小值;
把
b
叫做函数
y?f(x)
的极大值点,
f(b)
叫做函数
y?f(x)
的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点.
①函数的极值不是唯一的;② 一个函数的极大值与极小值没有直接大小关系;③函数的极值点一定出现
在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
注意:
f
?
(x0
)=0推不出f(x)在x?x
0
处取得极值;f(x)在x?x
0<
br>处取得极值则f
?
(x
0
)=0一定成立
17.<
br>[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x
)
;
[f(x)g(x)]
?
?f
?
(x)g(x)?f
(x)g
?
(x)
;
[
20.极坐标:
①极轴:
Ox,即x轴非负半轴;②极点:原点(0,0);③M点极坐标表示(
?
,
?
)
;
21.参数方程
(1)圆
(x?a)?(y
?b)?r
的参数方程可表示为
?
222
?
2
?x
2
?y
2
,x?
?
cos
?
,y?
?sin
?
,tan
?
?
y
(x?0)
x
?
x?a?rcos
?
,
(
?
为参数)
.
?
y?b?rsin
?
.
?
x?acos
?
,
x
2
y
2
(2)椭圆
2
?
2<
br>?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参
数)
.
ab
y?bsin
?
.
?
?
x?
x
o
?tcos
?
,
M(x,y)
(3)经过点
O
oo
,倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
(
t
为参数).
y?y?tsin
?
.
o
?
注意:参数方程转换成一般方
程,主要方法就是“消参”,即把参数消掉,常用“
sinx?cosx?1
”。
遗漏:
22
10