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高三数学常用公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 14:27
tags:高中数学公式

高中数学竞赛1991上海-15分钟以内的高中数学片段教学视频



必须掌握的主要公式

------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------

等差数列通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
m
?(n?m)d

等差数列前n项和公式:
S
n
?a
1
n?
n( n?1)
2
等差中项公式: a,b,c成等差数列,则2b=a+c
如果m+ n=p+q,则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q

等比数列通项公式:
a
n
?a
1
q
等比数列前n项和公式:
S
n
?
n?1
d

S
n
?
a
1
?a
n
2
n


a
n
?a
m
q
n
n?m

a
1
(1?q)
1?q
2

S
n< br>?
a
1
?a
n
q
1?q

等比中项公式: a,b,c成等比数列,则b=ac
如果m+n=p+q,则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q

1
n(n?k)
?
111
(?)

knn?k
(n?1)
?
a
1
S
n
??

?
S
n
?S
n?1
(n?2)
- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -

两角和与差的三角函数:
sin(
?
?
?)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?< br>

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?


tan(< br>?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?
tan
?
2

二倍角公式:
sin2
?
?2sin
?
cos
?


cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos?
?1?1?2sin
?


tan2
?
?
降幂公式:
sin
2
222< br>2tan
?
2
?
?
1?tan
?
1?cos 2
?
2

2

cos
?
?
1?cos2
?
2

辅助角公式(化弦公式):
asin
?
?bcos
?
?
三角函数周期公式: 对于正弦和余弦,
T?
对于正切和余切,
T?
正弦定理:
a
sinA
?
b< br>sinB
?
c
sinC
?2R
22
a?bsin(< br>?
?
?
)
,其中
tan
?
?
ba

2
?
w


(R是三角形外接圆的半径)

?
w



2< br>?
b
?
cosA?
222
?
a?b?c?2bcco sA
?
2
?
2
?a
22
余弦定理:
?
b?a?c?2accosB

?
cosB?
?
222
?
2
?
c?a?b?2abcosC
?
a
?
cosC?
?
?c?a
2bc
?c?b
2ac
?b?c
2ab
2
2
22
2

2
扇形面积公式:
S

?
1
2
l< br>?
?
1
2
?
r
2

(其中l是扇形弧长,
?
是扇形中心角的弧度数,r是扇形半径)


----------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------

x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
定比分点公式:
x?

y?

1?
?
1?
?
'
?
?
x?x?h
坐标平移公式:
?

'
?
?
y?y?k
??
向量夹角公式:
cos
?
?
a?b
??

ab
????
向量点积公式:
a?b?abcos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2

三角形重心坐标公式:
x?

33
其中(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),(x3
,y
3
)是三角形三个顶点的坐标

---------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------

22333
均值定理:
a?b?2ab

a?b?2ab

a?b?c?3abc

a?b?c?3
3
abc

x
1
?x
2< br>?x
3

y?
y
1
?y
2
?y3

ab?
(a?b)
2
2

ab?
a?b
2
22


---------- -------------------------------------------------- ------------------------------------------

y?y
1
(x
1
?x
2
)
两点斜率公式:
k?tan
?
?
2
x
2
?x
1
直线方程的五种形式: 点斜式
y?y
0
?k(x?x
0
)

斜截式
y?kx?b

截距式
两点式
x
ab
y?y
2
?
y
?1(a,b是直线在x,y轴上的截距)

y2
?y
1
?
x?x
2
x
2
?x
1

一般式
ax?by?c?0

两条直线平行的充要条件:k
1
=k< br>2
,b
1
≠b
2
或两条直线斜率都不存在
两条直线垂直的充要条件:k
1
k
2
=-1 或一条直线斜率不存在另一直线斜率是0



点到直线距离公式:
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
C
2< br>?C
1
A?B
22
22

Ax?By?C?0,点是(x
0
,y
0
)

其中直线方程是
平行线间距离公式:
d?


其中平行线方程是
两条直线夹角公式:
tan
?
?
A x?By?C
1
?0和Ax?By?C
2
?0

k
2
?k
1
1?k
1
k
2

其中k
1
和k
2
是两条直线的斜率

直线
l
1
到直线
l
2
的到角公式:
tan
?
?
直线和二次曲线相交弦长公式:
d?
k< br>2
?k
1
1?k
1
k
2
2

其中k
1
和k
2
是两条直线的斜率
1?
1

y
2
?y
1

2
k
其中(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)是直线和二 次曲线相交的交点坐标,k是直线斜率

圆方程的三种形式: 标准式(x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2

一般式x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0 其中D
2
+E
2
-4F>0
1?kx
2
?x
1
?
参数式
?
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?


---------------------------------- -------------------------------------------------- ------------------

椭圆方程的标准形式:
x
a
2
2
?
y
b
a
2
2
2
?1
或者
y
a
2
2
?
x
b< br>a
2
2
2
?1
其中a=b+c
222
椭圆的准线方程:
x??
椭圆的离心率:
e?
椭圆的焦准距:
d?
c
a
c
或者
y??
c

?(0,1)

2
a
c
?c

焦半径公式:
PF
1
?a?ex
0
PF
2
?a?ex
0
或者
PF
1
?a?ey
0
?
PF
2
?a?ey
0


其中(x
0
,y
0
)是椭圆上任意一点
其中
?是三角形中两焦点所在
2
**************************************************
P的坐标

边的对角
焦点三角形面积公式:
S?btan
2

双曲线方程的标准形式:
x
a2
2
?
y
b
a
2
2
2
?1< br> 或者
y
a
2
2
?
x
b
a
2
2
2
?1
其中a+b=c
222
双曲线的准线方程:
x??
双曲线的离心率:
e?
c
a
c
或者
y??
c

?(1,??)

双曲线的焦准距:
d?c?
a
2
c

b
a
x
或者
y??
a
b
x
双曲线的渐近线方程:
y??



焦点三角形面积公式:
S?b
2cot
?
2
其中
?
是三角形中两焦点所在边的对角

**************************************************
抛物线方程的标准形式:
y
2
??2px
或者
x
2
??2py

抛物线的准线方程:
x??
抛物线的离心率:
e?
c
?1

p
2
p
2
或者
y??

a
抛物线的焦准距:
d?p

抛物线焦点弦弦长:
对于
y?2px
,过焦点弦长为
d?
2
1?k2
x
2
?x
1
?
2p
sin
2
?
?x
1
?x
2
?p
。其中(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)是
直线和抛物线相交的交点 坐标,
?
是直线和x轴斜交所成角

----------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------

异面直线上两点间距离公式:
AB
2
?d
2
2
?m?n?2mncos
?

22
三维坐标系下两点间距离公式:
AB
几何体面积体积公式:
V

?Sh
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2?z
1
)
V

?
1
3
ShV

?
4
3
222

2
?
R
3
S

?4
?
R

---------------------------------------------- -------------------------------------------------- ------

m!
n
排列数公式:
A
m
?

(m?n)!
组合数公式:
C
m
?
n
m!
n!(m?n)!
n


C
m?1
?C
m
?C
m
rn?r
1
nnn?1
组合数的性质公式:
C
m
?C
m
m?n

二项展开式的通项公式:
T
r?1
?C
n
a
0
b

nn
r
二项展开式的二项式系数和:
C
n
?C
n
?......?C
n
?2

二项展开式的展开式系数和: S=f(1)

-------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------
m
P?
等可能事件概率公式(古典概型):
n
互斥事件概率公式:
P(A)?1?P(A)

P(A?B)?P(A)?P(B)

相互独立事件概率公式:
P(A?B)?P(A)?P(B)

n次独立重复试验中发生k次的概率公式:
P
n
(k)?C
n
P(1?P)
kkn?k


----------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------

(文)多个样本的平均值公式:
x?
(文)多个样本的方差公式:
S
2
1
n
1
n
(x
1
?x
2
?...?x
n
)
[(x
1
?x)?(x
2
?x)?...?(x
n< br>?x)]

222
?



(理)多个样本的期望公式:
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?...?x
n
P
n

(理)多个样本的方差公式:
D
?
?(x
1
?E
?
)P
1
?(x
2
?E
?
)P
2
?...?(x
n
?E
?
)P
n

(理)如果< br>?
~B(n,p),则E
?
?np,D
?
?np(1?p)< br>

------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------

(理)极限运算法则:

limC?C

limq
n??
222
n
n??
?0(q?1)

lim
1
n
n??
?0

lim
n??
x?x
0
a
n
b
n
?
lima< br>n
n??
limb
n
n??


lim
x?x
0
f(x)和limg(x)都存在时

lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)

x?x
0
x?x
0
x?x
0

lim[f(x)g(x)]?lim
x?x
0
x?x
0
f (x)limg(x)

lim
x?x
0
f(x)
g( x)
n
x?x
0
?
x?x
0
limf(x)
x?x
0
limg(x)
n


lim[cf(x)]?clim
x?x
0
x?x
0
f(x)

lim[f(x)]?[limf(x)]

x?x
0
x?x
0

----------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------

nn-1
常用函数导数公式: C`=0 (x)`=nx (sinx)`=cosx (cosx)`=-sinx
(e)`=e (a)`=aln
(lnx)?
xxxxa
`
1
x

(log< br>x
a
)?
`
1
x
log
e
a


--------------------------------------- -------------------------------------------------- -------------


i??1
2
i?1
4
(1?i)??2i
2
1?i
1?i
?ii?i
nn?1< br>?i
n?2
?i
n?3
?0


三角函数:
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA- tanB)(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+si n(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+sin[α+2π*(n- 1)n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n)+cos(α+2 π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
cot(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) cot(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB

正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径



余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角

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