高中数学解题公式大全

高中数学

数学公式大全
1 集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个 ；真子集有
2
n
?1
个；非空子集有
2
n
?1个；非空的真子
有
2
n
?2
个.
2二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
；
(2) 顶点式
f(x)? a(x?h)?k(a?0)
；（当抛物线的顶点坐标为
(h,k)
时）；
(3) 零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)( a?0)
；（当抛物线与
x
轴的交点坐标为
(x
1
,0), (x
2
,0)
时）；
2
（4）切线式
f(x)?a(x? x
0
)?(kx?d),(a?0)
；（当抛物线与直线
y?kx?d
相切且切点的横坐标为
2
2
x
0
时）。
3 常见结论的否定形式:
（1）所以===存在一个；
（2）（都）是===不（都）是；
（3）至少有n个===至多有n-1个；
（4）至多有n个===至少有n+1个；
（5）大（小）于===不大（小）于。
4函数的奇偶性：（定义域关于原点对称）
奇函数：（1）奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：（1）偶函数的图象关于y轴对称；
（2）偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：(1)奇·偶=奇；（2）奇·奇=偶；(6)奇±偶=非奇非偶。
5函 数的周期性：对函数f（x），若存在T
?
0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x） 是周期函数。
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2
m?n
；
(3)、
f(x?m)??
1
，此时周期为2m 。
f(x)< br>6对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b ?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?
两个函数
y ?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
7 对数公式 :
log
a
N?
a?b
；
2
b?a
对称.
2
log
m
N
(< br>a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,< br>
N?0
)；
log
m
a
对数恒等式：
a
a
?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
)。
8 对数的运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
logN
n
?log
a
b
； (2)
log
a
1?0
；

m
n
n
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R)
; (4)
log
a
m
N?log
a
N(n,m?R)
。
m
x
9 平均增长率：若原产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则
y?N(1?p)
（x：时间，y：总产值）.
n(a
1
?an
)
n(n?1)
10等差数列：前n项和：
S
n
?< br> ；
S
n
?na
1
?d
。
22
（ 1）
log
a
m
b?
n

常用性质：（1）若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为 等差数列，则
?
a
n
?b
n
?
为等差数列； （2）
?
a
n
?
为等差数列，
S
n
为 其前n项和，则
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
成等差数列；
（3）
a
p
?q,a
q
?p,则a
p?q
?0
；
（4） 1+2+3+…+n=
n(n?1)
。
2
(q?1)
(q?1)
。
?
na
1
?
11等比数列：前n项和：
S
n
?
?
a
1(1?q
n
)
?
1?q
?
常用性质：若
?a
n
?
、
?
b
n
?
为等比数列，则< br>?
a
n
?b
n
?
为等比数列。
ab(1?b)
n
12 分期付款(按揭贷款) ：每次还款
x?
元 (贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
n
(1?b)?1
13三角函数：
（1）
tan(
??
?
)?
tan
?
?tan
?
；
1 mtan
?
tan
?
（2）
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?< br>?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定 ,
tan
?
?
b
).
a
2tan
?
；
2
1?tan
?
1?cos2
?
1?cos2
?
2
（4）
sin
?
?
；
,cos
2
?
?
22
（3）
sin2
?
?sin
?
cos
?
?
1?tan
2
?
（5）
cos2
?
?cos< br>?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?< br>?
.
1?tan
2
?
2tan
?
sin2
?
1?cos2
?
（6）
tan2
?
?
；
tan
?
??
1?tan
2
?
1?cos2
?
sin2
?
2222
14 三角函数的周期公式
（1）函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?co s(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且 A≠0)的周期
T?
2
?
；
|
?
|
（2 ）函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?
2
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
(|OA|?|OB|)?(OA?OB)
. （3）
S
?OAB
?
2
a?b－c
斜边
2S
?
r
?内切圆< br>?,r
直角?内切圆
?
.
a?b?c2
r
rr
r
15 平面向量：设
a
=< br>(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
rr
r
r
16 向量的平行与垂直 ：设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则：
r
r
r
r
（1）
a
||
b
?
b
= λ
a

?x
1
y
2
?x
2
y1
?0
；（交叉相乘差为零）；
rr
r
rrr
（2）
a
?
b
(
a
?
0
)
?

a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.（对应相乘和为零）；
(3)零向量与任一向量的数量积为零。
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
?
；
|< br>?
|

uuuruuur
P
2
(x
2< br>,y
2
)
，17 线段的定比分公式 ：设
P
且
PP
P(x,y)
是线段
P
1
(x
1
,y
1< br>)
，
1
P
2
的分点,
?
是实数，
1
?
?
PP
2
，
?
x
1
?
?
x
2
uuuruuur
x?
uuuruuuruuur
u uur
?
OP
1
?
1?
?
1
?
?
OP
2
则
?
（）.
t?
?(1?t)OP
?
OP?
?
OP?tOP
12
1?
?
1?
?
y?
?
y
2
?
y?
1
?
1?
?
?
18三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为：
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2< br>)
、
C(x
3
,y
3
)
,
x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3则△ABC的重心的坐标是：
G(
1
,)
.
33
19 三角形五“心”向量形式的充要条件：（设
O
为
?ABC
所在平面上一点）
uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
；（中垂线）
u uuruuuruuurr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?O A?OB?OC?0
；（中线）
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?O A
；（高）
uuuruuuruuurr
（4）
O
为
?A BC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0
；（角平分线）
uuuruuu ruuur
（5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心?aOA?bOB?cOC
.
20 常用不等式：
（1）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).
；
（2）
a?b?a?b?a?b
；
333
2aba?ba
2
?b
2
(3）。
?ab??
a?b22
21 极值定理:已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
（3）已知
a ,b,x,y?R
，若
ax?by?1
，则有：
?
1
2
s
；
4
1111byax
??( ax?by)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2
；
xyxyxy
ab
?
（4）已知
a,b,x,y?R
，若
??1
，则有：
xy
abaybx
x?y?(x?y)(?)?a?b???a?b?2a b?(a?b)
2

xyxy
22直线的五种方程：
（1）点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
； (直线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)
（2）斜截式：
y?kx?b
； (b为直线
l
在y轴上的截距)
（3）两点式的推广：
(x
2?x
1
)(y?y
1
)?(y
2
?y
1
)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件！）
xy
??1
； (
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a?0、b?0
)
ab
rr
?
直线
Ax?By?C?0
的法向量：
l?(A,B)
，方向向量：
l?(B,?A)

(3) 截距式：
23 夹角公式：
k
2
?k
1
|
(
l
1
:y?k< br>1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x? b
2
,
k
1
k
2
??1
)；
1 ?k
2
k
1
AB?A
2
B
1
|
(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B2
?0
)。 (2)
tan
?
?|
12
A1
A
2
?B
1
B
2
(1)
tan?
?|

24 圆的方程：
（1）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
； (
D
2
?E
2
?4F
＞0).
22
?
x?a?rcos
?
（2）圆的参数方程
?
；
y?b?rsin
?
?
（3）圆的直径式方程 (x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y< br>2
)?0
。 (圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1< br>)
、
B(x
2
,y
2
)
).
b
2
a
2
25 椭圆的方程：（准线到中心的距离为；焦点到对应准 线的距离(焦准距)
p?
；过焦点且垂
c
c
b
2
直 于长轴的弦叫通经，其长度为：
2g
;|F1F2|=2c; |PF1|+|pf2|=2a.）
a
?
x?acos
?
（1）椭圆的参数方程
?
；
y?bsin
?
?
a
2
a
2
（2）焦半径 公式:
PF
1
?e(x?)?a?ex
；
PF
2
?e(?x)?a?ex
；
cc
?F
1< br>PF
2
（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积
S
?F
1PF
2
?c|y
P
|?btan
。
2
26椭圆的的内外部:
x
2
y
2
（1）点P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2< br>（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
ab
27 椭圆的切线方程:
22
x
0
y
0
?
2
?1
； 2
ab
22
x
0
y
0
?
2
? 1
。
2
ab
x
2
y
2
xxyy
(1) 椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2?1
；
ab
ab
x
2
y
2
xxyy
（2）过椭圆
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?0
2
?1
；
ab
ab
x
2
y
2
22222
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
。
ab
b
2
a
2
28 双曲线的方程：（准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距)
p?
；过焦点且
c
c
b
2
垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：
2g
.）
a
a
2< br>a
2
（1）焦半径公式
PF
1
?|e(x?)|?|a?ex |
，
PF
2
?|e(?x)|?|a?ex|
，
cc?F
1
PF
2
（2）两焦半径与焦距构成三角形的面积
S
?F
1
PF
2
?bcot
。
2
29 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
； ab
ab
a
22
xy
xy
b
(2)若渐近线方 程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
；
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
；
a bab
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）
(4) 焦点到渐近线的距离总是
b
。
30双曲线的切线方程: