完整word版,高中理科数学公式大全(完整版),推荐文档

坤宏文化课培训
高中数学公式大全（最新整理版）

(1)在给定 区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
§01. 集合与简易逻辑
f(x,t)
min
?0(x?L)
.
1. 元素与集合的关系
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二
x?A?x?CU
A
,
x?C
U
A?x?A
.
次不等式f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
2.德摩根公式
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
f(x,t)
man
?0(x?L)
.
42
(3)
f(x)?ax?bx?c?0
恒成立的充要条件是
.
3.包含关系
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?CU
A

?AIC
U
B???C
U
AUB?R

4.容斥原理
?
a?0
?
a?0
?
或.
?
b?0
?
2
?
c?0
?
b?4ac?0
?
9.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假

10.四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命
题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命
题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆
否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命
题互为逆否；
15.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；
反之亦然.
card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)
.
n
5．集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子 集个数共有
2
个；真
子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1个；非空的真子
集有
2
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)?0
，则方程f(x)?0
在区
间
(m,n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则
（1）方程
f(x)? 0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件
2
2
n
n n
?
p
2
?4q?0
?
为
f(m)?0
或
?
p
；
?
??m
?2
（2）方程
f(x )?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
f(m)?0
?
f(m)f(n)? 0
或
?
p
2
?4q?0
或
?
或
f (n)?0
?
?
p
?
m???n
?
?2
?
f(n)?0
；
?
?
f(m)?0
（3）方程
f (x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件
?
p
2< br>?4q?0
?
为
f(m)?0
或
?
p
.
?
??m
?2
8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依
据
1

§02. 函数
11.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1< br>?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?< br>f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a, b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
(x
1< br>?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0 ?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2

坤宏文化课培训
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
则
f(x)
为增函数；如果< br>f
?
(x)?0
，则
f(x)
f
?
(x)? 0
，
为减函数.
12.如果函数
f(x)
和
g(x)都是减函数,则在公共
定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果 函数
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到 曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
20．互为反函数的两个函数的关系 y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,
则复合函 数
y?f[g(x)]
是增函数.
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图 象关于原点对称，偶函数的图象关于y
轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，
那 么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴
对称，那么这个函数是偶函数．
14.若 函数
y?f(x)
是偶函数，则
f(a)?b?f
?1
(b)?a< br>.
21.若函数
y?f(kx?b)
存在反函数,则其反函数
1?1
?1
为
y?[f(x)?b]
,并不是
y?[f(kx?b )
,而函
k
1
?1
数
y?[f(kx?b)
是y?[f(x)?b]
的反函数.
k
22.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)? c
.
(2)指数函数
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y? f(x?a)
是偶函
数，则
f(x?a)?f(?x?a)
.
15 .对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函
f(x)?a
x
,
f(x?y)?f(x)f(y), f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
a?b
数
f(x)
的对称轴是函数
x?
;
2
两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图
a?b
象关于直线
x?
对称.
2
16若
f( x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关
a
于点(,0)
对称;
2
若
f(x)??f(x?a),则函数
y?f(x)
为周期
为
2a
的周期函数.

17.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1 (a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f (xy)?f(x)f(y),f
'
(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y) ?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
g(x)
f(0)?1,lim?1
.
x?0
x
23.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
2
?f(a?mx)?f(b?mx)

?f(a?b?mx)?f(mx)
.
18.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y? f(?x)
的图象关于
直线
x?0
(即
y
轴)对称. (2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的
图 象关于直线
x?
1
(f(x)?0)
，
f(x)
1
或
f(x?a)??
(f(x)?0)
, f(x)
1
2
或
?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)?< br>?
0,1
?
)
,
2
则
f(x)
的周 期T=2a；
1
(f(x)?0)
，(3)
f(x)?1?
则f(x)
的周
f(x?a)
或
f(x?a)?
期T=3a； < br>(4)
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
且
1?f(x
1
)f(x
2)
a?b
对称.
2m
(3)函数
y?f(x)
和y?f
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|?2a)
，则
f(x)
的周期T=4a ；
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?1
(x)
的图象关于直线
y=x对称.
19.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单
位，得到函数y?f(x?a)?b
的图象；若将曲线
2

?f(x)f(x?a) f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的
周期T=5a ；
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的 周期

坤宏文化课培训
T=6a.
24.分数指数幂
(1)
a
(2)
a
m
n
32.等差数列的通项公式
?
?
1
n
?
m
n
?
a
1
m
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
an
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
其前n项和公式为
a
m
n
25．根式的性质
（1）
(
n
a)
n
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1< br>?d

22
d1
?n
2
?(a
1
?d)n
.
22
s
n
?
33.等比数列的通项公式
?
a,a ?0
n
n
当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
26．有理指数幂的运算性质
(1)
a? a?a
rs
r
rs
rr
rsr?s
a
n
? a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n?N*
)
；
q
其前n项的和公式为
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0，p 是一个无理数，则a
p
表示一个确
定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数 指
数幂都适用.
27.指数式与对数式的互化式

?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?

s
n
?
?
1?q
?
na,q?1
?
1
?
a
1
?a
n
q
,q?1
?
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
1
的通项公式为
34.等比差数列?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

28.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
(
a?0,且
a?1
,
m?0
,且
log
m
a
n
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
?
?
bq
n
?(d?b)q
n?1
?d
；
,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为
m?1
,

N?0
).
n
log
ab
(
a?0
,且
m
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
推论
log
a
m
b?
29．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
?
nb?n(n? 1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
.
d1?qn
d
?
(b?
1?q
)
q?1
?
1? q
n,(q?1)
?

§04. 三角函数
35．常见三角不等式
（1）若
x?(0,
(2) 若
x?(0,
M
(2)
log
a
?log
a
M?log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M( n?R)
.


?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
§03. 数 列
30. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p< br>，则
对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)< br>.
31.数列的同项公式与前n项的和的关系
x
)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
36.同角三角函数的基本关系式
?
sin
2
?
?co s
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
，
cos
?
tan
?
?cot
?
?1< br>.
37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看
象限）

n ?1
?
s
1
,
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s?s,n?2
?
nn? 1
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
).
3

坤宏文化课培训
n
?
n?
?
(?1)
2
sin
?
,
sin(?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)
2cos
?
,
?
n
?
n
?
?
( ?1)
2
cos
?
,

cos(

?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?
(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
（2）
S?
(3)
S
?OAB
111
absinC?bcsinA?casinB
.
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
?(| OA|?|OB|)?(OA?OB)
.
2
44.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

38.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
? 2(A?B)
.
222
cos(
?
?
?
)?co s
?
cos
?
msin
?
sin
?
; < br>tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
1
m
tan
?
tan
?
sin (
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin< br>2
?
?sin
2
?
(平方正
弦公式);
c os(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?co s
2
?
?sin
2
?
.
asin
??bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
b
所在象限由点
(a ,b)
的象限决定,
tan
?
?
).
a
39.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
45.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
46.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
47.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那
么对 于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、
λ
2
，使得a= λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
不共线 的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底．
48．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b?
0，则
a
P
b(b
?
0)
?x
1< br>y
2
?x
2
y
1
?0
.
49.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
50. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的
投影|b|cosθ的乘积．
51.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则
a+ b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b =
(x
2
,y
2
)
，则
a-b=
(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则

40.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω
2
?
＞0)的周期< br>T?
；
?
函数
y?tan(
?
x?
?)
，
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,
?
ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
.
?
41.正弦定理
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
42.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
43.面积定理
（1）
S?
uuuruuuruuur
AB?OB ?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)< br>.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则
a·b=
(x
1
x
2
?y1
y
2
)
.
52.两向量的夹角公式
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别
222
cos
?
?< br>(x
2
,y
2
)
).
x
1
x2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
表示a、b、c边上的高）.
4

53.平面两点间的距离公式

uuuruuuruuur

d
A,B
=
|AB|?AB?AB

54.向量的平行与垂直
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2?x
2
y
1
?0
.
a
?
b(a?
0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
.
坤宏文化课培训
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1< br>)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B(x
2
,y
2
)
).
uuuruuuruuurr< br>（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
uuuruuuruuur uuuruuuruuur
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
uuuruuuruuurr
?aOA?bO B?cOC?0
.
（5）
O
为
?ABC
的
?A< br>的旁心
uuuruuuruuur
?aOA?bOB?cOC
.
uu uruuur
分点,
?
是实数，且
PP?
?
PP
2
，则
1
55.线段的定比分公式
设
P
1
( x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
PP
12的

§06. 不 等 式
60.常用不等式：
（1）
a, b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时
取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
取“=”号)．
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）柯西不等式
333
?
22
x
1
?
?
x
2
?
uuuruuur
x?
?
uuur
OP?
?
OP
2
?
1?
?

?
OP?
1
?
y?
?
y
1?
?
2
?
y?
1
?
1?
?
?
uuuruuuruuur1
t?
（）.
?
OP?tOP?(1?t)OP
12
1?
?
56.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A( x
1
,y
1
)
、
a?b
?ab
(当且仅当 a＝b时
2
(a
2
?b
2
)(c
2
?d< br>2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
61.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有
最小值
2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时 积
xy
有最
大值
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
x?x?xy?y?y
3
G(
123
,
12
)
.
33
57.点的平移公式
uuur
uuu
r
r
uuu
??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
??
.
?OP?OP?PP
?
''
??
?
y ?y?k
?
y?y?k
'
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
F
上
uuur
'''
的对应点为
P(x,y)
，且
PP
'
的坐标为
(h,k)
.
''
1
2
s
.
4
推广 已知
x,y?R
，则有
58.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
(x?y)
2?(x?y)
2
?2xy

（1）若积
xy
是定值,则 当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
P
'
(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)< br>的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移
后得到图象
C< br>,则
C
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图 象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,
若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数解析式为
'
'
''
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
62.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y)? 0
按向量a=
(h,k)
平移后得
''
到图象
C
, 则
C
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向
量仍然为m=
(x,y)
.
59. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边
长分别为
a,b,c
，则
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
63.无理不等式
（1）
（2）
?
f(x)?0
?< br>f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g (x)
?
uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
5

坤宏文化课培训
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)? g(x)?
?
g(x)?0
或
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?
（ 3）
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?[g(x)]
2
?
64.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
A
2
、B
1
、B
2
都不为零,
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2
B
2
C
2
②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
①
l
1
||l
2
?
68.夹角公式
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
k
2
?k
1
|
.
1?k
2
k< br>1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，< br>l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1< br>k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
( 2)
tan
?
?|
12
|
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2< br>:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
( 1)
tan
?
?|
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
69.
l
1
到
l
2
的角公式
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
.
2
?
f(x)?0
?
log
af(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?

§07. 直线和圆的方程
65.斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
k
2
?k
1
. 1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?
12
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,< br>l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
(1)
tan
?
?
A
1
A
2< br>?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1< br>?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是

66.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过点
?
.
2
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截
距).
（3）两点式
70．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过 定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系
方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x? x
0
),其中
k
是待
定的系数; 经过定点
P
0< br>(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
1< br>x?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)

y
2
?y1
x
2
?x
1
(
x
1
?x
2
)).
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分 别为直线的横、
ab
纵截距，
a、b?0
)
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时
为0).
67.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1< br>?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2 )若
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
: A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点< br>的直线系方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
) ?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(除
l
2
)，其中
λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程： 直线
y?kx?b
中当斜
率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直
线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0

(A≠0，B≠0)垂 直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,
λ是参变量．
71.点到直线的距离
l
1
:A
1
x?B
1< br>y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、
6

坤宏文化课培训
A
2
?B
2
Ax?By?C?0
).

72. 圆的四种方程
d?
|Ax
0
?By
0
? C|
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l：
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程
222
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
77.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条，其方程是

22
x
2
?y
2
?Dx?E y?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端
点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
73. 圆系方程 (1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
.
22
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y2
)?
?
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
x
0
x?y0
y???F?0
表示

22
?(x?x)(x?x)?(y? y)(y?y)?
?
(ax?by?c)?0
x
0
x?y
0
y?
1212
,其中
ax?by?c?0
是直线
AB
的方程,λ是待定的系
数．
(2)过直线
l
:
Ax?By?C? 0
与圆
过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y< br>0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时必
有两条切 线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
， 再
利用相切条件求b，必有两条切线．
222
(2)已知圆
x?y?r
．
C
:
x?y? Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
x
2
?y
2
?Dx ?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待
定的系数．
22
(3) 过圆
C
1
:
x?y?D
1
x ?E
1
y?F
1
?0
与圆
22
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
C< br>2
:
x
2
?y
2
?D
2
x?E2
y?F
2
?0
的交点的圆系方程是
,λ是待定的系数．
74.点与圆的位置关系
222
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置
x
0
x?y
0
y?r
2
;
②斜率为
k
的圆的切线方程 为
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y ?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
y?kx?r1?k
2< br>.

§08. 圆锥曲线方程
x
2
y
2
78.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
ab< br>?
x?acos
?
.
?
y?bsin
?
?
x
2
y
2
79.椭圆
2
?
2
?1 (a?b?0)
焦半径公式
ab
a
2
a
2
P F
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x)
.
cc
80．椭圆的的内外部
关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆
上;
d?r?
点
P
在圆内.
75.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
76.两圆位置关系的判定方法
7

x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2?
2
?1(a?b?0)
的
ab
22
x
0y
0
内部
?
2
?
2
?1
.
ab

坤宏文化课培训
x
2
y
2
（ 2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
的
ab
22
x
0
y0
外部
?
2
?
2
?1
.
ab
81. 椭圆的切线方程
x
2
y
2
(1) 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0< br>,y
0
)
ab
xxyy
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
（2）过椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
外一点
ab
P(x
0
,y0
)
所引两条切线的切点弦方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
ab
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
x
2
y
2
(1)双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
ab
xxyy
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2< br>?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
（2）过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
ab
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
（3）双曲线
2< br>?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
ab
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
2
100. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
2
抛物线
y?2px(p?0)< br>焦半径
CF?x
0
?
p
.
2
过焦点弦长< br>x
2
y
2
96.双曲线
2
?
2
?1 (a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?|e(x?)|
，
PF
2
?|e(?x)|
.
cc
82.双曲线的内外部
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
22
x
0
y
0
x< br>2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
.
2
ab
ab
( 2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
22
x
0
y
0
x
2
y
2
?
2
? 1(a?0,b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
. < br>2
ab
ab
CD?x
1
?
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2
2
y
85.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(
?,y
?
)
2p
2
2
或
P(2pt,2pt)或
P
(x
o
,y
o
)
，其中
y
o
?2px
o
.
86.二次函数
83.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y< br>2
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近 线方程：
ab
x
2
y
2
?
2
?0?
y??
b
x
.
2
ab
a
xy
b
(2)若渐近线方程为
y ??x
?
??0
?
双
ab
a
x
2
y
2
曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
ab
x
2
y2
???
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点a
2
b
2
在y轴上）.
84. 双曲线的切线方程
8

b
2
4ac?b
2
y?ax?bx?c?a (x?)?
(a?0)
的图象
2a4a
b4ac?b
2
,)
；是抛物线：（1）顶点坐标为
(?
（2）焦
2a4a
b4ac?b
2
?1
,)
；点的坐标为
(?
（3）准线方程是
2 a4a
4ac?b
2
?1
y?
.
4a
2
87.抛物线的内外部
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的内部
?y
2
?2px(p?0)
.
2
点
P(x
0,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的外部
?y< br>2
?2px(p?0)
.
2
(2)点
P(x
0,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的内
2部
?y??2px(p?0)
.
2
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y< br>2
??2px(p?0)
.
2
(3)点
P(x
0< br>,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x
2
?2py(p?0)
.
2
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的外部

坤宏文化课培训
?x
2
?2py(p?0)
.
2
(4) 点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内
2
部
?x?2py(p?0)
.
2
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x??2py(p?0)
的外部
y
0
?y
代
y
即得 方程
2
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B ?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F? 0
222
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方
程得到.
?x??2py(p?0)
.
88. 抛物线的切线方程
2
(1 )抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)处的切线方
2

§09. 立体几何
93．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
2
（2）过抛物线
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
（4）转化为线面垂直；
2
（3）抛物线
y?2px(p?0)
与直线
（5）转化为面面平行.
2
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
94．证明直线与平面的平行的思考途径
89.两个常见的曲线系方程
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
(1)过曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交 点的曲
（3）转化为面面平行.
线系方程是
95．证明平面与平面平行的思考途径
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?
为参数).
（1）转化为判定二平面无公共点；
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
（2）转化为线面平行；
22
xy
22
（3）转化为线面垂直.
??1
k?max {a,b}
.当,其中
22
96．证明直线与直线的垂直的思考途径
a?kb?k
（1）转化为相交垂直；
k?min{a
2
,b
2
}
时,表示椭圆; 当
（2）转化为线面垂直；
min{a
2
,b
2
}?k? max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲线.
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
22
97．证明直线与平面垂直的思考途径
AB?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2< br>)
或
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
2222
AB? (1?k)(x
2
?x
1
)?|x
1
?x
2
|1?tan
?
?|y
1
?y
2
|
（2
1
）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
?cot
?

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
?
y?kx?b
（弦端点A< br>(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?
消
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
F(x,y)?0
?
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
2< br>去y得到
ax?bx?c?0
，
??0
,
?
为直线< br>AB
的倾
98．证明平面与平面的垂直的思考途径
斜角，
k
为直线的斜率）.
（1）转化为判断二面角是直二面角；
91.圆锥曲线的两类对称问题
（2）转化为线面垂直.
（1）曲线
F( x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称
99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
（2）曲线
F(x,y)? 0
关于直线
Ax?By?C?0
成
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋ λb．
轴对称的曲线是
100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推
2A( Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
F(x?,y?)?0
广
2222
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等
A?BA?B
.
于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始
92.“四线”一方程
点的对角线所表示的向量.
对于一般的二次曲线
101.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实
Ax
2< br>?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
2
，用
数λ使a=λb．
x
0
?x
x
0
y?xy
0
2
代
xy
，用代
x
，用
y
0
y
代
y
，用
P、A、B
三点共线
程是
y
0
y?p(x?x
0
)
. 2
2
uuuruuur
?
AP||AB
?
AP?tAB
?
9

uuuruuuruuur
OP?(1?t)OA?tOB
.
uuur
uuur
AB||CD
?
AB
、
CD
共 线且
AB、CD
不共线
uuuruuur
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.
坤宏文化课培训
uuuruuuruuur
d
A,B
=
|AB|?AB?AB

102.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实
数对
x,y
, 使
p?ax?by
．
推论 空间一点P位于平面MAB内的
?
存 在有序
uuuruuuruuur
实数对
x,y
,使
MP?xMA? yMB
，
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
uuuru uuuruuuruuur
OP?OM?xMA?yMB
.
103.对空间任一点< br>O
和不共线的三点A、B、C，满
uuuruuuruuuruuur
足
OP?xOA?yOB?zOC
（
x?y?z?k
），则当
k?1
时，对于空间任一点
O
，总有P、A、B、C四点共
面；当
k?1
时 ，若
O?
平面ABC，则P、A、B、C四点
共面；若
O?
平面AB C，则P、A、B、C四点不共面．
uuuruuur
uuur
A、B、 C、D
四点共面
?
AD
与
AB
、
AC
共
uuuruuuruuur
面
?
AD?xAB?yAC
?

uuuruuuruuuruuur
OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O ?
平面ABC）.
104.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面 ，那么对空间任一向
量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa
＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x ，y，z，使
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
110.点
Q
到直线
l
距离
1< br>h?(|a||b|)
2
?(a?b)
2
(点
P
在直 线
l
上，直
|a|
uuur
uuur
线
l
的方向向量a=
PA
，向量b=
PQ
).
111.异面直线间的距离
r
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l
1
,l
2
间的距离).
112.点
B
到平面
?
的距离
uuuruur
|AB?n|
r
r
（
n
为平面
?
的法向量，
AB
是经过
d?
|n|
面
?
的一条斜线，
A?< br>?
）.
113.异面直线上两点距离公式
uuuruur
|CD ?n|
r
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量 为
d?
|n|
d?h
2
?m
2
?n
2m2mncos
?
.
uuur
uuur
222'
d? h?m?n?2mncosEA,AF
.
d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?
'
（
?
?E?AA?F< br>）.
uuuruuuruuuruuur
OP?xOA?yOB?zOC
.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段
AA
的
长度为h.在直线 a、b上分别取两点E、F，
'

105.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
， b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a
＋b＝
(a
1
?b
1
,a
2?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(2)< br>a
－b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(3)λ
a
＝
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4)
a
· b＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a< br>3
b
3
；
106.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
107．空间的线线平行或垂直
A
'
E?m
,
AF?n
,
EF?d
).


已知斜棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,它的直截面的周长和面积分别是
c
1
和
S
1
,则
①
S
斜棱柱侧
?c
1
l
.
②
V
斜棱柱
?S
1
l
.

114.球的半径是R，则
uuuruuuruuur
AB?OB?OA
=
(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
rr
设
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
?
x
1
?
?
x
2
rr
rrrr
?
a
P
b< br>?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2
；
?
z?
?
z
2
?
1
rr
rr
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
.

109.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
10

4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R
．
其体积
V?
115.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体
的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外
接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:

坤宏文化课培训
6
棱长为
a
的正四面体的内切球的 半径为
a
,外
12
6
接球的半径为
a
.
4
116．柱体、锥体的体积
（4）
?
C
r?0
r
r
n
r
n
=
2
;
n
rrr r?1
（5）
C?C
r?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1
.
012rnn
(6)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C
n
?2

1
h
是柱体的高）
V
柱体
?Sh
（< br>S
是柱体的底面积、.
3
1
h
是锥体的高）
V锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、.
3
负整数解有
C
n?m?1
个.
124.二项式定理
n?1< br>0n1n?12n?22rn?rr
(a?b)
n
?C
n
a? C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab???

§10. 排列组合二项定理
117.分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
118.分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
119.排列数公式
A
m
n！
n
=
n(n?1 )?(n?m?1)
=
(n?m)！
.(
n
，
m
∈
N
*
，且
m?n
)．
注:规定
0!?1
.
120.排列恒等式
(1）
A< br>m
(n?m?1)A
m?1
n
?
n
;
（2 ）
A
m
n
?
n
n?m
A
m
n?1
;
（3）
A
m
?nA
m?1
nn?1
;
（4）
nA
nn?1n
n
?A
n?1
?A
n
;
（5）
A
mmm?1
n?1
?A
n
?mA
n
.
(6)
1!?2?2!?3?3!?L?n?n!?(n?1)!?1
.
121.组合数公式
C
m
A
m
n
n(n?1) ?(n?m?1)
n
=
A
m
=
m
1?2???m< br>=
n！
m！?(n?m)！
(
n
∈N
*
，< br>m?N
，且
m?n
).
122.组合数的两个性质
(1)
C
m
C
n?m
n
=
n

(2)
C
m
?1
n
+
C
m
n< br>=
C
m
n?1
.
注:规定
C
0
n
?
1
.
123.组合恒等式
（1）
C
m
n?m?1
m?1
n?
m
C
n
;
（2）
C
m
n
n
?
n?m
C
m
n?1
;
（3）
Cm
n
m?1
n
?
m
C
n?1
;


二项展开式的通项公式
T
rn?rr
r?1?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
.

§11、12. 概率与统计
125.等可能性事件的概率
P(A)?
m
n
.
126.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
127.
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋
P(A
n
)．
128.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
129.n个独立事件同时发生的概率

P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
130.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概
率
P)?C
kkn?k
n
(k
n
P(1?P).

131.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
P
i
?0(i?1,2,L)
;
（2）
P
1
?P
2
?L?1
.
132.数学期望
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?L?x
n
P
n
?L

133.数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np< br>.
(3)

若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
1
p
.

134.方差
D
?
?
?
x
222
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?L?< br>?
x
n
?E
?
?
?p
n
?L

135.标准差
11

坤宏文化课培训
??
=
D
?
.
136.方差的性质
(1)D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；
(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3)
若
?
服从几何分布,且?
0(k?t)
?
a
k
n
k
?a
k? 1
n
k?1
?
L
?a
0
?
a
t< br>lim?
?
(k?t)
.
n??
bn
t
? bn
t?1
?
L
?b
tt?10
?
b
k< br>?
不存在 (k?t)
?
（3）
S?lim
n??
n ?1
1
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
q
p
，则
D
?
?
2
.

p
a
1
1?q
n
1?q
??
?
a
1
（
S
无穷等比数列
1?q
137.方差与期望的关系
D
?
?E
?
2
?
?
E
?
?
.
138.正态分布密度函数
2
?
aq
?
(
|q|?1
)的和）
.
143. 函数的极限定理
x?x0
f
?
x
?
?
1
e
2
?6
?
x?
?
?
?
26
2
2
l imf(x)?a
?
lim
?
f(x)?lim
?
f(x) ?a
.
x?x
0
x?x
0
,x?
?
?? ,??
?
，式中的实
数μ，
?
（
?
>0）是参数， 分别表示个体的平均数与标
准差.
139.标准正态分布密度函数
144.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0
的附近满足：
（1）
g(x)?f(x)?h(x)
;
（2）
limg(x)? a,limh(x)?a
（常数）,则
x?x
0
x?x
0
x ?x
0
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
x
2
2
limf(x)?a
.
本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然成立.
145.几个常用极限
,x?
?
??,??
?
.
.

140.回归直线方程
$$
y?a?bx
，其中
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
??
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
2
.
?
x
i
?x
?
x
i
2
?nx
2
?
??
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
1
?0
，
lima
n
?0
（
|a|?1
）；
n??
n??
n
11
（2）
limx?x
0
，< br>lim?
.
x?x
0
x?x
0
xx
0（1）
lim
146.两个重要的极限
（1）
lim
sinx
?1
；
x?0
x
x
141.相关系数

r?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?
1
?
（2）
lim
?
1?
?
?e
(e=2.718281845…).
x??
?
x
?
147.函数极限的四则运算法则
若
limf(x)?a
，
limg(x)?b
，则
x?x
0
x?x
0
?
(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn

2
(1)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
；
x?x
0
?
?
?x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
(2)lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
;
x?x
0
(
?
x
i
?nx)(
?
y
i
?ny)
22 22
i?1i?1
nn
.
(3)
lim
x?x
0
f
?
x
?
a
?
?
b?0
?
.
g
?
x
?
b
n??
|r|≤1，且|r|越 接近于1，相关程度越大；|r|越
接近于0，相关程度越小.

148.数列极限的四则运算法则
若
lima
n
?a,limb
n
?b
，则
n??
§13. 极 限
142.特殊数列的极限
(1)
li m
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；
n??
(2)
lim
?
a
n
?b
n
??a?b
；
?
0
?
n
（1）
limq??
1
n??
?
不存在
?
（2）
|q|?1q?1
|q|?1或q??1
12
n??
.
(3)
lim
a
n
a
?
?
b?0
?

n ??
bb
n
n??n??n??
(4)
lim
?
c ?a
n
?
?limc?lima
n
?c?a
( c是常数).

坤宏文化课培训
§14. 导 数
149.
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率或微商） < br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
f
?< br>(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
.
150.瞬时速度
|z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
159.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
?
?s
?
(t)?lim
a?v
?
(t)? lim
?ss(t??t)?s(t)
.
?lim
?t?0
?t< br>?t?0
?t
(a?bi)?(c?di)?
151.瞬时加速度
ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)
.
222
c?dc?d
?vv(t??t)?v(t)
.
?lim< br>?t?0
?t
?t?0
?t
152.
f(x)
在(a,b)
的导数
dydf
f
?
(x)?y
?
??
dxdx
?yf(x??x)?f(x)
.
?lim?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
153. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方
程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
154.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
(2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(lnx)
?
?
160.复数的乘法的运算律
对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
，有
交换律:z
1
?z
2
?z
2
?z
1
.
结合律:
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
.
分配律:
z
1
?(z
2
?z
3
)?z
1
?z
2?z
1
?z
3
.
161.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1)
2
?(y
2
?y
1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2?x
2
?y
2
i
）.
162.向量的垂直 < br>z
2
?c?di
对应的向量分别是非零复数
z
1
?a ?bi
，
uuuur
uuuur
OZ
1
，
OZ2
，则
uuuuruuuur
z

OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?< br>2
为纯虚数
z
1
?
|z
1
?z
2< br>|
2
?|z
1
|
2
?|z
2
|2

?
|z
1
?z
2
|
2
? |z
1
|
2
?|z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非零实数).
163.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
2
11
ex
；
(loga)
?
?log
a
.
xx
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
'''
（1）
(u?v)?u?v
.
'''
（2）
(uv)?uv?uv
.
155.导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3）
()?
vv
2
156.复合函数的求导法则
设函数u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
?
?
(x)
，函数
''
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
b
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
? x
2
??
;
2a
2
③若
??b?4ac?0，它在实数集
R
内没有实数
根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭 复数根
2
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
yu
'
?f
'
(u)
，
则复合函数
y?f(?
(x))
在点
x
处有导数，且
'''
，或写作
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)
?< br>'
(x)
.
y
x
?y
u
?u
x< br>?b??(b
2
?4ac)i
2
x?(b?4ac?0)
.
2a



§15. 复 数
157.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
158.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
13