高中数学公式及重要题型的解题方法

《集合与简易逻辑》《函数》的公式和部分重要结论
编号 题 型 方 法 注 意 点
集合的交并、借助数轴和维恩图 1、 注意空集的两个性质：
补的运算

Ф
?A
，Ф
?
B（B非空）。
1
2、
A?B?A?A?B

A?

B?A?B?A

解绝对值不①公式法∣ax+b∣>c （c>0）注意最后的解集与前面的解集的关系
等式
?ax?b?c
或ax+b<-c
2 ②平方法∣ax+b∣>∣cx+d∣
?
(ax+b)
2
>(cx+d)
2

③零点讨论法∣ax+b∣+∣
cx+d∣＞e
解整式不等序轴标根法 1、 最高次项的系数要大于零。
式 2、 注意实心和空心之分。
3 3、 注意穿的方向，从左向右，从上往
下。
4、 不要把ax
2
+bx+c>0看作一元二次不
等式。
充要条件的① 定义法 分清条件与结
4 判断 论
?
定义分析
?
下结论
② 逆否法 讨论逆否命题
的充要性
命题的真假真“非”假，假“非”真，
5 的判断 一真“或”为真，两真“且”
才真。
6 映射的判断 象必唯一，原象可无
① 待定系数法（知道函数的类
型）

② 代入法（已知原函数求复合
求函数的解
函数）
7 析式
③ 代换法（已知复合函数求原注意新元的范围
函数）
④ 配凑法
⑤ 方程法（自变量相反或互
倒）
⑥ 图象分析法
①分式的分母不能为零。 1、 注意定义域用集合表示。
求函数的定②偶次方根的被开方数非负，2、 求函数的定义域必须尊重原题（不
8 义域 零次幂的底数不能为零。 能化简）。
③对数函数的真数大于零。
④对数函数指数函数的底数大
于零且不等于1。
①直接法（简单函数） 1、必须先考虑定义域。

②配方法（含有二次函数）
2、用判别式法时注意对一元二次方程的
系数的讨论。

③换元 （y=ax+b+
cx?d
）

④逆求法（知道某变量的范围）

⑤判别式法
9 求函数的值
域
（y=
ax
2
?bx?c
dx
2
?ex?f
(ad?0)
）
⑥导数法（连续函数）
⑦不等式法（一正二定三相等）
⑧单调性法（可简单判断单调
性）
10 证单调性 ①定义法②导数法
求函数的单①图象法②导数法③复合函数必须先考虑定义域
调区间 分析法。
11
奇偶性的判考察定义域是否关于原点对称
12 断 →定义考察
若
y?f(x)
对
x?R
满足
奇偶性的证利用定义证明(同上)
13 明
f(a?x)?f(b?x)
，则
y?f(x)

关于直线
x?
a?b
2
对称；若
y?f(x)
对
x?R
满足
f(a?x)?f(x?b)
，则
y?f(x)
的周期是│a-b│
指数对数的详细见《走向高考》62面
14 运算
函数的图象①描点法②图象变换（平移、平移：左加右减，上加下减
15 的作法 伸缩、对称、翻折 ）详细见《走伸缩：①把函数y=f(x)图象的纵坐标不

向高考》68面
变，横坐标伸长到原来的
1
w
倍得
y=f(wx)(0②把函数y=f(x)图象的纵坐标不变，
横坐标缩短到原来的
1
w
得
y=f(wx)(w )1)
③把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵
坐标伸 长到原来的w倍得y=wf(x)(w>1)
④把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵
坐 标缩短到原来的w倍得
y=
1
w
f(x)(0
16 恒成立问题 f(x)>g(x)恒成立指f(x)的最小值
比g(x)的最大值大。
f(x)〈g(x)恒成立指f(x)的最大值
比g(x)的最小值小。

三角函数公式和重要结论
1、圆心角
?
的弧度数：∣
?
∣=
l
r
其中
l
代表弧长, r代表圆的半径.
2、
?
弧度=180
o
, 1弧度=57.30
o
， S
1
扇形
=
2
lr

3、与
?
终边相同的角的公式：k?360
o
+
?
其中k
?z

4、第一象限的角：2k
?
<
?
<2 k
?
+
?
2
其中k
?z
其他象限依此类推。
x轴上的角：
?
= k
?
y轴上的角：
?
= k
?
+
?
2
其中k
?z

5、任意角的 三角函数：点p(x,y)是角
?
终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，
则sin
?
=
y
r
cos
?
=
x
r
tan
?
=
y
x
cot
?
=
x
r
r
y
sec
?
=
x
csc
?
=
y



sin
?
、csc
?
正 全 正


tan
?
、cot
?
正
cos
?
、sec
?
正
6、同角的八式三关系：
倒数关系 tan
?
?cot
?
=1 sin
?
? csc
?
=1 cos
?
? sec
?
=1
商数关系 sin
?
cos
?
= tan
?
cos
?
sin
?
= cot
?

平方关系
sin
2
?
?cos
2
?
?1
1+ tan
2
?
= sec
2
?
1+ cot
2
?
= csc
2
?

7、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
8、和角与差角公式 ：
sin(< br>?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)? cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan< br>?
1
m
tan
?
tan
?

变用：tan
?
±tan
?
=tan(
?
±
?)(1
?
tan
?
tan
?
)
9、二倍角公式：
sin2α=2sinαcosα.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?< br>2tan
?
1?tan
2
?

变用：
cos
2
?
?
1?cos2
?
2

sin
2
?
?
1?cos2
?
2

10、合一变形：
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)

(辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定,
tan
?
?
ba
).
11.三角函数的周期公式
函数y=sin(ωx+φ)，x∈R 及函数y=cos(ωx+φ)，x∈R(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周
期
T?
2
?
?
；
函数y=tan(ωx+φ)，
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
?

12、三角函数的化简和求值技巧：变角、变名、变式。
13、三角函数的值域最值的求法：
① 对于形如
asin
?
?b cos
?
的三角函数可以先进行合一变形，然后考虑角的范围，利用三
角函数的图象求 出函数的值域最值。
② 对于形如y=asin
2
?
+bsin
?
+c的函数，可以用换元法，令sin
?
=t,（注意t的范围）转化成

二次函数来求函数的值域和最值。
③ 对于含有sin
?
? cos
?
,sin
?
?cos
?
的函数可以用换元法，令< br>?
?cos
?
?t,则sin
?
cos
?
?
t
2
sin
?1
2
，（注意t的范围）转化成二次函数来求 函数的值
域和最值。
14、三角函数的图象(略)


数列公式和重要结论
1、
等差数列的通项公式
a
*
n< br>?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)

其前n项和公式
s
n(a
1
?a
n
)
n (n?
n
?
2
?na
1)
1
?
2
d
.
2、等比数列的通项公式：a
n
= a
1
q
n-1
(q≠0)
?
a
n1
(1?q)
其前n项的和公式
s
?
1?q
,q?1< br>?
或
s
?
a
1
?a
n
q
, q?1
n
?
?
?
n
?
?
1?q

?
na
?
1
,q?1
?
na
1
, q?1
3、
a
?
s
1
,1
n
?
?
n?
( 数列
{
?
s,n?2
a
n
}的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L?a< br>n
).
n
?s
n?1
4、等差数列{a
n
}中，如果m+n=p+q,则a
m
+a
n
=a
p
+aq
,特殊地，2m=p+q时，则2a
m
= a
p
+a
q
，a
m
是a
p
、a
q
的等差中项。
等 比数列{a
2
n
}中，如果m+n=p+q,则a
m
a
n< br>=a
p
a
q
,特殊地，2m=p+q时，则a
m
= a
p
a
q
，a
m
是a
p
、a
q< br>的等比
中项。
5、等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S
m
,S
2m-m,
S
3m-2m
成等差数列。
等比数列 被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即S
m
,S
2m-m,
S3m-2m
成等比数列。
6、等差数列{a
2
n
}中，其前n 项和S
n
=An+Bn,当公差d=0时，A=0，当公差d>0时，A>0，当公差d<0< br>时，A<0。
7、数列的通项的求法：通项七法，猜分公，递换二叠
已知S< br>n
=f(n)或f(a
n
)用分步讨论法；已知a
n
=pa< br>n-1
+q (p,q为常数)用换元法；
已知a
n
- a
n-1
= f(n)用叠加；已知a
n
a
n-1
= f(n)用叠乘。
8、数列求和的方法：一套二分三拆四错五倒，最后一定要牢记，公比为1不为1
已知数列是等差或等比直接套公式；已知
a
n
=b
n
+c
n
(b
n
、c
n
等差或等比)
已知a
1
n
=
b
（b
n
等差）已知a
n
= b
n·
c
n
(b
n
等差、c
n
等比)用错位 相减。
n
c
n
9、1
2
+2
2
+32
+4
2
+…+n
2
=
n(n?1)(2n?1)6

10、
lim
n??
C?C

x
lim
??
C?C

x
lim
?x
C?C
(C是常数)
0

0 （-111、
limq
n
n??
= 1 (q=1)
不存在 (q≦-1或q.>1)

12、
x
lim
??
?
f(x)?
x
lim
??
?
f(x)?a

lim
x??
f(x)
=a
13、
x
lim?x
?
f(x)
=
lim
?x
?
f(x)=a
limf(x)
=a
0
x
0
x?x
0

14、极限的四则运算法则如果
lim
x?x
f(x)
=a，
limf(x)
=b,那么
0
x?x
0
x
lim
?x
?
f(x)?g (x)
?
?a?b

lim
?
f(x)?g(x)
?
?a?b

f(x)
0
x?x

lim
0
x?x
0< br>g(x)
=
a
b
(b
?
0)
此法则对于x→∞和n→∞同样成立。
15、

a
1
b
（k=1）
1
lim< br>a
k
1
n?a
k?1
2
n?????a
0< br>n??
bn
l
?bn
l?1
?
= 0 (k12
????b
0
不存在 （k>l）
（此公式对于x→∞同样成立）
16、函数在点x=x
0
处连续的充要条件 函数f(x)在点x=x
0
处有定义：②
limf(x)
存在；③
x ?x
0
x
lim
?x
f(x)
=f(x
0
)(定义极限函数值)
0

导数的公式和部分重要结论

编号 公 式 名 称 内 容
1
f
1
(x)

f1
(x)?y
1
?
?
lim
?yf
x?0?x
?
(x??x)?f(x)

?
lim
x?0
?x
.
2 直线方程的点斜式 y-y
0
=k(x-x
0
)
①C
1
=0 (C为常数)

② (x
n
)
1
=nx
n-1
(n
?
Q)


③(Sinx)
1
=cosx
3 常见六种函数的导数
④(cosx)
1
=-sinx

⑤(log
1
1
1
1
a
x)=
x
log
a
e 特殊情况（lnx）=
x

⑥（a
x
）
1
=a
x
lna 特殊情况(e
x
)
1
=e
x


①和 差（u
?
v）
1
=u
1
?
v
1


4 两个函数的导数的四则运算
②积(uv)
1
=u
1
v+uv
1
特殊情况(cu )
1
=cu
1

法则
u
11
③商(
v
)
1
=
u v?uv
v
2
(v≠0)
5 复合函数的导数 y
1
=y
1
xu
?
u
1
x


一般地，函数f(x)在某个区间可导 ，f
1
(x) >0 f(x)在这个区间是增函数

一般地，函数f(x)在某个区间可导 ，f
1
(x)〈0 f(x)在这个区间是减函数
6
一般地，函数f(x)在某个区间可导， f(x)在这个区间是增函数 f
1
(x)≥0
一般地，函数f(x)在某个区间可导， f(x)在这个区间是减函数 f
1
(x)≤0
7

一般地，连续函数f(x)在点x
0
处有极值 f
1
(x
0
)=0

求函数的极值的一般步骤：先求导，再求驻点，再列表确定极值。
8 一般地，函数在f(x)点x< br>0
连续时，如果x
0
附近左侧f
1
(x
0
) >0，右侧f
1
(x
0
)<0，那么f(x
0
)是极大值。
一般地，函数在f(x)点x
0
连续时，如果x
0
附近左侧f
1
(x
0
)<0，右侧f
1
(x
0
)>0，那么 f(x
0
)是极小值。

函数在区间内只有一个点使f
1
(x)=0成立，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比
9 较，也可以说这就是最大（ 小）值。如果没有一个点使f
1
(x)=0成立，则这个函数在这个区间必
定单调递增 或单调递减。
10
F
1
(x
0
)表示函数图象在点x< br>0
处的切线的斜率

11
S
1
(t)表示物体在时刻t处的瞬时速度



概率与统计的公式和重要结论
编号 公式名称 内 容
1 离散性随机（1） P
i
≥0,i=1,2, …
变量分布列 （2） P
1
+P
2
+…=1
2 期 望
E
?
=x
1
p
1
+x
2
p
2
+…+ x
n
p
n
+…
3 期 望
E(a
?
+b)=aE
?
+b
4 方 差
D
?
=（x
1
- E
?
）
2
p
1
+…+(x
n
- E
?
)
2
p
n
+…
5 方 差
D(a
?
+b)=a
2
D
?

6 二项分布
?
～B（n,p）,则E
?
=np D
?
=np(1-p)
7 几何分布
?
～g(k,p), 则E
?
=1p D
?
=(1-p)p
2
8 标准差
?
?
=
D
?


正态分布
(1) 标准正态总体N(0,1)
?
(x
0
)?P
(x0
)
9
N(u,
?
2
)
(2)
?
(?x
0
)?1?
?
(x
0
)

(3) 一般正态总体F（x）=
?
(
x?u
?
)

立体几何公式和重要结论
编号 公式名称

内 容
1 线面角
??
sin
?
=∣cos<
AB,n?
∣
2 二面角
?
?
,
?
n?
??
=〈
m
或
?
-〈
m,n?

点面距(P点
??
3 到平面的距
h=│PA││
cos?PA,n?
│
离)
4 体积、面积 V
3
球
=43
?
R V
柱
=Sh V
椎
=13 Sh S
球
=4
?
R
2
5 长方体的对
角线
L
=
a
2
?b
2
?c
2

解析几何公式和重要结论
弦长公式AB=
1?k
2
b
2
?4ac
a

向量重要公式和结论
1、 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
2、 如果
a?(x
1,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
则
a ?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
3、 如果A(x
1
,y
1
),B(x
2
, y
2
)，则
AB?(x
2
?x
1
,y
2< br>?y
1
)

4、 实数与向量的积λa，当λ>0时，λa与a同向 ，且|λa|=λ|a|；当λ<0时，λa与a反向，且
|λa|=|λ||a|。
5、 向量a、b的数量积
a
·b=|a|| b |cos< a, b>
6、 向量a、b的夹角cos< a, b>=
a?b

ab
2
7、
a
2
?
a
a?a

8.向量的平行与垂直 设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
, y
2
)
，且b
?
0，则
a||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0

9.平面两点间的距离公式

d
uuuruuuruuur

22
A,B
=
|A B|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
)
，B< br>(x
2
,y
2
)
).
10.线段的定比分公式 设
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是 线段
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
u< br>PP
uuruuur
?
?
?
x?
x
1
?
?
x
2
1?
?
1
?
?
PP< br>2
，则
?
（
?
??1)

?
?y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
11.点的平移公式
?
?
?
x
'
?x?h
?
?
x?x
'
?h
uuur
uuur
uuur< br>?
?
y
'
?y?k
?
?
?
y?y? k
?OP
'
?OP?PP
'
(
?
'
图形 F上的任意一点P(x，y)在
uuu
平移后图形
F
'
上的对应点为
P
'
(x
'
,y
'
)
r
，且PP
'
的坐标为
(h,k)
).
12.正弦定理
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2 R
.
变形公式：a=2RsinA b=2RsinB C=2RsinC
SinA=
abc
2R
SinB=
2R
SinC=
2R

13余弦定理
a2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosBc
2
?a2
?b
2
?2abcosC
.
变形公式：cosA=< br>b
2
?c
2
?a
2
2bc
等
14 .面积定理（1）
S?
1
2
ah
11
a
?
2
bh
b
?
2
ch
c
（
h
a、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
（2）
S?
111
2
absinC?
2
bcsinA?
2
casinB

15.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为
A( x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△
A BC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?
3
,
y
2
?y
3
3)
.
16. 如果
a?(a
1
,a
2
,a< br>3
),b?(b
1
,b
2
,b
3
)
则
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
ab?a
1
?
?
b
1

a
2
?
?
b
2

a
3
?
?
b
3

a
⊥
b
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a3
b
3
?0

17、空间两个向量的夹角公式：
co s〈
a
，b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a
2
?a
2?a
22
a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
）. < br>123
b?b
22
（
a
＝
(
12
? b
3
18、如果A=(x
1
,y
1
,z
1
),B=(x
2
,y
2
,z
2
)则∣
AB
∣=
(x)
2
?(y
22
1
?x
21
?y
2
)?(z
1
?z
2
)





聪明在于学习
知识在于积累