高中数学公式定理汇总

高中公式定理
必修1
1.元素与集合的关系

x?A?x?C
U
A;x?C
U
A?x?A

2.德摩根公式

C
U
(A?B)?C
U
A ?C
U
A;C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
A

3.包含关系（U为全集时）

A?B?A?A?B?B?A?B ?C
U
B?C
U
A?A?C
U
B??

4.容斥原则
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)?card(B ?C)

?card(C?A)?card(A?B?C)
5.集合
?
a
1
,a
2
,...,a
n
?
的子集个数共有< br>2
n
个；真子集有
2
n
?1
个；非空子集
2
n
?1
；非空真子集有
2
n
?2
个。
6. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0);

（2）顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0);

（3）零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0) .

7. 指数运算性质
（1）
a
r
a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)

（2）
(a
r)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)

（3）
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
8.对数运算性质
1

如果
a?0,
且
a?1,M?0,N?0,
那么 < br>（1）
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N

（2）
log
a
(
M
)?loga
M?log
a
N

N
（3）
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)

（4）换底公式
log
b
N?
（5）常用推论
n
n
log?log
a
b

m
b
a

log
c
a?log
a
c?1

log
a
b?log
b
c?log
c
a?1

m
log
c
N
(b?0,且b?1;c?0,且c?1;N?0).

log
c
b
9.函数零点的存在性定理
一般地 ，我们有：
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续 不断的一条
曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么，函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点，
即存在
c?(a,b),
使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程
y?f(x)
的根。

必修2
1.圆柱，圆锥，圆台表面积

底面面积
侧面面积
表面积

2

圆柱
s
底
?
?
?r
2

圆锥
s
底
?
?
?r
2

圆台
s
上底
?
?
?r
1

s
下底
?
?
?r
2

2
2
s
侧
?2
?
?rl

s
侧
?
?
?rl

s
侧
?
?
l(r
1
?r
2
)

s
表
?
?
（r
1
2
?r
2
2
?lr
1< br>?lr
2
)
s
表
?2
?
?r（r?l)
s
表
?
?
?r（r?l)

2.柱体、椎体、台体的体积
柱体：
V
柱体
?S< br>底
h；V
圆柱
?
?
?r
2
h

11
2
V?Sh；V?
?
?rh

锥体底圆锥
椎体：
33

圆台：
1
1
V
台体
?（S
上底
?S
上底
S
下底
?S下底
）h；

V?
?
h(r
1
2
?r
2
2
?r
1
r
2
)

3
圆台
3
3.平面的基本性质
（1）公理
a.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平
面内。
b.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
c.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一
条过该点公共直线。
d.平行于同一直线的两条直线互相平行。
（2）三个推论
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互
补。
5.异面直线判定定理
连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点
3

的直线是异面直线。
6.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平
行。
7.平面与平面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平
行。
8.面面平行判定的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条
相交直线，则这两个平面平行。
9.直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的
交线与该直线平行。
11.平面与平面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平
行。
12.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
面垂直。
13.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个直线垂直。
14.直线与平面垂直的性质定理
4

垂直于同一个平面的两条直线平行。
15.面面垂直性质定理：
两个平面垂直，则平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
16.两直线平行与垂直的判定
平行：
l
1
l
2
?k
1
?k
2

垂直：
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

17.直线方程
点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)

斜截式：
y?kx?b

截距式：
x
?
y
ab
?1

两点式：
y?y
1
x?x
1
y?y
?

21
x
2
?x
1
一般式：
Ax?By?C?0

18.距离公式
两点间距离公式：
p
1
p
2
?(x
2
?x
1
)
2< br>?(y
2
?y
1
)
2

点到直线距离公式：
d?
Ax
0
?by
0
?C
A
2
? B
2

两平行直线间距离公式：
Ax?By?C
1
?0

A x?By?C
2
?0
d?
C
1
?C
2
A< br>2
?B
2

19.圆的方程
(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2

20.点与圆的位置关系
圆上
?(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2


5

圆内
?(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2

圆外< br>?(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2

21.直线与圆位置关系
相交
?d?r

相切
?d?r

相离
?d?r
必修3
1.古典概型：
（1）试验中所有可能出现的基本件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性事
（3）相等。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概
型。
2.数据的数字特征：
（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫作众数；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排
列，当数据有奇数个时， 处在最中间的那个数是这组数据的中位
数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的
据的中位数；
（3）平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数，
记作：
x?< br>1
?
x
1
?x
2
?????x
n
?
。
n
6


平均数是这组数

（ 4）标准差：
s?
1
n
n
22
1
x
1?x?x
2
?x?????x
n
?x
n
?
?? ????
?
。
2
1
?x
?
2
?
?
x?x
?
2
????
?
x?x
?
2。
2
（5）方差：
s
s
2
?
?
?< br>x
x
12n
1
?x?x
2
?x????x
n
?x
222
??
3.三种抽样方式：
（1）简单随机抽样的特点：
①总体个数
N
是有限的；
②每个个体被抽到的可能性相同，都是
n
；
N
③样本是从总体中逐个抽取的，即一个一个的抽取；
④是一种不放回抽样，即不可能先后抽取到同一个个体。
（2）系统抽样的特点：
①适用于总体容量
N
较大的情况；
②剔除多余个体，在第1段抽样用简单随机抽样；
③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是（
n
为样本容量）。
（3）分层抽样：
①特点：
a.
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
n
N
b.
利用事件先掌握的信息，更充分的反映了总体情况；
c.
等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等。
②步骤：
a.
分层求抽样比：确定抽样比
k?
n
；
N
b.
求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数
n
i
?N
i
?k
；
c.
各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样抽取个体；
d.
组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本。
7

4.几何概型：
在几何概型中，事件
A
的概率的计算公式如下：
P
?
A< br>?
?
构成事件A的区域长度（面积或体积）
。
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
5.概率的基本性质：
（1）概率
P
?
A
?
的取值范围：任何事件的概率在
0~1
之 间，即
0?P
?
A
?
?1
；
（2）概率的加法公 式：如果事件
A
与事件
B
互斥，则
P
?
A?B?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
；
（3）对立事件的概率公式：若事件
A
与事件
B
为对立事件，则P
?
A
?
?P
?
B
?
?1
。
6.回归方程：
（1）回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线
附近，就称这两个变量 之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归
直线；
（2）利用回归方程对总体进行估计：利用回归直线，我们可以进行
预测。若回归方程为
必修4
1.三角恒等变换：
（1）
sin
?
?sin< br>?
?2sin
?
?
?
?
?
?bx
0
?a
。
y?bx?a
，则在
x?x
0
处的估计值为
y


cos
?
?
?
22
??
??
?
?
sin
（2）
sin
?
? sin
?
?2cos
；
22
?
?
??
?
?
cos
（3）
cos
?
?cos
?
?2 cos
；
22
8

；

?
?< br>??
?
?
（4）
cos
?
?cos
?
??2sin
2
sin
2
；
（5）
sin
?< br>cos
?
?
1
2
?
sin
?
??
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
；
（6）
cos
?
sin
?
?
12
?
sin
?
?
?
?
?
?sin?
?
?
?
?
?
；
（7）
cos?
cos
?
?
1
2
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
；
（8）
sin
?
sin
?
??1
2
?
cos
?
?
?
?
?
? cos
?
?
?
?
?
?
；
（9）
2tan
?
sin
?
?
2
； 1?tan
2
?
2
?
（10）
1?tan
2< br>cos
?
?

1?tan
2
?
2
；
2
2tan
?
（11）
tan
?
?
2。
1?tan
2
?
2
2.和、差、倍、半角的三角函数：
（1）和（差）角公式：
①
sin
?
?
?
??
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
；
②
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
③
tan
?
?
?
?
?
?
ta n
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
。
（2）倍角公式：
①
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
②
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
；
③
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
。
（3）半角公式：

9

①
tan
?
2
?
1?cos
?
sin
?
；
?
sin
?
1?cos
?
②
sin
?
?
2tan
?
2
；
1?tan
21?tan
2
1?tan
2
?
2
?
?
2
。
2
③
cos
?
?
3.平面向量的数量积：
（1）交换律：
a?b?b?a
；
??????
（3）分配率：< br>?
a?b
?
?c?a?c?b?c
；
（4）
cos
?
?
a?b
a?b
（2）结合律：
?
a?b??
a?b?a?
?
b
；
，
a?b?0
；
（5）
a?b?a?b
；
（6）若
a?
?
x,y
?
，则有
a?x
2
?y
2
，或
a?x2
?y
2
。
4.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系 ：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
；
（2）商的关系：
tan
?
?
sin
?
；
cos
?
2
（3）其他形式：
sin
2
?
?1? cos
2
?
，
cos
2
?
?1?sin
2
?
，
sin
?
?cos
?
tan
?
，

cos
?
?
sin
?
。
tan
?
5.三角函数的诱导公式：
（1）公式一：当
k?Z
时，
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
；
cos
?
?
? 2k
?
?
?cos
?
；
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
。
（2）公式二：
s in
?
?
?
?
?
??sin
?
；
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
；
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
。
10

（3）公式三：
sin
?
??
?
??sin
?
；
cos
?
?
?< br>?
?cos
?
；
tan
?
?
?
?< br>??tan
?
。
（4）公式四：
sin
?
??
?
?
?sin
?
；
cos
?
??
?
?
??cos
?
；
tan
?
?< br>?
?
?
??tan
?
。
（5）公式五：
sin
?
?
?
?
2
?
?
?
??
?cos
?
；
cos
?
?
?
?2
?
?
?
?
?
?sin
?
。
（6）公式六：
sin
?
?
?
??
?
?
?
2
?
?
?
?
?cos
?
；cos
?
?
2
?
?
?
?
??sin< br>?
。
6.平面向量的坐标运算：
（1）加减法：
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?< br>；
（2）数乘向量：
?
a?
?
?
x
1,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?< br>y
1
?
；
（3）数量积：
a?b?a?bcos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
； （4）模：
a?a
2
?x
22
1
?y
1
；
（5）夹角：
cos
?
?
a?bx
1
x2
?y
1
y
2
a?b
?
x
2
1
?y
222
。
1
x
2
?y
2
7.函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
图像的基本变 换：
（1）先平移后伸缩：
函数
y?sinx
的图像
?
向左（右）平移
????
?
?
个单位
???
函数
y ?sin
?
x?
?
?
的图像
?
横坐标变为原来的< br>1
?????
?
倍，纵坐标不变
?????
函数
y? sin
?
?
x?
?
?
的图像
?
纵坐标变 为原来的
?????
A倍，横坐标不变
?????
函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像。
（2）先伸缩后平移：

11

?
函数
y?sinx
的 图像
???????????
函数
y?sin
?
x
的图像
1
横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
?????????
函数
y?s in
?
?
x?
?
?
的图像
A倍，横坐标不变?
纵坐标变为原来的
??????????
函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像。
向左（右）平移
?
个单位
?
8.向量的有关概念：
（1） 向量的长度或模：向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或
称模 ），记作
AB
。
（2）零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作
0
。
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫作单位向量。
（4）相等向量：长度相等且方 向相同的向量叫作相等向量。向量
a
与
b
相等，记作
a?b
。
（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。向量
a
与
b
平行，记作
ab
。 我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意
向量
a
，都有
0a
。
（6）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，
平行向量也叫作共线向 量。
9.弧长公式、扇形的面积公式：
11
l?ar
，
S
扇形
?lr?ar
2
。其中
l
为弧长，
r
为圆的 半径，
a
为圆心
22
角的弧度数。
必修5
1.数列的通项公式与前n项和的关系:

a
n
=

( 数列{
a
n
}的前n项和为
s
n
?a< br>1
?a
2
???a
n
) .
12
?
s,n?1
s
n
?s
n?1
,n?2

2.等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?( n?1)d
；
其前n项和公式为：
s
n
?
n(a
1
?a
n
)n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
3.等比数列的通项公式:
a
n
?a
1
q
n?1
?
其前n项和公式为 ：
s
n
?
a
1
n
?q(n?N
?
)(q?0);

q
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1,
1?q
na
1,
q?1
或
s
n
?
?
a
1
?a
n
q
,q?1,
1 ?q
na
1
,q?1.

4.若
m、n、p、q?N,< br>且
m?n?p?q,
那么，当数列{
a
n
}是等差数列时，有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;当数列{
a
n
}是等比数列时，有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
.

5.等差数列{
an
}中，若
s
n
?10,s
3n
?30,s
3 n
?60.

6.等比数列{
a
n
}中，若
sn
?10,s
2n
?30,则s
3n
?70;

7.正弦定理及正弦定理与外接圆半径的关系：
a
sinA
?
b< br>sinB
?
c
sinC
?2R;

a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
;
sinA?
a
2R
,sinB?
b
2R
,sinC?
c
2R;

a:b:c?sinA:sinB:sinC;

a?b?c
?2R;

sinA?sinB?sinC
正弦定理与面积公式：
8.余弦定理：
a< br>2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
b
2< br>?a
2
?c
2
?2accosB,

c
2< br>?a
2
?b
2
?2abcosC.
11
s
A BC
?
1
2
absinC?
2
bcsinA?
2< br>acsinB,

13

b
2
?c
2
?a
2
cosA?,
2bc
a
2
?c< br>2
?b
2
cosB?,

2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC?.
2ab
选修1-1
1.四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2.若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
3.逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式
p?q
；⑵或（or）：命题形式
p?q
；
⑶非（not）：命题形式
?p
.
p

q

p?q

p?q

?p

真
真
假
假

4.椭圆的几何性质：
焦点的位
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
焦点在
x
轴上
置
焦点在
y
轴上
14

图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率

5、双曲线的几何性质：
焦点的位
焦点在
x
轴上
置
焦点在
y
轴上
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2

y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

?
1
?
0,?a
?
、
?2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0?
、
?
2
?
b,0
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
图形

标准方程
范围


y< br>2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
x
2
y
2
??1
?< br>a?0,b?0
?

a
2
b
2
x??a或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

15

顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
渐近线方
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
b
x

a
a
x

b
y??y??
程

5.抛物线的几何性质：
标准方
程
图形

顶点
对称轴
焦点
准线方
x??
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,
?

2
??
y
轴
p
??
F
?
0,?
?

2
??
程
离心率

p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

16

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

6.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
，即
???2p
．
??
，称为抛物线的“通径”
7.焦半径公式：
p
2
p< br>若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线< br>x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F，则
?F?y
0
?
；
2
若点
?
?< br>x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2p x
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
；
8.函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?

x
2?x
1
0
9.导数：
f
?
x
?
在点< br>x
0
处的导数记作
y
?
x?x
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
．
?x
10.函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x0
?
?
处的切线的斜率．
11.常见函数的导数公式：
①
C
'
?0
；②
(x
n
)
'
?nx
n?1
； ③
(sinx)
'
?cosx
；④
(cosx)
'
??sinx
；
⑤
(a
x
)< br>'
?a
x
lna
；⑥
(e
x
)
'< br>?e
x
； ⑦
(log
a
x)
'
?
12.导数运算法则：
1
1
；⑧
(lnx)
'
?

x
xlna
?
1
?

?
2
?

?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
fx?gx
??
????
??
；
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x< br>?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
；
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
??
?
2
?
?
3
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
．
13.在某 个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单< br>调递增；
17

若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个 区间内单调递减．
必修1-2
1线性回归方程：
?
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?
b?n
2
其中，
?
2
x?nx
?
i< br>?
i?1
?
?
?
a?y?bx
注意：线性回归直线经 过定点
(x,y)
.
2.相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r??
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n

?
(x
i?1
n
i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注：⑴
r
>0 时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近
于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率
对于任何两个 事件A和B，在已知B发生的条件下，A发生的概
率称为B发生时A发生的条件概率. 记为P(A|B) , 其公式为P(A|B)
P（AB）
＝
P（A）
4相互独立事件
(1)一般地，对于两个事件A，B，如果_ P(AB)＝P(A)P(B) ，则称
A、B相互独立．
(2)如果A
1
，A
2
，…，A

n相互独立，则有P(A
1
A
2
…A
n
)＝_
P(A
1
)P(A
2
)…P(A
n
).
(3)如果A，B相互独立，则A与
－
B，
－
A与B，
－
A 与
－
B也相互独立．

18

5．独立性检验（分类变量关系）：
(1)2×2列联表
设
A,B
为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量
A:A
1
,A
2
?A
1
;
变量
B:B
1
,B
2
?B
1
;

通过观察得到右表所示数据：
并将形如此表的表格称为2×2列联
表．
(2)独立性检验
根据2×2列 联表中的数据判断
两个变量A，B是否独立的问题叫
2×2列联表的独立性检验．
(3) 统计量χ2的计算公式
n（ad－bc）
2
χ2=

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）


6.复数相关结论
.(1) z=a+bi
∈
R
?
b=0 (a,b
∈
R)
?
z=
z
?
z
2
≥0；
(2) z=a+bi是虚数
?
b≠0(a,b
∈
R)；
(3) z=a+ bi是纯虚数
?
a=0且b≠0(a,b
∈
R)
?
z＋z
＝0（z≠0）
?
z
2
<0；
(4) a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d
∈
R)；
7．复数的代数形式及其运算
设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d
∈
R)，则：
(1) z
1
±z
2
= (a + b)± (c + d)i；
(2) z
1
·z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
19

(3) z
1
÷z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(z
≠0)
?

ac
2
?i
(c?di)(c?di)
c2
?d
2
c
2
?d
2
8．几个重要的结论
(1)
(1?i)
2
??2i
；
1?i1?i
?i;??i;

1?i1?i
(2)
i< br>性质：T=4；
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4 n?2
??1,i
4n?3
??i
；
i
4n
?i< br>4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;

(3)
z?1?zz?1?z?
。
9．运算律：（1）
z
m
?z
n
?z
m?n
;(2)(z
m
)
n
?z
mn
;(3)(z
1
?z
2
)
m< br>?z
1
m
z
2
m
(m,n?N);

选修2-1
1.如果闭区间
?
a,b
?
上函数
f (x)
的图像是连续曲线，且满足
f(a)f(b)?0
，
那么
f( x)
在开区间
(a,b)
内至少存在一个零点。
2.如果一条直线垂直于一个平面内两天相交直线，那么这条直线垂直
于这个平面。
3.如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线平行于另一个
平面。
?
?
4.若向量
a,b满足a?b?0,则a?b.

1< br>z
5.
结合律：(a?b)?c?c?(a?b);
交换律：a?b?b?a;

6.设
?
、
?
为实数，那么

(1)< br>?
a?a
?
(
?
?R);
(2)
?
(a?b)?
?
a?
?
b,(
?
?
?
)a ?
?
a?
?
a(
?
?R,
?
?R);
(3)(
??
)a?
?
(
?
a)(
?
?R,
?
?R).
7.空间两个向量
8.空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律：
20