一个高中数学老师的教育故事-高中数学立体几何外接球典例
高中数学必修5公式大全
1、正弦定理:在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、C
的对边,
R
为
???C
的外接圆的半径,则
有
abc
???2R
.
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式
:①
a?2Rsin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC;
abc
,
sin??
,
sinC?
;③
a
:b:c?sin?:sin?:sinC
;
2R2R2R
a?b?cabc
④.
???
sin??sin??
sinCsin?sin?sinC
②
sin??
(正弦定理主要用来解决两类问题:
1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一边,
求其余的量。)
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)
如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想
画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点:
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:
当a
注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式:
S
???C
?
A
b
bsinA
D
a
C
111
bcsin??absinC?acsin?
.
222
22
2222
4、余弦定理:在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?,
b?a?c?2accos?
,
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论:
cos??
,
cos??
,
cosC?
.
2bc2ac2ab
(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2
、已知三边求角)
c
是
???C
的角
?
、6、如何判断三
角形的形状:设
a
、则:①若
a?b?c
,则
C?90
;
b
、
C
的对边,
?
、
②若
a?b?c,则
C?90
;③若
a?b?c
,则
C?90
.
正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标A、B,
1
222
o
222
o
222
o
A
B
C D
但不能到达,在岸边选取相距
3
千米的C、D两点,
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一
项的数列(即:a
n+1
>a
n
).
12、递减数列:从第2项起
,每一项都不大于它的前一项的数列(即:a
n+1
n
).
13、常数列:各项相等的数列(即:a
n+1
=a
n
).
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15
、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与
序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如
果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这
个常数
称为等差数列的公差.符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
。注
:看数列是不是等差数列有以下三种方法:
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1
?
a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
18、由三个
数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,
则
?
称为
a
与
b
的等差中项.若
O
OOO
b?
a?c
,则称
b
为
a
与
c
的
等差中项.
2
19、若等差数列
?
a
n
?
的首项
是
a
,公差是
d
,则
a
1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
.
;
a
n
?a
1
20、通项公式的变形:①
a
n
?a
m?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
;③
d?
n?1
2
a
n
?a
m
a
n
?a
1
d?
?1
;⑤④
n?
n?m
d
.
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?
n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
差数列,且
2n?p?q
(
n
、p
、
q??
),则
2a
n
*
?a
n<
br>?a
p
?a
q
;若
?
a
n
?
是等
?a
p
?a
q
.
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
2
;②22、等差数列
的前
n
项和的公式:①
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?
d
.③
2
s
n
?a<
br>1
?a
2
?L?a
n
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn??
*
,则
S
2n
??
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且S
偶
?S
奇
?nd
,
S
奇
a
?
n
.
S
偶
a
n?1
②若项数为
2n?
1n??
*
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇
?S
偶
?a
n<
br>,
.
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
)
24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个
常数,则这个数列称为等比数列,这
个常数称为等比数列的公比.符号表示:
的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
2
?a
n?1
?a<
br>n?1
(
n?2
,
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)
②
a
n
??
S
奇
n
(其中
S奇
?na
n
,
?
S
偶
n?1
a
n?1
?q
(注:①等比数列中不会出现值为0的项;②同号位上
a
n③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数). <
br>④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
log
x
a
n
}(
x?1
)成等比数列.
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若
G?ab
,
则称
G
为
a
与
b
的等
比中项.(注:由
G?ab
不能得出
a
,
G
,
b<
br>成等比,由
a
,
G
,
b
?
G?ab
)
n?1
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是<
br>a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1<
br>q
.
2
22
?
?
n?1
?
n?m
n?1
a?aq
a?aq
27、通项公式的变形:①
n
;②
1
;③
q
m
n
a
n
n?m
an
q?
?
;④.
a
m
a
1
*
28、若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;若
?
a
n
?
是等比
3
数列,且2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
.
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?<
br>a
n
?
的前
n
项和的公式:①
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
.②
s
n
?
1n
?
q?1
?
?
1
?q
?
1?q
?
s
1
?a
1
(n?1)<
br>30、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系:
a
n
?
?
s?s(n?2)
n?1
?
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
[注]: ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d
?
(
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数<
br>列)→若
d
不为0,则是等差数列充分条件).
②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn???
n
2
?
?
a
1
?
?
n<
br> →
?
?
d
?
?
2
?
?
d
?
2
?
d
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若
2
d
为零,则是等差数列的充分条件;若
d
不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
..
附:几种常见的数列的思想方法:
⑴等差数列的前
n
项和为<
br>S
n
,在
d?0
时,有最大值.
如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值,有两种方法:
一是求
使
a
n
?0,a
n?1
?0
,成立的
n
值
;二是由
S
n
?
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:
数列
等差数列
等比数列
数列
等差数列
等比数列
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项
公式以及前n项和看成是关于n的函数,为
我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题:1、等差数列
分析:因为
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求
n
的值.
22
通项公式
对应函数
(时为一次函数)
(指数型函数)
前n项和公式 对应函数
(时为二次函数)
(指数型函数)
中,,则 .
是等差数列,所以是关于n的一次函数,
4
一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n,)三点共线, 所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=0(图像如上),这里利用等差数
列通项公式与一次函
数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。
例题:2、等差数列中,,前n项和为,若,n为何值时最大?
分析:等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=,
是抛物线=上的离散点,根据题意,,
则因为欲求
最大。
最大值,故其对
应二次函数图像开口向下,并且对称轴为,即当时,
例题:3递增数列,对任意正整数n,
递增
得到:
恒成立,设
恒成立,求
恒成立,即
,则只需求出
。
,因为是递
的最大值即
分析:构造一次函数,由数列
恒成立,所以
可,显然
有最大值
对一切
对于一切
,所以
看成函数
的取值范围是:
构
造二次函数,,它的定义域是
增数列,即函数为递增函数,单调增区间为,抛物线对称轴,因为函数f(
x)
为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴
的左
侧
在
也可以(如图),因为此时B点比A点高。于是,
,得
⑵
如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前
n
项和可依照等比
数列前
111
n
项和的推倒导方法:错位相减求和.
例如:
1?,3,...(2n?1),...
n
24
2
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,
5
公差是两个数列公差
d
1
,d
2
的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥
2的任意自然数,验证
a
n
?a
n?1
(
a
n)
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
3.
在等差数列{
a
n
}中,有关S
n
的最值问题:(1)当
a
1
>0,d<0时,满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最
?
a
m?1
?0
大
值. (2)当
a
1
<0,d>0时,满足
?
注意转化思想的应用。
附:数列求和的常用方法
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,
a?0
?
m?1
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
的数列等。
例题:已知数列{a
n}的通项为a
n
=
?
c
?
?
其中{
a
n
}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘
aa
?<
br>nn?1
?
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
解:观察后发现:a
n
=
11
?
<
br>nn?1
s
n
?a
1
?a
2
?????a<
br>n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)
223nn?1
1
?1?
n?1
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列
,
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
n
例题:
已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
,求这个数列
的前n项之和
s
n
。
解:由题设得:
s
n
?a
1
?a
2
?a
3
?????a
n
=
1?2?2?2?3?2?????n?2
即
123n
6
s
n
=
1?21
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2
2
?
2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②,即:
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
2s<
br>n
=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
得
?s
n
?1?2?
2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
2(1?2
n
)
??n?2
n?1
1?2
?2
n
?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2
n?1
∴
s
n
?(n?1)2?2
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
n(n?1)
?
1
?
2
1): 1+2+3+...+n
= 2) 1+3+5+...+(2n-1) =
n
3)
13
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?
2
?
2
?
4)
1?2?3???n?
2222
2
111
1
??
n(n?1)(2n?1)
5)
n(n?1)nn?1
6
1111
?(?)
n(n?2)2nn?2
6)
31、
a?b?0?a?b;
a?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
.
32、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c;③
a?b?a?c?b?c
;
④
a?b,c?0?ac?bc
,
a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
;
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a?b
7
nn
1111
?(?)(p?q)
pqq?ppq
?
n??,n?1
?
;
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式(高次不等式)的解法
穿根法(零点分段法)
求解不等式:
a0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
???a
n
?0(?0)(a
0
?0)
解法:①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一
方
便)
②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来;
③由
右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过),经过数轴上表示各
根的点(
为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等
式是“<0”,则
找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
例题:求不等式
x?3x?6x?8?0
的解集。
解:将原不等式因式分解为:
(x?2)(x?1)(x?4)?0
由方程:
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1
??2,x
2
?1,x
3
?4
将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图
22
+
X
1
+
—X
2
X
3
+
X
n-2
X
n-1
—X
n
+
X
+
+
1
?
-2
8
?
4
x
由图可看出不等式
x?3x?6x?8?0
的解集为:
22
?
x|?2?x?1,或x?4
?
例题:求解不等式
解:略
一元二次不等式的求解:
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数
??0
??0
??0
2
(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。
(x?6)(x?4)
y?ax
2
?bx?c
(
a?0
)的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
?
?
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(
x
1
?x
2
)
x
1
?x
2
??
b
2a
b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?
?
xx??
??
2a
??
?
xx
1
?x?x
2
?
对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
(1)标准化:移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0); ≥0(或≤0)的形式,
g(x)g(x)g(x)g(x)
9
(2)转化为整式不等式(组
)
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0??
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)
例题:求解不等式:
解:略
例题:求不等式
1
??1
x
x
?1
的解集。
x?1
3.含绝对值不等式的解法:
基本形式:
①型如:|x|<a (a>0) 的不等式
的解集为:
?
x|?a?x?a
?
②型如:|x|>a
(a>0) 的不等式 的解集为:
?
x|x??a,或x?a
?
变型:
其中-c
?
x|?c?ax?b?c
?
解得。
式组
?<
br>?
ax?b?c
在解-c
?
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax
?b?c,或ax?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题:求解不等式
|x?2|?1
解:略
例题:求解不等式:
|x?2|?|x?3|?10
解:零点分类讨论法:
分别令
x?2?0和x?3?0
解得:
x??3和x?2
在数轴上,-3和2就把数轴分成了三部分,如右上图
①当
x??3
时,(去绝对值符号)原不等式化为:
?
3 2
x
11
?
?
?(x?2)?(x?3)?10
11
?
x??
?
?
?
2
?
??x??3
2
?
x??3
?
x??3
?
②当
?3?x?2
时,(去
绝对值符号)原不等式化为:
10
?
?3?x?2?
?3?x?2
?
?
?
?3?x?2
??(x?2)?(x?3)?10x?R
??
③当
x?2
时,(去绝对值
符号)原不等式化为:
?
x?2
?
x?2
9
?
2?x?
??
?
9
?
x?
2
(x?2)?
(x?3)?10
?
?
?2
由①②③得原不等式的解集为:
?
x|?
函数图像法:
令
f(x)?|x?2|?|x?3|
?
?
119
?
?x?
?
(注:是把①②③的解集并在一起)
22
?
y
f(x)
=10
5
?
?2
x?1(x??3)
?
?
则有:
f(x)?
?
5(?3?x
?2)
?
2x?1(x?2)
?
?
在直角坐标系中作出此
分段函数及
f(x)?10
的图像如图
?
11
o
?3
2
2
9
2
x
由图像
可知原不等式的解集为:
?
x|?
2
?
?
119
?
?x?
?
22
?
4.一元二次方程ax+bx+c=0(
a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析:
y
设ax+bx+c=0的两根为?
、
?
,f(x)=ax+bx+c,那么:
22
?
??0
?
①若两根都大于0,即
?
?0,
?
?0
,
则有
?
?
?
?
?0
?
?
?
?
?0
?
o
?
对称轴x=
?
?
x
b
2a
?
??0
?
b
?
②若两
根都小于0,即
?
?0,
?
?0
,则有
?
??0<
br>
2a
?
?
?
f(0)?0
11
y
?
对称轴x=
?
?
b
2a
o x
③若两根有一根小于0一根大于0,即
?
?0?
?
,则有
f(0)?0
④若两根
在两实数m,n之间,即
m?
?
?
?
?n
,
y
o x
y
?
?
?
??0
?
b
?
?n
?
m??
则有
?
2a
?
f(m)?0
o m
?
?
?
f(
n)?0
⑤若两个根在三个实数之间,即
m?
?
?t?
?
?
n
,
y
?
X=
?
?
n
b
2a
x
?
f(m)?0
?
则有
?
f(t)?0
?
f(n)?0
?
常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如:若方程
x?2(m?
1)x?m?2m?3?0
有两个正实数根,求
m
的取值范围。
22
o m
?
X=
?
t
?
n
x
b
2a
?
4(m?1)
2?4(m
2
?2m?3)?0
?
??0
?
m??1?
??
解:由①型得
?
?
?
?
?0
?
?
2(m?1)?0
?
?
m??1
?
m?3
?
m
2
?2m?3?0
?
?
?
??0
?
m??1,或m?3
??
?
所以方程有两个正实数根时,
m?3
。
又如:方程
x?x?m?1?0
的一根大于1,另一根小
于1,求
m
的范围。
22
?
55
22
?
(?1)?4(m?1)?0
??0
?
?m?
?
?
?
解:因为有两个不同的根,所以由
?
?
?
2
?
?
22
?
?1?m?1
2
f(1)?0
1?1?m?1?0
?
?
?
?
?1?m?1
?
35、二元一次不等式:
含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
12
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二
元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序
数对
?
x,y
?
,所有这
样的有序数对
?
x,y<
br>?
构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0<
br>,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若
??0
,
?x
0
??y
0
?C
?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在
直线
?x??y?C?0
的上方.
②若
??0
,
?x0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
(一)由B确定:
①若
??0
,则
?x??y?C?0
表
示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域.
②若
??0
,则
?x??y?
C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域.
(二)由A的符号来确定:
先把x的系数A化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号,则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
(三)确定不等式组所表示区域的步骤:
①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测:由上面(一)(二)来确定
③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
?
2x?y?5?0
?
例题:画出不等式组
?
y?3x?5
所表示的平面区域。
?
2y?x?5?0
?
解:略
40、线性约束条件:由
x
,
y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x
,
y
的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
13
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数,
ab
称
为正数
a
、
b
的几何平均数.
2
a?b
42、均值不等式定理: 若
a?0
,
b?0,则
a?b?2ab
,即
?ab
.
2
41、设
a
、
b
是两个正数,则
a
2
?b
2
43
、常用的基本不等式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b?R
?
;③
2
22
?
a
?b
?
ab?
??
?
a?0,b?0
?
;
?
2
?
a
2
?b
2
?
a?b
?
④
?
??
?
a,b?R
?
.
22
??
44、极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有:
2<
br>2
s
2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y<
br>时,积
xy
取得最大值.⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x
?y
4
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
例题:已
知
x?
解:∵
x?
51
,求函数
f(x)?4x?2?的最大值。
4
4x?5
5
,∴
4x?5?0
4
由原式可以化为:
f(x)?4x?5?5?2?
当
5?4x?
1111
?
?(5?4x)??3??[(5?4x)?]?3??(5?4x)??3??1?3?2
4x?55
?4x5?4x5?4x
13
2
,或x?(舍去)
,即
(5?4x)
?1
?
x?1
时取到“=”号
5?4x2
也就是说当
x?
1
时有
f(x)
max
?2
14
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