高中数学主要公式归纳

第一章：集合与简易逻辑
1.集合：
规定：空集是任何集合的子集．也就是说，对于任何一个集合
A，有
??A
。
Eg：已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，
A∪ Z，
B∪Z．
解：
A∩B={奇数}∩{偶数}=
?
，
A
∩Z={奇数}∩Z={奇数}=A，
B
∩Z={偶数}∩Z={偶数}=B，
A
∪B={奇数}∪{偶数}=Z，
A
∪Z={奇数}∪Z=Z，
B
∪Z={偶数}∪Z=Z．
2.逻辑联结词
P 非P
P Q P或Q
真 假
真 真 真
假 真
P Q P且Q
真 假 真
真 真 真
假 真 真

真 假



假
假 假 假

原命题若
互逆
假
逆命题若
真

假

P则
互否
Q
逆否
假
Q则
假
P
假



否命题若
互逆
（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．
逆否命题若


（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．
若
p?q
，那么我们说，
p是q的充分条件．q是p的必要条件.
若
p?q
，
这时，
p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q
的充分必要条件，简称充要条件．
互否

第二章：函数
1.映射
一般地，设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中 的任
何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，
B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B．
给定一个集合A 到集合B的映射，且a∈A，b∈B．如果元素a和元素b对应，
那么，我们把元素b叫做元素a的象， 元素a叫做元素b的原象．


象

(只允许多对一)

象
2）奇偶性（3）周期性 的判定方法： 函数的（1）单调性（
（1） 如果对 于属于定义域I内某个区间的任意两个
自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＞f(x
2
)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数；
若是f(x
1
) ＜f(x
2
)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
原
f:

A?B

（2）
f(x)是奇函数。
（3）
f(-x)=f(x)则f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)则
sinx cosx tanx cotx 周期分别为：
2
?

2
?

?

?

2.反函数
原函数
y?
f(x)
自变量（定义域）为x，值域y。反函数
x?f
?1
(y)
自变量为y, 值域x。
原函数和反函数关于
y??x
对称。
3.指数函数
(1)a·a=a(m，n∈Z)(2)(a)=a(m，n∈Z)；(3)(ab)=ab(n∈Z)．
mnm+nmnmnnnn
4.对数函数
(1)log(MN)=logM+log N（2）
aaa
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
(3)log
a
M
n
=nlog
a< br>M
N

第三章:数列
1.等差数列
通项
a
n
=a
1
+(n-1)d
a
n
?a
m
?(n?m)d
前n项和公式:
2.等比数列
通项 a=aq
n1
n-1
a
n
?a
m
q
n?m
前n项和公式：
第四章：三角函数
1.特殊三角函数值

角度
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
0
0
1
0
不存在



30（
?
6
）
45（
?
）
4

60（
?
）
3
90（
?
）
2
12
2
2
1
12 不存在
不存在
0
2
2
1
1



2??cos
2
??1???
sin?
?tan????tan?*cot ??1
cos?

(180°+a)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα
(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα
4. sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosα
5.
sin(360°-α)=-sinα，cos(360°-α)=cosα
2.两点间距离公式：
pp?(x?x)
2
?(y?y)
2

122121
3.和角公式和差角公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcos(β)-cosαsin(β)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcos(β)+sinαsin(β)
tan(
?
?
?
)?
4.二倍角公式
5.函数
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
A-----振幅；
T?2
?

?
-----周期；
f?
当x=0时的相位
?
称 初相位
1
-----频率；
?
x?
?
-----相位；
T
第五章：平面向量
1.实数与向量的积
定理? 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa
设a=(x
1，y
1
)，b=(x
2
，y
2
)，其中b≠0．那么从 前面可以知道，a∥b的充要条件是存在一实数λ，使
a=λb．消去λ后得x
1
y< br>2
-x
2
y
1
=0．
2.线段的定比分点
若是中点则
?
=1，即
x?(x
1
?x
2
)2< br>
y?(y
1
?y
2
)2

3.向量的积

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与 b的数量积(或内积)，
记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．并且规定，零向量与任一向量 的数量积为0。已知向量a、b、c
和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a· b=b·a(交换律)；(2)(λa)·b=λ(a·b)②=a·(λb)；(3)(a+b)·c=a·c +b·c．
4.数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a· b=x
1
x
2
+y
1
y
2
．
若
a?b
则a·b=x
1
x
2
+y
1
y2
=0（判定两条直线垂直的充要条件）
5.平移
原来坐标
(x,y )
；移动坐标
(h,k)
；移动后的坐标
(x',y')
；则有x'?x?h

y'?y?k

6.正余弦（xian）定理
a. 正弦定理? 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

b. 余弦定理? 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍．即
7.面积公式
第六章：不等式
1.不等式性质
如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d
定理 如果a＞b，且c＞0，那么a c＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc如
果a＞b＞0，且c＞d＞0，那么ac＞bd．
如果a，b∈R，那么
a
2
?b
2
?2ab
均值不等式：如果a、b是正数，那么
如果把
a?b
?ab
（当且仅当a =b时取“=”）
2
a?b
看作是正数a、b的等差中项，把
ab
看作是正数a、b的等比中项，
2
那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等 比中项.
也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2.含绝对值的不等式
定理 |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．
推论1 |a
1
＋a
2
＋a
3
|≤|a
1
|＋|a
2
|＋|a
3
|．

推论2 |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|．
第七章：直线和圆的方程
1.斜率 经过两点P
1
(x
1
，y
1
)、P
2
(x
2
，y
2
)的直线的斜率公式：
k?tan??
2.直 线方程
点斜式：y－y
1
＝k(x－x
1
) 斜截式：=kx＋b
两点式： 一般形式：
截距式：
?
3.两条直线的位置关系
设直线
l
1
和
l
2
分别有如下的斜截式方程：
a
x
b
?1

y
y
2
?y
1
y
1
?y
2
?

x
2
?x
1
x
2
?x
2

l
1
：y=k
1
x＋b
1
，
l
2
：y=k
2
x＋b
2
．
平行：直线
l
1
∥
l
2
的充要条件是k
1
=k
2
且b
1
≠b
2（斜率存在）
垂直
：
两条直线垂直的充要条件是k
1
·k
2
=－1
夹角：
l
2
到
l
1
的夹角
交点：解两条直线组成的方程组既得交点坐标
点到直线的距离公式：
4.圆的方程

标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
圆心（a 、b） 半径 r
一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

条件：
D
2
?E
2
?4F?0
圆心（-D2、-E2） 半径
参数方程：
x?rcos
?

y?rsin
?
（
?
为参数）
第八章：圆锥曲线方程

1
D
2
?E
2
?4F

2

1.椭圆
椭圆就是集合
P={M||MF1|＋|MF2|=2a}


x
2
y
2
标准方程：
2
?
2
?1
（ 焦点在x轴） 关系式：
a
2
?b
2
?c
2

ab
顶点

顶点 焦点 准线
性质：
1.范围|x|≤a，|y|≤b 2．对称性 3．顶点
4.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
e?
(
0?e?1
)
第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
e?
c
(< br>0?e?1
)时，这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准
a
c
a
线，常数e是椭圆的离心率。
2.双曲线
双曲线就是集合
P={M||MF
1
|－|MF
2
|=2a}
x
2
y
2
标准方程：
2
?
2
?1
（焦点在x 轴） 关系式：
c
2
?a
2
?b
2

ab

F
1
(?c、0)

F
2
(c、
0)

A
2
(a、0)

B
1
(0、b)

0)

A
1
(?a、
B
2
(0、-b)

说明：

渐近线

实轴 虚轴 准线
性质：
1.范围x≥a，x≤－a 2.对称性 3.顶点 4.渐近线
5.离心率：双曲线的焦距与长轴长的比
e?
(
e?1
)
第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
e?
c
(e?1
)时，这个点的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线
a
c
a
的准线，常数e是双曲线的离心率。
3.抛物线
抛物线就是集合P={M||MF|=d}
平面内与一个定点F和一条定直线
l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫
做抛物线的焦点，直线
l
叫做抛物线的 准线。
准线方程：y
2
＝2px(p＞0)--- 抛物线的标准方程
性质：1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率
通径:通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两焦点的坐标分别为
pp
(,p)、
(,?p)
,连接这两点的线段叫做抛物线的通径。长度为2P.
22
4.本章小结

第九章：直线、平面、简单几何体
1.概念
1.平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种；在空间还有既不相交也不平 行的情况，这时两
条直线一定不会共面，我们把这不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． < br>2.如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行，也叫做平行平面．平面α平
行于平面β ，记作α∥β．
3.如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就
说这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．交
点叫做垂 足．
4.

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一 条直线
所成的角中最小的角．一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和
平面 所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所
成的角是直角；如果直 线和平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成的角是0°
的角。
5.
一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离．
6. 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离．
7.
和两个平 行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平
面间的部分，叫做这两个平面的公 垂线段．
8.
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离

2.性质定理及推论：
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个
平面内。
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直
线。
公理3 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一
平面）。
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面．
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．
定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相
等．
判定异面直线的方法：

连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不 经过此点的直线是异面直
线．
判定直线和平面平行常用下面的定理：
定理
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平
行．
定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和 交线
平行
．
判定两个平面平行常用下面的定理：
定理 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平
行．
推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面
平行
．
定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
判定直线和平面垂直通常用下面的定理：
定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于
这个平面．
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么
它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那
么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面．
推论 如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.
定理: 任意两条异面直线有且只有一条公垂线．
3.
棱柱与棱锥
如果一个多面 体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫
做棱柱．两个互相平行的面 叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；两侧面的公共
边叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平 面的公垂线段，叫做棱柱的高(公垂线段的长度也简称高)．

性质：
(1)棱 柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；
正棱柱的各个侧面都是 全等的矩形．(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行
的全等多边形。(3)过棱柱 不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.
定理 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．

定理
长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．
如果一个多面体的一个面是多边形， 其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做
棱锥．
定理 如果棱锥被平行于 底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与
底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 平方比①．
①对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积
的比等 于对应边的比的平方．
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥． 正棱锥性质：(1)正棱锥各侧棱相等，备侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高
相 等(它叫做正棱锥的斜高) (2)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，
正棱 锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
球：
球面上两点之间的最短距 离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．我们把这个弧
长叫做两点的球面距离.
定理 半径是R的球的体积是
V?
41
?
R
3
?
?
d
3

定理 半径是R的球的表面积是S＝4
36
πR
2
第十章：排列、组合和概率
1.排列与组合
分类计数原理① 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m
1
种不同
的方法，在第2类办法中有m
2
种不同的方法……在第n类办法中有 m
n
种不同的
方法．那么完成这件事共有N＝m
1
＋m
2< br>＋…＋m
n
种不同的方法．
①它又称为加法原
理
分步计数原理① 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m
1
种不同
的方法，做第2步有m
2
种不同的方法……做第n步有m
n
种不同的方法．那 么完
成这件事共有
N＝m
1
×m
2
×…×m
n< br>种不同的方法．
①
又称为乘法原理．
m
c
n
=n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 这里n，m∈N*，并且m≤n．这个公式叫做排列数公式．
A?c?A?c?c
2.二项式定理
m
n
m
n
m
m
m
n
n?m
n
m
m
A
n
c
?
m
（组合公式）
n?1
A
m
mm?1
?c
n
?c
n

n0n1n?12n?22 n?1n?1nn
展开式：
(a?b)?c
n
a?c
n
ab ?c
n
ab?......?c
n
ab?c
n
b

rn?rrr
通 项：
T
r?1
?c
n
ab

c
n
是二次项系数（和系数有区别）
3.随机时间的概率
在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；

在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；
在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件
事件A与B不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
（有可能两个都不发生）

其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件. 对立事件的概率的和等于1.即
p(A)?p(A)?1

事件A(或B)是否发生对 事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件

_
P(A·B)=P(A)·P(B)
独立重复试验：如果在1次试验中某事件发生 的概率是P，那么在n次独立重复
kk
p(1?p)
n?k
(k?N
*
)
试验中这个事件恰好发生k次的概率为
p
n
(k)?c
n

第十一章：导数和极限
1.基本公式
2.导数的应用
如果
f(x)'?0
，则
f(x)
在区间上是增函数；如果
f(x)'? 0
，则
f(x)
在区间上是减函
数；
如果
f(x)'?0
，则
f(x)
是常函数。
如果
f(x)
在区间I上是增函数，则
f(x)'?0
;
如果
f(x)
在区间I上是减函数，则
f(x)'?0
。
3.极大值、极小值、最大值、最小值。