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高一数学公式归纳汇编

作者:高考题库网
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2020-09-14 14:44
tags:高中数学公式

高中数学两角差的余弦公式评课稿-新课标初高中数学的衔接




高一数学公式归纳


高一数学公式归纳2010-06-21 11:04一、集合与简易逻辑:一、理解集合中的有
关概念(1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性。集合元素的互异性:
如:,,求;(2) 集合与元素的关系用符号,表示。(3)常用数集的符号表示:自然
数集;正整数集、;整数集;有理数 集、实数集。(4)集合的表示法:列举法,描
述法,韦恩图。注意:区分集合中元素的形式:如:;; ;;;;(5)空集是指不
含任何元素的集合。(、和的区别;0与三者间的关系)空集是任何集合的子 集,是
任何非空集合的真子集。注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。如:,
如果, 求的取值。二、集合间的关系及其运算(1)符号是表示元素与集合之间关
系的,立体几何中的体现点与 直线(面)的关系;符号是表示集合与集合之间关系
的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。(2 );;(3)对于任意集合,则:
①;;;②;;;;③;;(4)①若为偶数,则;若为奇数,则;② 若被3除余
0,则;若被3除余1,则;若被3除余2,则;三、集合中元素的个数的计算:(1)若集合中有个元素,则集合的所有不同的子集个数为_,所有真子集的个数是_,所
有非空真子集的 个数是。(2)中元素的个数的计算公式为:;(3)韦恩图的运用:
四、满足条件,满足条件,若;则 是的充分非必要条件;若;则是的必要非充分条
件;若;则是的充要条件;若;则是的既非充分又非必要 条件;五、原命题与逆否
命题,否命题与逆命题具有相同的;注意:若,则在解题中的运用,如:是的条件。六、反证法:当证明若,则感到困难时,改证它的等价命题若则成
立,步骤:1、假设结论 反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;
3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确 。矛盾的来源:1、与原命题的条件
矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。适用 与待证命题的结
论涉及不可能、不是、至少、至多、唯一等字眼时。正面词语等于大于
小于是都 是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个
否定二、函数一、映射与函数: (1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念:
如:若,;问:到的映射有个,到的映射有个 ;到的函数有个,若,则到的一一映
射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。二、函数的三要素:, ,。相同函数
的判断方法:①;②(两点必须同时具备)(1)函数解析式的求法:①定义法(拼
凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:(2)函数定义域的求法:①,则;②
则;③,则;④如 :,则;⑤含参问题的定义域要分类讨论;如:已知函数的定义
域是,求的定义域。⑥对于实际问题,在 求出函数解析式后;必须求出其定义域,
此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为2 0,半径为,扇形
面积为,则;定义域为。(3)函数值域的求法:①配方法:转化为二次函数,利用< br>二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式;②逆求法(反求法):通过反解,
用来表示,再 由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围;常用来解,型



如 :;④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;⑤三角有界
法:转化为只含正弦、余弦 的函数,运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式
法:转化成型如:,利用平均值不等式公式来求值 域;⑦单调性法:函数为单调函
数,可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合:根据函数的几何图形,利 用数型结
合的方法来求值域。求下列函数的值域:①(2种方法);②(2种方法);③(2种方
法);三、函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性单调性:定义:注意定义
是相对与某个具体的 区间而言。判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)导数法
(适用于多项式函数)复合函数法和图像 法。应用:比较大小,证明不等式,解不等
式。奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x )与f(-x)的关系。
f(x)-f(-x)=0 f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x)f(x)为奇函
数。判别方法:定义法,图像法,复合函数法应用:把函数值进行转化求解。周期
性:定义:若 函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)
的周期。其他: 若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函
数f(x)的周期 .应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换:函数
图像变换:(重点)要求掌握常见基 本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。
常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解 释,和按向量平移联系起
来思考)平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意: (ⅰ)有系数,要先提取系
数。如:把函数y=f(2x)经过平移得到函数y=f(2x+4)的图象 。(ⅱ)会结合向量的
平移,理解按照向量(m,n)平移的意义。对称变换y=f(x)→y=f(- x),关于y轴对
称y=f(x)→y=-f(x),关于x轴对称y=f(x)→y=f|x|,把x 轴上方的图象保留,x轴
下方的图象关于x轴对称y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保 留,然后将y轴
右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数)伸缩变换:
y=f(x)→ y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。一个重
要结论: 若f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;如:的图象
如图,作 出下列函数图象:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9)。
五、 反函数:(1)定义:(2)函数存在反函数的条件:;(3)互为反函数的定义域与
值域的关系:;( 4)求反函数的步骤:①将看成关于的方程,解出,若有两解,要
注意解的选择;②将互换,得;③写出 反函数的定义域(即的值域)。(5)互为反函
数的图象间的关系:;(6)原函数与反函数具有相同的 单调性;(7)原函数为奇函
数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。如: 求下列
函数的反函数:;;七、常用的初等函数:(1)一元一次函数:,当时,是增函
数;当 时,是减函数;(2)一元二次函数:一般式:;对称轴方程是;顶点为;两
点式:;对称轴方程是;与 轴的交点为;顶点式:;对称轴方程是;顶点为;①一
元二次函数的单调性:当时:为增函数;为减函数 ;当时:为增函数;为减函数;
②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为的形式,Ⅰ、若顶点的 横坐标在
给定的区间上,则时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取
得; 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;Ⅱ、若顶
点的横坐标不在给定的区间 上,则时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最
大值在距离对称轴较远的端点处取得;时:最大值 在距离对称轴较近的端点处取
得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;有三个类型题型:(1)顶点 固定,区
间也固定。如:(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标



何时在区间之内,何时在区间之外。(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论 区间中
的参数.③二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程的两根为;则:根
的情况 等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件注意:
若在闭区间讨论方程有实数解 的情况,可先利用在开区间上实根分布的情况,得出
结果,在令和检查端点的情况。(3)反比例函数: (4)指数函数:指数运算法
则:;;。指数函数:y=(a o,a≠1),图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,
在解题中,往往要对a分a 1和0 a 1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的
简图。(5)对数函数:指数运算法则:;;;对数函数: y=(a o,a≠1)图象恒过点
(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a 1和0 a1两种情况进
行讨论,要能够画出函数图象的简图。注意:(1)与的图象关系是;(2)比 较两个指
数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为
同底 数的指数或对数,还要注意与1比较或与0比较。(3)已知函数的定义域为,
求的取值范围。已知函数 的值域为,求的取值范围。六、的图象:定义域:;值
域:;奇偶性:;单调性:是增函数;是减函数。 七、补充内容:抽象函数的性质
所对应的一些具体特殊函数模型:①正比例函数②;;③;;④;三、导 数1.求
导法则:(c)=0这里c是常数。即常数的导数值为0。(xn)=nxn-1特别地:(x)=1(x-1)=()=-x-2(f(x)±g(x))=f(x)±g(x)(kf(x))=k f(x)2.导数的几
何物理意义:k=f(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0 ))的切线的斜率。
V=s(t)表示即时速度。a=v(t)表示加速度。3.导数的应用:①求切线 的斜率。②
导数与函数的单调性的关系一与为增函数的关系。能推出为增函数,但反之不一
定。 如函数在上单调递增,但,∴是为增函数的充分不必要条件。二时,与为增函
数的关系。若将的根作为分 界点,因为规定,即抠去了分界点,此时为增函数,就
一定有。∴当时,是为增函数的充分必要条件。三 与为增函数的关系。为增函数,
一定可以推出,但反之不一定,因为,即为或。当函数在某个区间内恒有 ,则为常
数,函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一
条重 要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数
判断好函数的单调性。因此 新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作
为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。 但在实际应用中还会遇到端点的
讨论问题,要谨慎处理。四单调区间的求解过程,已知(1)分析的定义 域;(2)求导
数(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式,解集在定义域内的
部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才
能准确无误地 判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是
函数在某个区间内可导。③求极值、 求最值。注意:极值≠最值。函数f(x)在区
间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b) 中最大的一个。最小值为极小值和
f(a)、f(b)中最小的一个。f(x0)=0不能得到当x=x 0时,函数有极值。但是,当
x=x0时,函数有极值f(x0)=0判断极值,还需结合函数的单调性 说明。4.导数的
常规问题:(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数 方法
可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导
数方 法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2.关于函数特征,最
值问题较多,所以有必要 专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。3.导数
与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要 类型,也是高考中考察综合能力的一



个方向,应引起注意。四、不 等式一、不等式的基本性质:注意:(1)特值法是判
断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用 于不成立的命题。(2)注意课本
上的几个性质,另外需要特别注意:①若ab 0,则。即不等式两边 同号时,不等
式两边取倒数,不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要
注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。③图象法:利用有关函数的
图象(指数函数、对数 函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小。④中介
值法:先把要比较的代数式与比,与比,然 后再比较它们的大小二、均值不
等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。若,则(当且仅当 时取等号)
基本变形:①;;②若,则,基本应用:①放缩,变形;②求函数最值:注意:①
一 正二定三取等;②积定和小,和定积大。当(常数),当且仅当时,;当(常数),
当且仅当时,;常用 的方法为:拆、凑、平方;如:①函数的最小值。②若正数满
足,则的最小值。三、绝对值不等式:注意 :上述等号成立的条件;四、常用
的基本不等式:(1)设,则(当且仅当时取等号)(2)(当且仅当 时取等号);(当且仅
当时取等号)(3);;五、证明不等式常用方法:(1)比较法:作差比较:作 差比较
的步骤:⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。⑵变形:对差进行因式分解
或配 方成几个数(或式)的完全平方和。⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条
件判断差的符号。注意: 若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比
较大小。(2)综合法:由因导果。(3)分析 法:执果索因。基本步骤:要证…只需
证…,只需证…(4)反证法:正难则反。(5)放缩法:将不等 式一侧适当的放大或缩
小以达证题目的。放缩法的方法有:⑴添加或舍去一些项,如:;⑵将分子或分母
放大(或缩小)⑶利用基本不等式,如:;⑷利用常用结论:Ⅰ、;Ⅱ、;(程度
大)Ⅲ、;( 程度小)(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难
为易,化繁为简,常用的换元 有三角换元和代数换元。如:已知,可设;已知,可
设();已知,可设;已知,可设;(7)构造法: 通过构造函数、方程、数列、向量
或不等式来证明不等式;六、不等式的解法:(1)一元一次不等式: Ⅰ、:⑴若,
则;⑵若,则;Ⅱ、:⑴若,则;⑵若,则;(2)一元二次不等式:一元二次不等
式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对进行讨论:(5)
绝对值不等式:若 ,则;;注意:(1).几何意义::;:;(2)解有关绝对值的问
题,考虑去绝对值,去绝对值的方 法有:⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于
零进行讨论去绝对值;①若则;②若则;③若则;(3) .通过两边平方去绝对值;需
要注意的是不等号两边为非负值。(4).含有多个绝对值符号的不等式可 用按零点
分区间讨论的方法来解。(6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;⑴;
⑵; ⑶;⑷;(7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然
后求其交集,即是这个不 等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画
在同一条数轴上,取它们的公共部分。(8)解 含有参数的不等式:解含参数的不等
式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则 一般需要讨
论:①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零
性.② 在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底
数进行讨论.③在解含有字母 的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开
口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析 △),比较两个根的大小,设根
为(或更多)但含参数,要分、、讨论。五、数列本章是高考命题的主体 内容之一,

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