125个高中数学重要秒杀公式

125个高中数学重要秒杀公式
第1章 集合
1、有限集合子集个数： 子集个数：
2
n
个，真子集个数：
2
n?1
个；
2、集合里面重要结论：
①
A?B?A?A?B
；②
A?B?A? B?A
；③
A?B?A?B
④
A?B?A?B

3、同时满足求交集，分类讨论求并集
4、集合元素个数公式：
n(AB)?n(A)?n(B)?n(AB)

第2章 函数
5、几个近似值：
2?1. 414,3?1.732,5?2.236,
?
?3.142,e?2.718

6、分数指数幂公式：
a?
m
a
n

7、对数换底 公式：
log
a
b?
log
c
b
1
;lo g
a
b?
log
c
alog
b
a

n
m
8、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减→减；减—增→减；
③.乘正加常，单调不变： ④.乘负取倒，单调改变：
9、奇偶性的快速法：①.奇
?
奇→奇；偶
?
偶→偶；
② .奇
?(?)
奇→偶；偶
?(?)
偶→偶；奇
?(?)
偶→ 奇；
10、函数的切线方程：
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)

?
f(x)
min
?0
11、函数有零点
?
?

f(x)?0
max
?
12、函数无零点
?f(x)
max
?0或f(x)
min
?0

13、函数周期性：
f(a?x)?f(b?x)
的周期
T ?b?a
；
14、函数对称性：
f(a?x)?f(b?x)
的对称轴x?
a?b
；
2
15、抽象函数对数型：若
f(xy)?f( x)?f(y)
，则
f(x)?log
a
x
；
x
16、抽象函数指数型：若
f(x?y)?f(x)f(y)
，则
f(x)?a
；
17、抽象函数正比型：若
f(x?y)?f(x)?f(y)
，则
f (x)?kx
；
18、抽象函数一次型：若
f
?
(x)?c
，则
f(x)?cx?b
；
19、抽象函数导数型：若
f
?< br>(x)?f(x)
，则
f(x)?ke
x
或
f(x)?0;
?
e
x
?x?1
?ln(x?1)?x?e
x?1(当且仅当x?0时“?”成立)
20、两个重要不等式：
?
?
l nx?x?1
21、洛必达法则：
lim
x?a
f(x)f
?
(x)f(x)0?
?
lim
?或
时使用) (当
g(x)g(x )0?
x?a
g
?
(x)
22、恒成立问题：
(1)a?f (x)?a?f(x)
max
(2)a?f(x)?a?f(x)
min
< br>23、证明
f(x)?g(x)
思路：思路1：
(1)h(x)?f(x)?g (x)?h(x)?0
（常规首选方法）
思路2：
f(x)
min
?g(x)
max
（思路1无法完成）

第3章 数列
24、等差数列通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
25、等差数列通项公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

2 2
26、等比数列通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1

a
1
(1?q
n
)
a
1
?a< br>n
q
?
27、等比数列通项公式：
S
n
?

1?q1?q
28、等差数列的性质：若
m?n?p?q
，则
am
?a
n
?a
p
?a
q

29、等比 数列的性质：若
m?n?p?q
，则
a
m
a
n
?a
p
a
q

30、等差中项：若
a,A,b
成等差数列，则
2A?a?b
31、等比中项：若
a,G,b
成等比数列，则
G
2
?ab
32、裂项相消法1：若
1
n(n?1)
?
?
n11
n?1
，则有
T
n
?1?
1n
?

n?1n?1
33、裂项相消法2：若
1
?
11
?
1111
T?(1???)

?
?
?
，则有
n?
22n?1n?2
n(n?2)2
?
nn?2
?
1< br>1
a
n?1
a
n
34、裂项相消法3：若
?
1
?
1
d
?
a
n
?
?
111T?(?)
，则有
n
?
da
1
a
n?1a
n?1
?
1
?
35、裂项相消法4：若
1
?
11
?
11
T?(1?)

?
?
?
，则有
n
?
22n?1
(2n?1)(2n?1)2
?
2 n?12n?1
?
1
36、错位相减法求和通式：
T
n
?< br>a
1
b
1
dq(b
1
?b
n
)a< br>n
b
n
q
??
1?q(1?q)
2
1?q< br>

第4章 三角函数

37、三角函数的定义：正弦：
sin
?
?
y xy
；余弦：
cos
?
?
；正切：
tan
?
?
；其中：
r?x
2
?y
2

rrx
3 8、诱导公式：
?
倍加减名不变，符号只需看象限；半
?
加减名要变，符号还 是看象限。
39、和差公式：①
sin(
?
?
?
)?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
（伞科 科伞，符号不反）
②
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
（科科伞伞，符号相反）
③
tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
（上同下相反 ）
1tan
?
tan
?
40、二倍角公式：①
sin2< br>?
?2sin
?
cos
?

②
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1

③
tan2
?
?
2tan
?

2
1?ta n
?
sin2
?
1?cos2
?
1?cos2
?< br> ②.
sin
2
?
?
③.
cos
2
?
?

222
41、降幂公式：①.
sin
?
c os
?
?
b
42、辅助角公式:
asinwx?bcoswx?a< br>2
?b
2
sin(wx?
?
).(tan
?
?,a?0)

a
43、正弦定理：
abc
???2R
si nAsinBsinC

b
2
?c
2
?a
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
44、 余弦定理：①
cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b< br>2
?b
2
?a
2
?c
2
?2accosB< br> ②
cosB?
2ac
a
2
?b
2
?c2
?c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC ③
cosC?
2ab
45、三角形最值原理：三角形中一个角及其对边已知时、 另外两边或两角相等时周长取得最小值，
面积取得最大值；

第5章 向量
46、向量加法的作图：上终下起，中间消去；
AB?BC?AC

47、向量减法的作图：起点相同，倒回来读；
?C?????C

48、向量平行的判定：(1)向量法:
ab?b=
?
a
; (2)向量法:
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

49、向量垂直的判定：(1)向量法:
a?b?ab?0
; (2)向量法:
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

50、向量的数量积公式：(1)向量法:
ab?abcos
?
; (2)向量法:
ab=x
1
x
2
?y
1
y
2

51、向量的夹角公式：(1)向量法:
cos
?
=
ab
ab
; (2)向量法:
cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x
2
?y
2< br>22

a
x
1
y
1
a
?
5 2、
a
方向上的单位向量: (1)向量法:
e?
; (2)向量法: < br>e?=
?
,
22
a
a
?
x
1
2
?y
1
2
x?y
11
?
?
?

?
?
53、证明
A
、
B
、
C
三点 共线两种方法：(1)两个向量
AB,AC
共线且有一个公共点A；
(2)
PA?xPB?yPC(x?y?1)

第6章 立体几何

54、线线角向量法公式：
cos
?
?
a?b
ab

a?m
am
55、线面角：(1)向量法公式：
sin
?
?
；(2)几何法公式：
sin
?
?
h
x

a
56、二面角：(1)向量法公式：
cos
?
??
57、点面距：(1)向量法公式：
h
x
?
m?n
mn
；(2)几何法公式：
cos
?
?
S
射影
S
原图< br>
m?AB
m
；(2)几何法公式：
h
x
?
S
1
h
1

S
2
58、多面体的内切球半径：
r?
3V

S< br>1
?S
2
?????S
n
59、长方体的外接球半径：
2R?a
2
?b
2
?c
2

h
2
?
22
R?r?()
?
?
2
?
60、直棱锥的外 接球半径：
?
2r?
a
?
sinA
?

?
R
2
?r
2
?(h?R)
2
?
a
61、正棱锥的外接球半径：
?
2r?
?
sinA
?
62、正三角形的性质：高：
h?
3
a
，面积：
S?
3
a
2

2
4
6
63、正三角形与圆：内切圆半径：
r?
3
a
，外接圆半径：
R?
3
a
，且< br>R
?
2

3
r1
64、正四面体的高：斜高：
h
斜
?
3
a
，正高：
h
正
?
6
a

2
3
65、正四面体与球：内切球半径
r
，外 接圆半径
R
，且
R
?
3
且
r?R?h
正< br>
r1

第7章 解析几何

66、圆的定义:若
PA?PB
，则
P
的轨迹为以
AB为直径的圆
67、椭圆的定义:若
PF
1
?PF
2
? 2a(2a?F
1
F
2
)
,则
P
的轨迹为以
F
1
F
2
为焦点,
2a
为长轴的椭圆
68、双曲线的定义: 若
PF
1
?PF
2
?2a(2a? F
1
F
2
)
,则
P
的轨迹为以
F
1
F
2
为焦点,
2a
为实轴的双曲线
70、抛物线的定义 ：到定点
F(,0)
和到定直线：
x??
p
2
p
的 距离相等的点
P
的轨迹为为双曲线
2
71、直线的纵斜截式方程：
y?kx?b
；直线过
y
轴上点为
B(0,b)
且不竖直于
x
轴
72、直线的横斜截式方程：
x?my?a
；直线过
x
轴上点为
A(a,0)
且不平行于
x
轴
73、直线平行：
l
1
l
2
?k
1
?k
2
(b
1
?b
2
)
；或
A
1
B
2
?A2
B
1
?0

74、直线垂直：
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
；或
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0

75、 点点距公式：
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y2
?y
1
)
2

76、点线距公式：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

77、 线线距公式：
d?
C
1
?C
2
A?B
22

b
2
x
0
78、点差法的斜率公式：
k
椭
??
2
,
ay
0
b
2
x
0
k双
?
2
,
ay
0
k
抛
?
p< br>
y
0
79、通用弦长公式：
l?1?k
2
(x1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
,
l?(1?
80、圆的弦长公式：
l?2r
2
?d
2
81、焦半径公式（带坐标）：
1
2
??
)[y?y?4 y
1
y
2
]

12
k
2
p
(1)椭圆中：
MF?a?ex
0
,
；(2)双曲线：
MF?ex
0
?a,
(3)抛物线：
MF?x
0
?

2
82、焦半径公式（倾斜角）：
b
2
b
2
p< br>(1)椭圆中：
a(1?ecos
?
)
；(2)双曲线：
a( 1?ecos
?
)
；(3)抛物线：
1?cos
?
83、焦点弦公式（倾斜角）：
2b
2
2b
2
2p
(1)椭圆中：
a(1?e
2
cos
2?
)
；(2)双曲线：
a(1?e
2
cos
2
?
)
；(3)抛物线：
2

sin
?
2k
2
?22p
p?
80、抛物线的焦点弦长：
l?x
1
?x< br>2
?p?

k
2
sin
?
81、椭圆的焦点 三角形面积：
S
F
1
PF
2
?b
2
tan
?
2

82、双曲线焦点三角形面积：
S
F
1
PF
2
?b
2
cot
?
2

83、双曲线的焦渐距为：
b
(虚半轴)
cb
2
84、椭 圆的离心率公式：
e??1?
2
aa

cb
2
85 、双曲线的离心率公式：
e??1?
2
?1?k
渐
2
aa
86、圆锥曲线的离心率公式：
ecos
?
?
?
? 1

?
?1
2b
2
87、椭圆、双曲线通径公式：
PQ?

a
88、抛物线的通径公式：
PQ?2p

89、抛物线焦点弦圆：以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切；
90、抛物线焦点弦性质：
112
??,
AFBFp

p< br>2
k
2
?22p
2
,x
1
?x
2< br>?p,yy??p,y?y?
91、抛物线焦点直线的韦达定理：
x
1
x
2
?

1212
4k
2
k
92、解析几 何中的向量问题：
OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
,
OA?OB?(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)
93、向量与夹角问题：(1)
?AOB
钝角
?OA?OB?0
;
(2)
?AOB
锐角
?OA?OB?0
;
(3)
?AOB
直角（
OA?OB
）
?OA?OB?0

94、向量与圆的问题：
P
与以
AB
为直径的圆的位置关系： (1)
P
在圆内：
?APB
钝角
?PA?PB?0
;
(2)
P
在圆上：
?APB
直角
?PA?PB?0
;
(3)
P
在圆外：
?APB
锐角
?PA?PB?0;
95、坐标轴平分角问题：
k
1
??k
2
?k1
?k
2
?0

第8章 概率统计

96、频方图的频率 =小矩形面积：
f
i
?S
i
?y
i
?d?
n
i
；频率=频数总数
N
97、频方图的频率之和：
f
1
?f
2
?????f
n
?1
；同时
S
1
?S
2
?????S
n
?1
；
98、频方图的众数：最高小矩形底边的中点。
x?x
中1
S
1< br>?x
中2
S
2
?x
中3
S
3
??? ??x
中n
S
n
99、频方图的平均数：
x?x
中1
f
1
?x
中2
f
2
?x
中3
f
3
?????x
中n
f
n

100、频方图的中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时
x
的值。
101、频方图的方差：
s
2
?(x
中1
?x)
2
f
1
?(x
中2
?x)
2
f
2
? ????(x
中n
?x)
2
f
n

102、古典概 型公式：
P(A)?
103、几何概型公式：
P(A)?
n
A

n
?
l
A
S
A
V
A
??

l
?
S
?
V
?
104、常见的排列问题：任职问题 、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题
105、排列公式：
A
n
m?n(n?1)???(n?m?1)

106、常见的组合问题：产品抽查问题、一次性抽取问题
107、组合公式：
C< br>n
m
?
n(n?1)???(n?m?1)

m(m?1)? ??3?2?1
108、均值公式：
E(X)?x
1
p
1
? x
2
p
2
?????x
n
p
n

109、方差公式：
D(X)?[x
1
?E(x)]
2
p
1
?[x
2
?E(x)]
2
p
2
?????[xn
?E(x)]
2
p
n

110、互斥事件概率公式：
P(A?B)?P(A)?P(B)
111、对立事件概率公式：
P(A)?1?P( A)

112、独立事件概率公式：
P(AB)?P(A)P(B)

113、独立事件至少有一个发生概率公式：
P(A?B)?1?P(AB)

kn?k
C
M
C
N?M
114、超几何分布的概率公式：
P(x?k)?

n
C
N
kk
p(1?p)
n?k
115、二项分布的概率公式：
P(x?k)?C
n

116、二项分布的均 值：
E(X)?np
；方差：
D(X)?np(1?p)
。

第9章 极参方程

y
?
22
?
?x?y,tan
?
?
?
117、极坐标方程与直角方程互换：
?
x

?
?
?
cos
?
?x,
?
sin
?
?y
118、过原点且倾斜角
?
的直线 极坐标方程：
?
?
?
(
?
?R)

119 、过原点且倾斜角
?
的射线极坐标方程：
?
?
?
或
?
?
?
(
?
?0)

120、极坐标方程为
?
?
?
(
?
?R)
的直线上两点的距离公式：
A B?
?
1
?
?
2
?(
?
1
??
2
)
2
?4
?
1
?
2
< br>121、圆的参数方程：
?
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
（
?
为参数）；
122、直线的参数方程：< br>?
?
x?a?tcos
?
y?b?tsin
?
（t
为参数）
?
123、椭圆的参数方程：
?
?
x?a cos
?
?
y?bsin
?
（
?
为参数）
124、直线参数
t
的意义1:
PA?t
1
,PB?t
2

125、直线参数
t
的意义2:
PAPB?t
1
t
2

126、直线参数
t
的意义3:
AB?t
2
1
? t
2
?(t
1
?t
2
)?4t
1
t
2

127、直线参数
t
的意义4:
PA?PB?t
?< br>?
t
1
?t
2
t
1
、t
2
同号

1
?t
2
?
?
?
?
t1
?t
2
t

1
、t
2
异号