高一数学倍角公式

§3.2.1倍角公式

(一)教学目标：
1.知识目标：
(1)掌握
S
2
?
,
C
2
?
,
T
2
?
公式的推导，明确
?
的取值范围；
(2) 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。
2.能力目标：
(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力；
(2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：
引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.

(二)教学重点、难点
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。
难点：理解 二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学
过的同角三角函数的基本关系 式、诱导公式、和角公式的综合应用。

(三)教学方法
本节课采用观察、赋值、 启发探究相结合的教学方法，进行教学活动。通过设置问题让
学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化 归为特殊而来的。对于二倍角公式的灵活运用，
采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解 ,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

(四)教学过程
教学
环节
复
习
引
入
教学内容
复习两角和
与差的三角
函数公式。
师生互动
师：我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正
切公式，请同学们回答这组公式。
生：
设计意图
以旧引新，让学生
明确学习的内容
cos(?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tg(
?
?
?
)?
tg
?
?tg
?
1tg
?
tg
?
师：今天，我们继续学习二倍角的正弦、余
弦、正切公式。
教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图

公式
的推
导


























公式
的深
化理
解



教学
环节
探索
sin2
?
，
cos2
?
，
tan2
?
的表达
式


























1.二倍角的
公式的适用
范围








教学内容


师：在公式
S
(
?
?
?
)
,C
(
?
?
?
)
,T
(
?
?
?
)
中对
?
,
?
如何
合理赋值，才能出现
sin2
?
,cos2
?
,tan2
?
的表达
式，并请同学 们把对应的等式写在黑板上。
生 ：在
S
(
?
?
?
)
,C
(
?
?
?
)
,T
(
?< br>?
?
)
中，令
?
?
?
，就可
以求出
sin2
?
,cos2
?
,tan2
?
的表达式， 对应的表
达式为：
sin2?=sin（?+?）= sin?cos?+cos?sin?
= 2sin?cos?；
cos2?=cos（?+?）= cos?cos?+sin?sin?
= cos?－sin?；

22
tan2??tan(???)?
.即：
tan??tan?2tan ?
?
1?tan?tan?
1?tan
2
?
sin2?=2 sin?cos?
22
cos2?= cos?-sin?
tan2??
2tan?
1?tan
2
?
。
教师提出问题：
sin2
?
2sin
?
cos
?
?
，如何
cos2
?
cos
2
?
?sin
2
?
用
tan
?
表示
tan2
?
？
若利用
tan2
?
?
学生回答，得出二倍角的正切公式。 1.引导学生运用
已学过的两角和
的三角函数公式
推导得二倍角公
式，使 学生理解
二倍角公式就是
两角和的三角函
数公式的特例，
这样有助于公式的记忆。












2.问题的提出可
以让学生了解公
式的不同推导方
法，有
助于学生发散思
维的培养。
师：请同学们思考二倍角公式中的?有限制条件
掌握二倍角正
弦、余弦、正切
吗？
生：公式
S
2
?
,C
中，角?可以是任意角，但公
公式的适用范
2
?
围，加深对公式
2
式
T
2?
只有当
1?tan
?
?0,tan
?
和
ta n2
?
有意
的认识和理解。
义，即
tan
?
?? 1
，
tan
?
和
tan2
?
有意义的时候


才成立。





师生互动
设计意图
即

2.二倍角余
弦公式的不
同表达形式。



4
?
1
?

?
?k
?
? ,
?
?k
?
?(k?Z)


224

1
??
即
?
?k
?
? ,且
?
?k
?
?(k?Z)
时才成

242
正确的理解单角
立，否则不成立.
与二倍角的关
师：注意公式中的 ? 与2? 是单角与二倍角关系.
系，从而能灵活
??
?
例如2? 与4? ，
与?
，
与
等都满足这种
的运用二倍角公
63
2
式解题。
关系.

例如:


?
?k
?
?
?
,
sin
?
? 2sin
?
2
cos
?
2
,sin3
?
? 2sin
22
3
?
3
?
cos
.
22
师：对于cos2?= cos?-sin?，还有没有其他的
形式？
2 2
生：有利用公式sin?+ cos?=1变形可得：
sin?= 1－cos? ， cos?= 1－sin?
这样，cos2? = cos?－sin?=cos?－（1－
cos?）=2cos?－1
cos2? = cos?－sin?=（1－sin? ）－sin? =1
－2sin?
因此，cos2?还可以变形为下述表达形式：
2
cos2? = 2cos?-1

cos2? =1-2sin
2
?
5?
例1是二倍角 公
,??(,?)
，求sin2?，例1.已知
sin??
式的应用求值问< br>132
2
2222
22
222
2222

公式
的应
用





教学
环节
例1．










教学内容
cos2?，tan2?的值
教师分析题意，学生思考并解答。
解：∵
sin??
5?
,??(,?)

132
12
2
∴
cos???1?sin???

13
120
∴sin2? = 2sin?cos? =
?

169

师生互动
题，同时复习了
同角三角函数的
基 本关系式及三
角函数在各个象
限的符号问题。


设计意图

119
巩固练习一：
2
cos2? =
1?2sin??

练习A 2，3。
169
120

tan2? =
?


119
例2

巩固练习二：
练习A 1

例3










巩固练习三：
练习A 4；习
题3-2 A
3(1),(2),
(3).
教学教学内容
环节
归纳从知识、方法
小结 两个方面来
对本节课的
内容进行归
纳总结。
例2.不查表．求下列各式的值 例2让学生学会
?
利用二倍角公式
2
?
??
?sin
2
；(1)
sin15cos15
； (2)
cos
的逆用解决有关
88
问题.
2tan22.5
?
2
?

(3)； (4)
1?2sin75
．
2
?
1?tan22.5

教师分析题意，学生学会公式的逆用解决有关问


题.

1
?
??
1
解: (1)
sin15cos15
=
sin30?
；

24

?
?
2
2
?

?sin
2
＝
cos?
(2)
cos
；
88
42


?
2tan22.5
?

tan45?1
； (3)＝
2
?
1?tan22.5


3
2
?
?
(4)
1?2sin75
＝
cos150??
．

2

例3.证明恒等式


例3是一个三角< br>sin2
?
?sin
?
恒等式的证明问
?tan
?< br>.

2
2cos2
?
?2sin
?
?cos
?
题，让学生学会
师：证明恒等式有哪些途径？
用二倍角公式的
生 ：一是由左边证到右边或者从右边证到左边；二
各种形式进行证
明。
是从繁到简；三是左右归一。
证明：左边=
2sin
?
cos?
?sin
?

2(cos
2
?
?sin2
?
)?2sin
2
?
?cos
?
=
sin
?
(2cos
?
?1)
?tan
?

cos
?
(2cos
?
?1)
设计意图
=右边。
师生互动
引导学生总结回顾，采用提问的方式进行。
1. 二倍角公式及其推导；
2. 二倍角公式的适用范围；
3. 二倍角公式的变形形式；
4. 二倍角公式的应用。
让学生系统地总
结回顾本节课所
学的内容，有助
于学生形成清晰
的知识网络。

布置层次一： 作业分两个层次，第一个层次要求所有学生都要完
作业 练习B 1,2 成，第二层次要求学有余力的同学完成。
习题3-2 B 1.
层次二：
练习B 1,2,3
习题3-2 B
1,3(1)(2)
(3).














通过分层作业使
学生进一步巩固
本节课所学内
容，并为有余力
的同学的发展提
供更加广阔的空
间。