高中数学公式以及推论证明汇总

高中数学公式以及推论证明汇总
抛物线：y = ax *+ bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)* + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为
(p2,0) 准线方程为x=-p2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程
y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
圆：体积=43(pi)(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐
标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径
的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长( a)与短半轴长
(b)的差，高中数学证明公式。
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长
半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，
但这两个公式都是通过椭圆周率T推 导演变而来。常数为体，
公式为用。
椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径
*PAI*高
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)(cotB-cotA)
tan2A=2tanA(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

s inα+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π
*3n)+……+si n=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n)+cos(α+2π
*3n)+……+cos=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
sinα=2tan(α2)
cosα=
tanα=2tan(α2)
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√
((1-cosA)((1+cosA))
cot(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) cot(A2)=-√
((1+cosA)((1-cosA))
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB

tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB
-cotA+cotBsin(A+B)sinAsinB
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
…1^2+2^2+3^2+4^ 2+5^2+6^2+7^2+8^2+
+n^2=n(n+1)(2n+1)6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表
示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的
夹角
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤
b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-√
(b2-4ac)2a
根与系数的关系 x1+x2=-ba x1*x2=ca 注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根
b2-4ac 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)
是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积
S=12(c+c')h'
圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积
S=12*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公
式 s=12*l*r
锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式
V=13*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧
棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
图形周长 面积 体积公式
长方形的周长=(长+宽)×2

正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
三角形的面积
已知三角形底a，高h，则S=ah2
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= √ (海伦-公
式)(p=(a+b+c)2)
和：(a+b+c)*(a+b-c)*14
已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC2
设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r2
设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r
则三角形面积=abc4r
已知三角形三边a、b、c,则S= √{14} (“三斜求积”
南宋秦九韶)
| a b 1 |
S△=12 * | c d 1 |
| e f 1 |
【| a b 1 |
| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐
标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC
| e f 1 |

选区取最好按逆时 针顺序从右上角开始取，因为这样取
得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得
到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角
形面积的大小!】
秦九韶三角形中线面积公式:
S=√3
其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
直径=半径×2 半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径=
圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
(长×宽+长×高+宽×高)×2
长方体的体积 =长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3

长方体(正方体、圆柱体)
的体积=底面积×高
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C=4a
S=a2
长方形 a和b-边长 C=2(a+b)
S=ab
三角形 a,b,c-三边长
h-a边上的高
s-周长的一半
A,B,C-内角
其中s=(a+b+c)2 S=ah2
=ab2?sinC
=12
=a2sinBsinC(2sinA)
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段

最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这
条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互
相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻
的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的
两个三角形全等

23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的
两个三角形全等
24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两
个三角形全等
25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全
等
26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相
等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离
相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角
的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相
等 (即等边对等角)
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直
于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上
的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都
等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角

相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于