高中数学 各个章节数学公式

高中阶段数学公式
第一章 集合 本章小结
概 念
集合是有限个或无限个事物的总体，这些事物或者被直接选定，或
者以某种特定的属性予以界定，构成集 合的每一个具体事物叫做该
集合的元素。
1. 确定性：属性必须明确地确定集合中的元素。
基

础

知

识
构成集合的
基本原则
2. 互异性：集合中的元素必须互不相同。
3. 无序性：集合中的元素的书写次序可以任意。
记号?, ?
?：表示元素属于集合
?：表示元素不属于集合
1. 列举法：集合标识符={以逗号隔开的全部元素}
集合表示法
2. 描述法：集合标识符={元素属性描述}
3. 维恩图：在一个封闭的平面几何图形内，写出用逗号隔开的集
合内元素，或写出集合的标识符
分类
有限集：有限个元素构成的集合。
无限集：无限个元素构成的集合。
N：自然数集。N ={0和所有正整数}
(N
+
：正整数集。N
+
={1、2、3、4……} )
基本数集
数


集
一般数集
Z：整数集。Z ={……-3、-2、-1、0、1、2、3……}
Q：有理数集。Q ={整数和分数}
R：实数集。
(R
+
：非零实数集。(R
+
={x | x?R,x≠0} )
描述法表示：一般数集常常是某个基本数集的一部分。
区间表示：[a，b] = {x | a≤x≤b}，（a，b）= {x | a（a， b] = {x | a[a，+∞）= {x | a≤x}，（a，+∞）= {x | a（-∞，b] = {x | x≤b}，（-∞，b）= {x | x关
系
子集与真子集
补集
运
算


子集： A?B
?
x?A则x?B
真子集：A?B
?
A?B且存在x?B而x?A
C
U
A
={x | x?U且x?A }

记号?和交集 A?B={x | x?A且x?B }
记号?和并集 A?B={x | x?A或x?B }

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高中阶段数学公式
第二章 不等式 本章小结

基本不等式：a<（≤）b
?
a±c<（≤）b±c；
a<（≤）b
?
a·c <（≤）b ·c（c>0）；
a<（≤）b
?
a·c >（≥）b ·c（c<0）；
a>（≥）b ，b>（≥）c
?
a >（≥）c；
a<（≤）b
?
a-b <（≤）0；
a>（≥）b
?
a-b >（≥）0；
一元二次不等式：
a>0（若a<0，先化为a>0）
22
ax+bx+c>（≥，<，≤）0，△=b-4ac

△
解集
不等式
ax+bx+c>0
ax+bx+c≥0
ax+bx+c<0
2
2
2
2
△> 0
有相异实根
x
1
< x
2

△= 0
有相等实根
x
1
= x
△> 0
无实根
R
R
（-∞，x
1
）∪（x
2
，+∞） （-∞，x
1
）∪（x
1
，+∞）
（-∞，x
1
] ∩ [ x
2
，+∞ ）
（x
1
，x
2
）
R
?

{ x
1
}
?

ax+bx+c≤0
基本不等式：
ab?
[x
1
，x
2
]
?

a?b
（a>0，b>0）
2
平面区域划分：在平面 直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某
一侧所有点组成的平 面区域，只需要在直线Ax+By+C=0的同一侧取某个特征点（x
0
，y
0
）作
为测试点，由Ax
0
+By
0
+C=0的符号就可以断定Ax +By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的
平面区域。
提高部分：
分式不等式：
?
ax?b?(?)0
?
ax?b?(?)0
ax?b
>（≥）0
?

?
或
?

cx?d
?
cx?d?0
?
cx?d?0?
ax?b?(?)0
?
ax?b?(?)0
ax?b
<（≤） 0
?

?
或
?

cx?dcx?d?0cx?d?0
??
解集中一元一次不等式组解集的并集，或化为求一元二次不 等式解集问题。

绝对值不等式：
| ax+b |>（≥，<，≤）k ，用“小于在中间，大于在两边”的规律去掉绝对值号，或
为解两个“且”、“或”联结的一元一次不等 式，或求出ax+b=±k的根（x
1
2
）直接用“小
于在中间，大于在两边”的规律求解。
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高中阶段数学公式
第三章 函数 本章小结
如果对于数集
D
中任一数
x
，通过对应法则
f< br>，在数集
M
有唯一一个数
y
与之对应；对于M中任何数
y，在
D
中存在
x
，使
x
的对应值是
y
，那么
称在
D
上定义了函数
f
记作

y
=
f(x)
,
x
?
D

称D
为函数
f
的定义域，
x
为自变量，
y
为因变 量，
M
为值域；对
D
中某
个
x
，称对应值
f(x)
为这个自变量所对应的函数值．
定义
特例(一一 如果
y
是
x
的函数，并且对于值域
M
中任一
y
，在定义域
D
中存在唯一
对应函数) 的
x
使
y
=
f
(
x
)，通常称这样的函数为一一对应函数．
列表 以表格形式表示自变量与因变量之间的对应关系
表
示
法
图象
以图象形式，从
x
轴上自变量点?图象上点?
y
轴上因变量点，表示自变< br>量与因变量之间的对应关系
一般
解析
分段
以
y
=
f(x)
,
x
?
D
, 表 示对应关系，其中
f
(
x
)为一个
x
的式子或
常数
以
y
=
f(x)
,
x
?
D
, 表 示对应关系，其中
f
(
x
)在
x
不同变化区间，
表 示为不同的
x
的式子或常数
列表 表列自变量值的集合
定
义
域
图象 图象在
x
轴上投影的范围
限定
实际问题所限定或人为限定的自变量变化范围
定义域
自然
使表示函数对应关系的数学式子有意义的自变量的集合
定义域
解析
列表 表列因变量值的集合
图象 图象在
y
轴上投影的范围
值
域
自变量遍取定义域中所有值，函数表达式对应值的全体．求值域一般方
法：
1. 绘制函数简图，从图象看出值域；
解析
2. 判定函数值是否会无限减小或增大．若此，则值域区间的左端为-?，
右端为+?；
3. 求出函数最小、最大值，以确定值域区间的左右端点．
1. 函数的概念及其表示法：
2. 函数的基本性质：
单调增加 随着自变量
x
的增加，函数值增加
单调减小 随着自变量
x
的增减，函数值减小
增减性
单调：单调增加和单调减小的统称．
[
a
,
b
]?
D
，若函数在[
a
,
b
]上是单调的，则称[
a
,
b
]为
f
(
x
)的一个
单调区间
单调 区间．在单调区间内，函数图象沿
x
轴的正向是上升的(若
单调增加)或是下降的(若 单调减小)
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高中阶段数学公式

轴对称
一般讨论
存在一条直线(对称轴)，沿直线对折后，在此直线两
边的函数图象重合．
存在一个叫做对称中心的点
C
，函数图象上任一点
P
中心对称 与对 称中心连线的反向延长线上，与|
PC
|等长的点
P
1
也在图象上．
函数
y
=
f
(
x
),
x
?
D
若以
y
轴为对称轴，则叫做偶函数．
偶函数的数学特征：
1. 定义域
D
关于原点对称，即
x
?
D
? -
x
?
D
；
2.
f
(
x
)=
f
(-
x
),
x
?
D
．
函数
y
=
f
(
x
),
x
?
D
若以原点为对称中心，则叫做奇函
数．
奇函数的数学特征：
1. 定义域
D
关于原点对称，即
x
?
D
? -
x
?
D
；
2.
f
(
x
)=-
f
(-
x
),
x
?
D
．
对称性
偶函数
特殊情况
奇函数
每一个因变量的值，在相隔固定的自变量区段后会重复出现，则
周期现象 这 个因变量的变化有随着自变量变化的周期现象．从图象上看，
整个图象是由基本曲线或直线段重复拼接而 成．
反映周期现象的函数是周期函数．
周期函数 周期函数的数学描述：
及周期 函数
y
=
f
(
x
)的定义域
D
=(-?, +?)；存在常数(周期)
T
>0，使
f
(
x
+
T
)=
f
(
x
),
x
?
D
．使上式成立
T
的最小值叫做最小正周期．
周期函数
的图象特
征
由某一基本曲线段或直线段重复拼接而成．
基本曲线段或直线段所占的自变量的区间的长度就是最小正周
期．
.
3. 分段函数
若在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，以含有
x
的不 同的式子或常数来
表示对应法则，则称这种函数为分段函数．
分段函数的图象特征：由各段函数表达式所确定的图象连接、组合而成．
4．函数简单应用
应用问题有两类：
(1)数量关系有常规的公式．例如，在商品销售中，销售总金额、单价和销售量有 如下
的关系：销售总金额＝单价×销售量；在路程问题中，路程、速度和时间有如下的关系：
路 程＝速度×时间等等．
(2)数量关系没有常规的公式．例如，各种球类比赛的记分规则等． 对于这类问题，我
们必须首先弄清问题的意思，分析问题中牵涉到哪些数量，弄清这些数量之间的关系．
提高部分
1. 求函数表达式比较复杂的函数的定义域：据函数表达式，求出各部分式子的定 义域，再
用集合交或并得出整个函数的定义域．
2. 函数增减性的数学检验
函数 在[
a
,
b
]单调增加(减小)?任意
x
1
,x
2
?[
a
,
b
],
x
1
<
x
2
, 都有
f
(
x< br>1
)<
f
(
x
2
)
(
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
))．检验和证明函 数单调性的步骤：书写“任取
x
1
,
x
2
?[
a< br>,
b
]，满足
x
1
<
x
2
”?写< br>出
f
(
x
1
),
f
(
x
2
)的具体表达式?判断
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)的符号，得出结论．
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高中阶段数学公式
第四章 指、幂、对函数 章节小结
初中函数复习
1.一次函数的定义域、值域、图象及其性质
（1）一次函数
y= kx
+
b
（
k
≠0）的定义 域为（-∞,+∞），值域为（-∞,+∞）；它的图
象是经过点（0,
b
）和（1,
k
+
b
）的一条直线．
（2）当
k
＞0时，
y
随
x
的增大而增大，它是在（-∞,+∞）上的单调增函数；
当
k
＜0时，
y
随
x
的增大而减小，它是在（-∞,+∞）上的单调减函数．
（3）当
b＝
0时，一次函数
y= kx
+
b
（
k
≠0）成为正比例函数
y= kx
（
k
≠0），它是奇
函数．
2. 反比例函数的定义域、值域、图象及其性质
（1）反比例函数
y
= （
k< br>≠0）的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），值域为（-∞,0）∪
（0,+∞）；它是奇函 数，不是偶函数；它的图象关于原点中心对称；
（2）当
k
＞0时，在第一和第三 象限内
y
分别随
x
的增大而减小，即在第一和第三象
限内分别为单调 减函数；
当
k
＜0时，在第二和第四象限内
y
分别随
x< br>的增大而增大，即在第二和第四象限内分
别为单调增函数．
2. 二次函数的图象、定义域、值域及其性质
（1）二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的定义域是（-∞,+ ∞）；当
a
＞0时，值域为[
k
,+∞），当
2
a
＜0时，值域为（-∞,
k
〕；二次函数
y
=
a
(x
-
h
)+
k
的图象关于直线
x
=
h
对称．当
h
=0
2
时，二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)+
k
是偶函数，它们的图象关于
y轴对称．
（2）当
a
＞0时，二次函数
y
=
a(
x
-
h
)
2
+
k
在（-∞,
h
〕内
y
随
x
的增大而减小，在〔
h
,+< br>∞）内
y
随
x
的增大而增大，当
x
=
h时
y
取最小值
k
；
2
当
a
＜0时，二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)+
k
在（-∞,
h
〕内
y
随
x
的增大而增大，在〔
h
,+
∞）内
y
随
x
的增大而减小，当
x
=
h
时
y
取最大值
k
．
3. 方程的根的几何解释
一般地，方程
f
(
x
)＝0的解，就是函数
y
=
f
(
x
)的图象与
x
轴的交点的横坐标；函数
y
=
f
(
x
)的图象与
x
轴的交点的横坐标,，就是方程f
(
x
)＝0的解．
幂函数
1．幂函数的概念
（1）幂函数的定义：形如
y
=
x
?
的函数称为幂 函数，其中
x
是自变量，指数
?
（
?
≠0）
是常量 ．
（1）幂函数
y
=
x
?
的定义域和值域：
当
?
＞0时，
（1）如果
?
的分母为奇数（整数的分母作 为1，是奇数），则定义域为R；这时如果
?
的分子为奇数，则值域为R，如果
?的分子为偶数，则值域为[0,+?)；
（2）如果
?
的分母为偶数，则定义域为[0,+?)；值域为[0,+?)．
当
?
＜0时，
（1）如果
?
的分母为奇数（整数的分母作 为1，是奇数），则定义域为(-?,0)?(0,+?)．这
时如果
?
的分子为奇数 ，则值域也为(-?,0)?(0,+?)；如果
?
的分子为偶数，则值域为
（0,+ ?)；
（2）如果
?
的分母为偶数，则定义域为（0,+?)；值域为（0,+?)．
幂函数
y
=
a
的定义域和值域可归结为成下表：
第 5 页

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p
q
k
x

高中阶段数学公式

q

奇数
p

偶数
奇数
奇数
偶数
a
允许取值
范围
(-?,+?)
a
p
值
[0,+?)
(-?,+?)
[0,+?)
[0,+?)
(-?,0)?(0,
+?)
(0,+?)
q
a
p
值的范围
[0,+?)

p
＞0
q
偶数
(-?,+?)
[0,+?)
[0,+?)

[0,+?)
奇数
p
＜0
q
偶数
奇数
奇数
(-?,0)?(0,+
?)
(-?,0)?(0,+
?)
(0,+?) (0,+?)
2．幂函数的图象及其性质
（1）掌握几个特殊的幂函数的图象：
1）0＜
?
＜1：
y
=
x
、
y
=
x
；
1
2
1
3
2）1＜
?
：
y
=
x
、
y
=
x
；
-1-2-13
3）
?
＜0：
y
=
x
、
y
=
x
、
y
=
x
．
（2）一般幂函数
y
=
x
?
的图象及其性质：
1）图象过定点 (1,1)，在第一象限内总有它的图象；
2）函数的定义域、值域和奇偶性，由指数
?
的分子、分母的奇偶性决定；
3）当
?
＞0时，函数值
y
随着
x
的增大而增大，即它的图 象在第一象限单调增大；当
?
＜0时，函数值
y
随着
x
的增 大而减小，即它的图象在第一象限单调减小．
（3）一般幂函数在第一象限的图象如下：



?
<0

?
>1
y
1<
?
<0

y
y



1
1
1

x
x
x



O
1
O
1
O

1

(1)
(2)
(3)
提高部分
y
1．幂函数中当指数变化时，其图象变化的
(
?
>1区)

特征
y=x
3
(
?
=3)
（1）幂函数图象的变化
y=x
2
(
?
=2)

y=x
1
(
?
=1)

当
x
＞0 时，幂函数
y
=
x
?
的图象总在第一象
(0<
?< br><1区)


?
限，随着
?
由-?逐渐变大到+?，图象好像在绕
+?
点（0,0）逆时针旋转．（1）当
?
由-?逐渐变大
y?x
(
?< br>=12)

到0时，幂函数
y
=
x
?
的图象 在直线
x
=1右边的
y?
3
x
(
?
=13 )

y=x
0
=1(
?
=0)
部分由接近于
x
轴的正方向逐渐上翘到接近直
1
y?1x
线
y
=1的右方向，幂函数
y
=
x
?
的图象在直线
x
=1

(
?
<0区)

y=1x(
?
=-1
x
左边的部分由接近于直线
x
=1向上的方向逐渐
-?
O

1
y=1x
2
(
?
=-2)

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23
图3-①

高中阶段数学公式
向下压直线
y
=1的左方向；（2）当
?
由0逐渐变大到1时，幂函数
y
=
x
?
的图象在直线
x
=1
右边的部分由直线
y
=1的右方向上翘到直线
y
=
x
的右上方向，幂函数y
=
x
?
的图象在直线
x
=1
左边的部分由直 线
y
=1的左方向逐渐下压到直线
y
=
x
的左下方向；（3 ）当
?
由1继续变大
（趋向+?）时，幂函数
y
=
x
?
的图象在直线
x
=1右边的部分由直线
y
=
x
的右上方向上翘到
直线
x
=1的向上的方向
，
幂函数
y< br>=
x
?
的图象在直线
x
=1左边的部分，再由直线
y
=
x
的左下
方向逐渐下压到直线
x
=1向下的方向．
幂函数图象的作图关键：先作点（1,1）、（2,

2
?
），再结合幂函数图象的特点，画一条
经过这两点的光滑曲线．
（2）不同指数的幂函数值的大小比较
首先把两个特殊的数0,1拿出来，把其它数与 之作比较，把数分成小于0、大于0
小于1、大于1三个组；然后对各组内的数，应用幂函数性质，比较 它们的大小；最后统一
排序得到结果．
指数函数及其图象
1. 指数函数的定义
(1)定义
x
形如
y
=
a
, (
a
>0, 且
a
?1) 的函数称为指数函数．其中
x
是自变量，
a
称为指数函数
的底．
(2)指数函数的定义域和值域
指数函数的定义域为R=(-?,+?)，值域为(0,+?)．
2. 指数函数的图象和性质
（1）掌握以下指数函数的图象
a
>1：
y
=2
x
和
y
=3
x
的图象
1
x
1
x
0＜
a
＜1 ：
y
= ()和
y
=()的图象
23
（2）一般指数函数的图象和性质
x
指数函数
y
=
a
及其图象具有如下一些特性：
1）图象过定点：(0,1)；
2）定义域和值域：定义域为
x
?R，值域为
y
?(0,+?)；
3）对称性：无对称性．指数函数既不是奇函数，也不是偶函数，它的图象既不中心对
称，也不 关于
y
轴轴对称；
4）增减性：①当
a
>1时，随着
x< br>的增加，函数值
y
也增加，即函数在
x
?R上单调增加；
②当 0＜
a
＜1时，随着
x
的增加，函数值减小，即函数在
x
? R上单调减小；
5）图象范围及趋势：图象在第一、二象限内，即图象在
x
轴的上方 ；①当
a
>1时，随
着
x
无限增加
y
无限增加，随 着
x
无限减小
y
为正值而无限接近于0，即图象在
x
轴上方 向
x
轴无限靠近；②当0＜
a
＜1时，随着
x
无限增加y
为正值而无限接近于0，即图象在
x
轴
上方向
x
轴无 限靠近，随着
x
无限减小
y
无限增加．
1
x
6） 指数函数
y
=
a
与指数函数
y
=
()
x< br>的图象关于
y
轴对称．
a


a <0
0< a
y

y


1
O
图
x
1
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共 42 页
x
3．用计算器求指
O
图

高中阶段数学公式
数函数值
4．会利用指数函数的增减性比较幂的大小
5．了解指数函数的应用
（1）有关指数函数的应用题
例如：储蓄问题中，本利和与存入期的函数关系；放射性物质的剩余量与年数的函数
关系等．
（2）求一些方程的近似根

提高部分
指数函数中当底变化时，其图象变化的特征
1
()
x
y
（1）指数函数的图象变化

4
y=4
x
y
1
=
x
()
y=3
x
指数函数的图象变化规律：
y=
3


x
y=2
x
指数函数
y
=
a
(
a
＞0的图象在第一、二象限，
1
x< br>()
x
随着
?
由0逐渐变大趋向+∞，指数函数
y
=
a
的图
y=
2


象好像在绕着点(0,1)逆时 针旋转．随着
?
由0逐
x
(1
渐变大到1，指数 函数
y
=
a
的图象在
y
轴右边部分
的曲线由接近< br>x
轴的正方向逐渐上翘到接近直线
y
=1的右方向，而在
y
轴 左边部分的曲线由接近
y
y=1

轴的正方向逐渐下压接近直线
y
=1的左方向；随
(0
着
?
由1逐渐变大（趋向+∞)，指数函数
y
=
a
的
x
-3 -2 -1
O

1
2
3
图象在
y
轴右边部分的曲线由接近直线
y
=1的右
图5-③
方向逐渐上翘到接近
y
轴的正方向，而在
y
轴左
边部分的曲 线由接近直线
y
=1的左方向逐渐下压到接近
x
轴的负方向．
指数函数图象的作图关键：先作点（0,1）、（1,
a
），结合指数函数图象的特点，再画
一条经过这两点的光滑曲线．

（2）不同底数的指数函数值的大小比较
对数函数
1．对数函数概念的概念
(1)问题的提出
由指数求幂的对应关系如下图： 由幂求指数时的对应关系如下图：

函数值y
函数值y

自变量x
自变量x
x
x
D
?

f
y

M
?

（x到y的对应
（y为幂）
（x为指数）
法则：y=0.5
x
）
图3-17
y
x
-1
f
?

D

?

M

（x到y的对应法
（x

为幂）
则：幂到指数）
（y为指数）

图3-18

（2）对数函数的定义：
y
在底
a
不变的情况下，由
a< br>＝
x
中的幂
x
到指数
y
的对应关系，称为以
a
为底的
x
的对
数函数．我们也往往称
y
是以
a< br>为底的
x
的对数函数．我们用记号
y
=log
a
x< br>表示以
a
为底的
x
的对数函数，即表示由
a
y
＝
x
中的幂
x
求出指数
y
的对应关系．这里的
a
是常数，是底数；
x
是自变量，是幂；
y
是函数值，是指数．
第 8 页

共 42 页

高中阶段数学公式
（3）对数函数的定义域和值域
对数函数
y
=log
a
x
（
a
>0,
a
?1）的定义域
D
为(0, +?)，值域为R．
2．根据指数函数求对数函数值
（1）对数式与指数式的互化；
（2）用对数式化为指数式的方法来求对数函数值．
3．对数函数的图象及性质
（1）掌握几个特殊的对数函数的图形和性质：
a
>1 ：
y
=log
2
x
x
和
y
= log
3
x
；
0＜
a
＜1：
y
=
log
1
x
和
y
=
log
1
x
．
2
3
（2）一般对数函数
y
=log
a
x
的图象及其性质
1）图象过确定的点：(1,0)；
2）定义域和值域：定义域为
x
∈(0,+?)，值域为
y
? R；
3）对称性：无对称性．对数函数既不是奇函数，也不是偶函数，它的图象既不中心对
称，也不 关于
y
轴轴对称；
4）增减性：
①当1＜
a
时，随着< br>x
的增加，函数值也增加；即函数在
x
∈(0,+?)上单调增加；
②当0＜
a
＜1时，随着
x
的增加，函数值减小；即函数在
x
∈(0,+?)上单调减小；
5）图象范围和趋势：图象在第一、四象限内，即图象在
y
轴的右侧；
①当 1＜
a
时，随着
x
的无限增加，
y
无限增加（但增加的速度 很慢），随着
x
的减小无
限接近零时，
y
越来越小，即图象在
y
轴右侧向
y
轴的下方无限靠近；
②当时，随着
x
的 无限增加，
y
无限减小（但减小的速度很慢），随着
x
的减小无限接
近零时，
y
越来越大，即图象在
y
轴右侧向
y
轴的上方无限 靠近．


1＜a
0＜a＜1

y

y



x


x


?

?
O

1

O

1



图

图

另外，我们还可以发现：
（1）对数函数
y
=log
a
x
的图象和对数函数
y
=
log
1
x
的图象关于y
轴对
a
称；（参考图3-26）

1＜
a


y





?
O5

1



图
y=log
a
x

y

0＜
a
＜1

y=
log
1

a
x

x

x

y=
log
1

?
O5

1

y=log
a
x

a
x

图
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共 42 页

高中阶段数学公式


（2）对数函数
y
=log
a
x
与指数函数y
=
a
的图象关于直线
y
=
x
轴对称．（参考 图3-27）

0＜a＜1
1＜a

y

y

x

y=a

y=a
x

y=x



y=x


y=log
a
x





1
?

1

?
?


x
?

?




x

O

1
O

1

y=log
a
x


图

图


提高部分
对数函数中当底变化时，其图象变化的特征
（1）对数函数的图象变化
我们可以看出图象位置的变化规律是这样的：
对数函数
y
=log
a
x
的图象总在第一、四象限，随着
a
由0逐渐变大到1和，由1逐渐变
大（趋向+∞)时，函数
y
=log
ax
的图象好像分别在
x
轴的下方和上方绕着点(0,1)顺时针旋
转．随 着
a
由0逐渐变大到1时，对数
y

函数
y
=lo g
a
x
的图象在直线
x
=1右边部
y=log
2< br>x

(1<
?
区)

2

分的曲线 由接近
x
轴逐渐下压到接近直
y=log
3
x

线
x
=1在
x
轴下方的部分，而在
x
=1左
1

边部分的曲线由接近
y
轴逐渐上翘到接
x

x

?
近直线
x
=1；随着
a
由1逐渐变大（趋
x
O
4

1

2

3

5

向+∞)时，对数函数
y
=log
a
x
的图象在
-1

5

y=log
13
x

直线
x
=1右边部分的曲线由接近直线
x
=1到逐渐下压到接近x
轴的正方向部
-2

(0<
?
<1区)

y=log
12
x

分，而在
x
=1左边部分的曲线由接近直
图3-⑤

线x
=1逐渐上翘到接近
y
轴．它们的图
象好像在绕着点(0,1)顺时针 旋转．
对数函数图象的作图关键：先作点（1,0）、（
a
,1），结合指数函数 图象的特点，再画一
条经过这两点的光滑曲线．
（2）不同底数的对数函数值的大小比较
对数函数值及其运算
1．对数
对数函数
y
=log< br>a
x
当
x
=
b
时的函数值log
a
b
，称为以
a
为底
b
的对数(读作 log
a
底
b
)，
并且称
b
为真数．、
对数函数是由指数函数的逆对应得来的，它们的值――幂与对数之间是可以互相转化
的：

c

a
=
b
? log

a
b
=
c
, (
a
,
b
>0,
a
?1,
c
?R)
幂与对数形式可以互相转换．
2．常用对数和自然对数
①常用对数

共 42 页 第 10 页
x

高中阶段数学公式
y=log
10
x
记为
y
=lg
x
，称为常用对 数函数，其函数值也就随之被称为常用对数．
②自然对数

y
=log
e
x
记为
y
=ln
x
，称为自然对数函数，其函数 值也就随之被称为自然对数．其中
e
=2.7182818285...．
3．两个对数函数值
log
a
a
=1, (
a
>0)；
log
a
1=0, (
a
>0) ．
4．两个对数的基本恒等式
a
log
a
x
?x
, (
x
>0)．
log

a
a
=
x
, (
x
?R)．
5．对数的换底公式和倒数公式
对数的换底公式：log

a
b
=

x
log
c
b
, (
a
,
b
,
c
>0,
a
?1,
c
?1) ．
log
c
a
对数的倒数公式：log

a
b
=
1
, (
a
,
b
>0)
log
b
a
6．对数的运算法则――积、商、幂的对数
(1)积的对数：log

a
(
M
?
N
)=log

a
M
+log

a
N
, (
a
,
M
,
N
>0,
a
?1) ；
(2)商的对数：log

a
M
= log

a
M
-log

a
N
, (
a
,
M
,
N
>0,
a
?1)；
N
(3)幂的对数：log

a

M
=
b
?log

a
M
, (
M
>0,
b
?R)．
7．利用计算器求对数函数的函数值（求对数）
(1)求常用对数(2)求自然对数(3)求一般对数．

提高部分
1．
y
=
f
(
x
)和
y
+b
=
f
(
x
+
a
)的图象曲线的形状是相同的 ，只是位置不同；把
y
=
f
(
x
)的图
象向左平移
a
个单位，再向下平移
b
个单位，就得到
y
+
b< br>=
f
(
x
+
a
)的图象．
注：向左平移< br>a
个单位的含义是：当
a
＞0时，向左平移∣
a
∣个单位；当
a
＜0时，向
向右平移∣
a
∣个单位．向下平移
b
个单位的含义是：当
b
＞0时，向下平移∣
b
∣个单位；
当
b
＜0时，向上平移∣
b
∣个单位．

2．利用定位作图 法，根据
y
=
f
(
x
)的图象得到
y
+< br>b
=
f
(
x
+
a
)的图象的作图步骤；
第一步 把要作出图象的函数表示成
y
+
b
=
f
(
x
+
a
)的形式；
第二步 画出一个直角坐标系，选择定位点 (-
a
,-
b
)；
第三步 以定位点(-
a
,-
b
)为假想原点建立假想直角坐标系；
第四步 在假想坐标系中作出
y
=
f
(
x
)的图象．
该图 象就是
y
+
b
=
f
(
x
+
a)在原直角坐标系中的图象．

b




共 42 页 第 11 页

高中阶段数学公式
第五章 三角函数 本章小结
1. 角的概念
(1)任意角
角
正角
负角
零角
定 义
一射线按逆时针方向，绕顶点旋转所形成的角
一射线按顺时针方向，绕顶点旋转所形成的角
一射线没有作任何旋转时的角
(3)终边相同的角的表示
与角
?
的终边相同的角的全体为{
?
|
?
=
k
?360?+
?
,
k
?Z}
(3)象限角和界限角
顶点在原点、始边与
x
轴正半轴重合，其终边落在某象 限的角，按其终边所落象限不
同，分别称为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角；终边落 在坐标轴上的
角，称为界限角．
2. 度量角的弧度制
弧度
1弧度=长等
于半径的弧
所对的圆心
角
换算公式
180?=
? rad

1?=
?
rad?0.01745rad

180
1
rad
=
180?
?57.3??57?18
?

?
弧长公式
l
=|
?
|
r
，其中
r
为圆半径,
?
为
圆心角的弧度数
3. 任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义、定义域和值域
如图，顶点在直角坐标系原点、始边与
x
轴正半轴重合的角
?
，在其终边上任取一点
P
(
x,
y
)，
OP
=
r
，定义
y
y
正弦函数sin
?
=，定义域为R，值域为[-1,1]；
T
r
B?
x
P
余弦函数cos
?
=，定义域为R，值域为[-1,1]；
r
正
切
正
y
?
线
弦
正切 函数tan
?
=，定义域为{
x
|
x
?R,
x?+
k?
,
k
?Z}，
线
x
2
?

x
值域为R．
O
(余弦线)
M
A
r
=
1
若圆
O
是单位圆，则点
P
坐标：(cos
?
, sin
?
)；
1
sin
?
=
MP
，称有向线段
MP
为正弦线(向上为正)；
cos
?
=
OM
，称有向线段
OM
为余弦线(向右为正)；
tan
?
=
AT
，称有向线段
AT
为正切线(向上为正)．
(2)三角函数的符号
sin
?
cos
?


tan
?


y
y
y

+
x
+
-
+
x
+
x
-

O
O
O

(
)
(
)


- -
-
+ + -

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高中阶段数学公式
(3)同角三角函数关系(恒等式)
sin
?
+cos
?
=1；tan
?
=
22
sin
?
．
cos
?
(4)有关角变换的公式
周期公式：sin(2
k?
+
?
) = sin
?
，cos(2
k?
+
?
) = cos?，tan(
k?
+
?
) = tan
?
，(
k
?Z)；
负角公式：sin(-
?
)=-sin
?
，cos(-
?
) =cos
?
，tan(-
?
)=tan
?
；
诱导公式：sin(
?
-
?
)= sin
?
，cos(?
-
?
)=-cos
?
，tan(
?
-
?
)=-tan
?
；
sin(
22
(5)三角函数的图象(图象见下)
作精确图方法：三角函数线投影法
作简图方法：
正弦、余弦函数：五点(两端、最高、最低、中间)法，
正切函数：三点两(渐近)线法．
y


1
?

-

?

?
?

3
?

2
?

2
O
?

2

2
?

x
2

-1

图例：y=sinx：

y=cosx：

(6)三角函数的基本性质
性质
周期性
奇偶性
sin
x

周期为2
?

奇函数
增加：
[??2k
?
,?2k
?
]

增减
区间
减小：
[
?
?2k
?
,
3
?
?2k
?
]

22
(
k
?Z)
4. 正弦型函数及其图象——正弦型曲线
函数形式：
y
=
A
sin(
?x
+
?
),(
A
,
?
,
?
为常数，
?
?0)；
作图法：五点法 (
?x
+
?
=0,
?
2
?
2
?< br>-
?
)=cos?；cos(
?
-
?
)= sin
?
；
y
O
?

2
x
cos
x

周期为2
?

偶函数
tan
x

周期为
?

奇函数
增加：
[(2k?1)
?
,2k
?
]

??
增加：
(??k
?
,?k
?
)

减小：
[2k
?
,(2k?1)
?
]

22
(
k
?Z) (
k
?Z)
?
,
?
,
3
?
,2
?
)；
2
2
性质：定义域为R，值域为[-
A
,
A
]，周期为
2
?
?
．




共 42 页 第 13 页

高中阶段数学公式
三角函数的运算 本章小结

1. 两角和与差的三角公式和倍角公式
(1)
S
?
?
?

：
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?
；

C
?
?
?

：
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；

C
?
?
?

：
tan
?
?
?
?
?
?
tan< br>?
?tan
?
．
1?tan
?
?tan
?
(2)
S
2
?

：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；

C
2
?

：
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
；
2tan
?

T
2
?

：
tan2
?
?
．
2
1?tan
?
(3)关系：
C
?
-
?
S
?
-
?
T
?
-
?



C
?
+
?
S
?
+
?
T
?
+
?



C
2
?
T
2
?

S
2
?





1. 正弦定理和余弦定理及在解斜三角形中的应用
定理和公式
正弦定理：三角形内角的正弦与对边的对应比相等

a
?
b
?
c
=2
R
sinAsinBsinC
(
R
表示三角形外接圆的半径)
余弦定理：三角形任一内角的对边的平方，等于邻
边平方和减去邻边同这个内角余弦乘积的二倍
a
2
=
b
2
+
c
2
-2
b
?
c
?cos
A
；
b
2
=
a
2
+
c
2
-2
a
?
c
?cos< br>B
；
c
2
=
a
2
+
b
2
-2
a
?
b
?cos
C
．
三角形的面积公式：
解斜三角形类型
已知两角夹一边；
已知两边一对角(可能二解)；
已知两角一对边．
已知三边；
已知两边夹一角．
S
?
ABC
?
111
absi nC?acsinB?bcsinA
．
222




共 42 页 第 14 页

高中阶段数学公式
第六章 数列 本章小结
知识点
一
般
数
列
内 容
数列概念
数列表
示方法
含义或公式
按一定次序排成的一列数叫做数列
列举形式,列表方式,图象方式,
解析方式(通项公式)
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项
所得的差都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差．公差通常
用字母
d
来表示．
一般概念
等

差

数

列
通项公式
前
n
项求
和公式
等差中项
a
n
=
a
1
+(
n
- 1)
d
,
n
=1,2,3, …．

S< br>n
=
na
1
+
n(n?1)
d
或
S
n
=
(a
1
?a
n
)n
．
2
2
a
,b的等差中项
A
=
a?b
2
a
n
＋1
-
a
n
=
d
, (
d
为常数,
n
?N
*
)
判定{
a
n
}是等
*
2
a
n
＋ 1
=
a
n
+
a
n
＋2
, (
n
?N)
差数列方法
a
n
=
kn
+
b
,(
k
,
b
是不为0的常数)
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的
比等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字
母
q
, (
q
?0)表示．
一般概念
等

比

数

列
通项公式
前
n
项求
和公式
等比中项
a
n
=
a
1
q
n
-1
,
n
=1,2,3, …；(
a
1
?0,
q
?0)
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
S
n
=或
S
n
=
1

1?q
1?q
同号数
a
,
b
的等比中项
G
=?
ab

a
n
＋1
=
a
n
q
, (
a
?0,
q
是不为0的常数,
n
?N
*
)
判定{
a
n
}是等
a
n
=
cq
n
, (
c
,
q
均是不为0的常数,
n
?N
*
)
比数列方法
*
2
a
n?1
=
a
n
?
a
n
＋2
, (
a
n
,
a
n
＋1
,
a
n
＋2
?0,
n
?N)
提高部分
+
1．一个数列是一个定义于正自然数集N
的函数．反过来看，一个形如(1)的一个数列，
也可以看作自变量连续变化的某个函数
y
=
f
(
x
)，取定义域
D
上一批离散点
x
1
,
x
2
,
x
3
, …时
所对应的函数值序列；2．递推数列 给出前若干项，后面的项以前面的项递推来得到，把
这种数列就叫递推数列．3．以前n和
S
n
定义数列
a
1
=
S
1
，
a
2
=
S
2
-
S
1
，
a
3
=
S
3
-
S
2
，…，
a
n
=
S
n
-
S
n-1
(n
≥2).

共 42 页 第 15 页

高中阶段数学公式
第七章 平面向量 本章小结
1、平面向量的概念及其基本运算

⑴平面向量的概念
概 念
向量
单位向量
零向量
相等向量
相反向量
平行向量(即共线向量)

⑵向量的运算
运 算 运算法则
加 法 平行四边形与三角形法则
减 法 三角形法则
数 乘
运算律
定 义
既有大小又有方向的量
大小为1的向量
大小为0，方向可任意确定的向量
大小相等，方向相同的向量
大小相等，方向相反的向量
表示两向量的短线段所在直线平行的向量
?a
度为
a
度的|
?
|倍
?
>0,?a
与
a
同方向；
?
<0,
?a
与
a
反方向
a
+
b
=
b
+
a
< br>a
+
b
+
c
=(
a
+
b
) +
c
=
a
+(
b
+
c
)
a
-
b
=-
b
+
a

a
-
b
-
c
=
a
-
c
-
b
=
a
-(
b
+
c
)
(
?
+?
)
a
=
?a
+
?a
，
?
(
a
+
b
)=
?a
+
?b
，

2、向量的直角坐标及其运算

⑴向量的直角坐标的定义：移向量
a
的始点到原点，终点坐标(
x
,
y
)叫做向量
a
的坐标．

x
,
y
轴正方向的单位向量
i
,
j
为基 底，
a
的坐标为(
x
,
y
)，则
a
=xi
+
yj
．

⑵向量直角坐标的运算
运 算
加 减
数量积
运算法则(
a
=(
x
1,
y
1
),
b
=(
x
2
,
y
2
))
a?
b
=(
x
1
?
y
1
,
x< br>2
?
y
2
)
?a
=(
?x
1
,
?x
2
)

⑶平行向量的判定：若
a
∥
b
(
a
?
0< br>)
?
存在为
?
，使
b
=
?a
?

a
=(
x
1
,
y
1
),
b
=(
x
2
,
y
2
),
x1
:
x
2
=
y
1
:
y
2．

3、向量的数量积

⑴两向量的所成角：重合向量a
,
b
始点，表示向量的短线段为边的、在[0,?]之间的角．记
作(
a
^
b
)；





共 42 页 第 16 页

高中阶段数学公式
⑵向量的数量积
定 义
运算律
基本结论
a
?
b
=|
a
||
b
|cos(
a
^
b
)
交换律：
a
?
b
=
b
?
a
； < br>数乘分配率：(?
a
)?
b
=
a
?(?
b< br>)=?(
a
?
b
)，(任意??R)；
分配率：(
a
+
b
)?
c=a
?
c
+
b
?< br>c
．

a
?
b

?

a
?
b
=0；
当
a

b
且同向时 ，
a
?
b
=|
a
||
b
|；当
a

b
且方向相反时，
a
?
b
=-|
a
||
b
|；
a
?
a
=|
a
|
2
，所以|
a
|=
a?a
；cos(
a
^
b
)=
a?b
．
|a|?|b|
a
=(
x
1
,
y
1
),
b
=(
x
2
,
y
2
)，则
a
?
b
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2

a
=(
x
1
,
y
1
),
b=(
x
2
,
y
2
)，则cos(
a
^
b
)=
2
1
坐标表示
向量所成
角计算

x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x ?y
2
1
2
2
2
2

a
?
b

?

x
1
y
1
+
x
2
y
2
=0．















共 42 页 第 17 页

高中阶段数学公式
第八章 解析几何 直线和圆的方程 本章小结
1.直线部分:

知 识 点
确定直线的要素
直线的倾斜角
含义或公式或判定方法
两点或点和直线的倾斜程度
直角坐标系中
x
轴的的正方向绕着交点按逆时针 方向
旋转到与直线重合时所转的最小正角
?

倾斜角
?
(< br>?
?
?
)的正切tan
?.
垂直于
x
轴的直 线斜率
2
不存在
点斜式
斜截式
直
线
一般式
方
程
一般式转化为斜截式
特例
两点间距离
截距式
过点(
x
0
,
y
0
)、斜率为
k
的直线方程：
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
).
斜率为
k
、在
y
轴上截距 为
b
的直线方程：
y
=
kx
+
b.

在
x
轴
y
轴上截距分别为
a b
的直线方程：
直线的斜率
xy
?
=1

ab
Ax
+
By
+
C
=0, (
A
,
B
不全为0)
B
?0时
y
=-
A
x
-
C
. < br>BB
过点(
x
0
,
y
0
)、平行于
y
轴的直线方程：
x
=
x
0

过点(
x
0
,
y
0
)、平行于
x
轴的直线方程：
y
=
y
0

点(
x
0
,
y
0
), (
x
1< br>,
y
1
)间距离为：
d
=
(x
1
? x
0
)
2
?(y
1
?y
0
)
2< br>．
点(
x
0
,
y
0
)到直线
Ax
+
By
+
C
=0的距离公式：
距 点到直线距离

离
平行线间距离
d
=
|Ax
0
?By
0
?C|
．
A
2
?B
2
直线
l
1
:
Ax
+
By
+
C
=0、
l
2
:
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=0平行，则
它们之间距离为：
d
=
|C
2
?C
1
|

A
2
?B
2



2.圆部分：

知 识 点
22
含义或公式或判定方法
2
圆圆心在(
a
,
b
)、半径为
r
(
x
-
a
)+(
y
-
b
)=
r

方
222
圆心在原点、半径为
r

x
+
y
=
r

程
圆
与
直
线
判
定
方
法
几
何
方
法
相切 圆心到直线的距离等于半径,即
d
=
r

相离 圆心到直线的距离大于半径,即
d
>
r

相交 圆心到直线的距离小于半径,即
d
<
r


共 42 页 第 18 页

高中阶段数学公式
关
系
代
数
方
法
相切 直线和圆所组成的方程组有且只有一解.
相离 直线和圆所组成的方程组无解.
相交 直线和圆所组成的方程组有两组解.

过圆< br>x
+
y
=
r
上点(
x
0
,
y
0
)的切线方程：
x
0
x
+
y
0
y
=
r

2222
过圆上一点的切线方
程
两
个
圆
之
间
关
系
内含
d
<|
R
-
r
|
内切
d
=|
R
-
r
|
相交
圆
O< br>1
,
O
2
的半径
R
-
r
<
d
<
R
+
r

外切
为
R
,r,
圆心距
d
=
R
+
r

为
d

相离
d
>
R
+
r


3.提高部分：

知 识 点
平行
含义或公式或判定方法
直
线< br>部
分
两
直
线
的
位
置
关
系< br>A
1
B
1
C
1
??

A
2
B
2
C
2
重合
A
1
B
1
C
1
??

A
2
B
2
C
2

圆
部
分
相交
垂直
圆的一般方程
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0

A
1A
2
?B
1
B
2
?0

x
2
+
y
2
+
Dx
+
Ey
+
F
=0 (
D
,
E
,,
F
的为常数).
将
x
+
y
+
Dx
+
Ey
+
F
=0 配方为
22
一般方程与标准方程
互化

E
2
D
2
?E
2
?4F
D
2
(
x
+)+ (
y
+)=，
4
2
2
E
D
22
当
D
+
E
-4
F
>0时，表示圆心坐标为
C
(-,-)、半
2
2
1
径
r
=
D
2?E
2
?4F
的圆．
2





共 42 页 第 19 页

高中阶段数学公式
第九章 立体几何 本章小结
1.空间图形的画法
三
当射线从物体的前面向后投射 时所得的投影叫做主视图或正视图，从上向下
视
的叫做俯视图，从左向右的叫做左视图，作三种 视图表现空间物体的结构，就叫
图
做三视图。

直
能把物体的立体感表示出来的图形叫做空间图形的直观图。
观
图
2．空间图形

（1）正棱柱、正棱锥和正棱台的基本性质列表如下：
名
称

图

形
1．各侧棱相等；
2．各侧面是全等的等腰
梯形；
3．两底面为相似正多边
形，两底面中心连线垂直
于底面。
正 棱 柱

正 棱 锥

正 棱 台
1．侧棱都等于棱柱的高；
主
2．侧面都是全等的矩形；
要
3．两底面是全等的正多
特
边形，两底面中心的连线
征
垂直于底面．
1．各侧棱相等；
2．侧面是全等的等腰三角
形；
3．顶点与底面中心的连线
垂直于底面．
（2）直棱柱、正棱锥和正棱台的面积公式和一般棱柱、棱锥和棱台的体积公式列在下
表：
名
称
侧
面
积
全
面
积
体
积
注





共 42 页 第 20 页
直 棱 柱 正 棱 锥 正 棱 台
S
侧
=
l
?
p

S
侧
=
1
l
?
p

2
1
S
侧
=
l(p
上
＋p
下
)
2
1
S
全
=
l(p
上
＋p
下
)＋S
上
＋S
下

2
1
h?(S
上
?S
下
?S
上
S
下
)

3
(适用于一般棱台)
S
全
=
l
?
p
+2
S
底

V=
S
底
?
h
(适用于一般棱柱)
S
全
=
1
l
?
p
+
S
底

2
V=
1
S
底
h
3
(适用于一般棱锥)
l
：侧棱长，
p
：底面
l
：斜高，
p
：底面
l
：斜高，
p
：底面周长，
周长,
h
：高． 周长，
h
：高．
h
：高．

高中阶段数学公式
（3）圆柱、圆锥、圆台和球的基本性质列表如下
名
称


圆 柱
底面
母线
高
底半径
圆 锥

顶点
母线
高
底半径
圆 台






上底半径
母线
高
下底半径
直径
球
图

形
底面
半径
1、两个底面是
等圆，且互相平
行；
主
2、轴过两个底

面的圆心并与底
要
面垂直，轴长等

于高；
特
3、母线平行且

都等于圆柱的
征
高。
1、底面以及平行
于底面的平面所截
的面都是圆；
2、轴经过底面的
中心并垂直于底
面，轴长等于高；
3、母线都经过顶
点，且相等；
4、母线与轴所成
的角都相等，与底
面所成的角也都相
等。
1、两底面是圆，
且相互平行；
2、轴过两个底面
的圆心并与底面垂
直，轴长等于高；
3、各母线都相
等，且它们的延长
线交于一点；
4、各母线与底面
所成的角都相等。
1、球的截面是
圆，圆心是球心的
圆叫大圆；
2、球切面（与球
只有一个公共点的
平面）垂直于过切
点的半径；
3、球切线（与球
只有一个公共点的
直线）垂直于过切
点的半径。
（4）圆柱、圆锥、圆台和球的面积公式和体积公式列表如下：
名称 圆 柱 圆 锥

S
侧
?
?
rl

圆 台 球

侧面积

S
侧
?2
?
rh

全面积
S
全
?2
?
r(r?h)

2
体积
V?
?
rh

S
侧
?< br>?
(r
1
?r
2
)l

S
全
?
?
r(r?l)

S
全
? ?［(r
1
?r
2
)l＋r
1
2
?r
2< br>2
］

S?4
?
r
2

注
r
：底圆半径

h
：高
1
V?
?
r
2
h

3
r
：底圆半径

h
：高
l
：母线长
V?
?
h
3
(r
1
2
?r
22
?r
1
r
2
).

V?
4
3
?
r

3
r
1,
r
2
：上、下底圆半径

h
：高
l
：母线长
r
：球半径
3．平面
(以下
A
,
B
,
C
,...表示点，
l
,
l
1
,...表示直线，
?
,
?.
..表示平面。)
基本性质
平


面
A
?
l、
B
?
l
，
A
?
?
、
B?
?
?
l
?
?

A
?
?
、
A
?
?
?
?
?
?
=
l

经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平
面，也只可以作一个平面；
一条直线和直线外一点可以确定一个平面；
两条相交直线可以确定一个平面；
两条平行直线可以确定一个平面．
确定平
面条件



共 42 页 第 21 页

高中阶段数学公式
4． 线、面关 系(以下
l
,
l
1
,
l
2
,...表示直 线，
?
,
?.
..表示平面。)

直
线
之
间
关
系
关系
种类
平行：
l
、
l
1
在同一平面上，且
l
?
l
1
=?； 相交：
l
?
l
1
??；
异面：
l?
l
1
=?且
l
、
l
1
不共面； (
l
、
l
1
共面 ?
l
∥
l
1
或
l
?
l
1
??．)
平行关
l
1
∥
l
，
l
2
∥
l
?
l
1
∥
l
2
；
l
1
?
?
，
l
2
?
?
?
l
1
∥
l
2
；
系判定
l
1
∥
?
，
l
1
?
?
，
l
2
=
?
??

?
l
1
∥
l
2
；

?
∥
?
，
l
1
=
?
??,，
l
2
=< br>?
?? ?
l
∥
l
2
．
垂直关l
2
∥
l
,，
l
1
?
l
?
l
1
?
l
2
；
l
1
?
?
,，
l
2
?
?
?
l
1
?
l
2
；
系判定
l
为< br>l
1
在平面
?
上的正射影，
l
2
?
l
1
?
l
2
?
l
．(三垂线定理)
异面直
l
1
，
l
2
为异面直线，过
l
1< br>上点
A
作
l
∥
l
2
，
l
1
^
l
2
=
l
1
^
l
．
线夹角
直
线
与
平
面
关
系
关系
种类
垂直关
系判定
平行关
系判定
直线平
面夹角
l
?
?
；
l
∥
?
：
l
?
?
=?；
l?
?
：对任意
l
1
?
?
，
l
?
l
1
；
l
与
?
斜交：
l
?< br>?
??且
l
不垂直于
?
．
l
1
?
?
，
l
2
?
?
，
l
1
?
l
2
??，
l
?
l1
且
l
?
l
2
?
l
?
?
；
?
?
?
,，
?
?
?
，
l
=
?
?
?
?
l
?
?
；
?
?
?
,，
l
1
=
?
?
?
;，
l
?
?
且l
?
l
1
?
l
?
?
．
l
1
?
?
,，
l
∥
l
1
?
l
∥
?
；
l
1
?
?
，
l
?
l
1
?
l
∥
?
；
?
∥
?
,，
l
=
?
?
?
?
l
∥
?
．
l
与
?
斜交，
l
1
为
l
在
?
上的正射影，则
l
与?的夹角=
l
^
l
1
．
平
面
之
间
关
系
?
||
?
：
?
?
?
=?；
?
?
?
：
?
与
?
的二面角为90?； < br>一般相交：
?
?
?
??且
?
，
?
不 垂直．
平面平
l
1
?
?
，
l
2
?
?
，
l
1
?
l
2
??，
l1
∥
?
且
l
2
∥
?
?
?
∥
?
；
关系
种类
行判定
??
?
，
l
1
∥
l
1
?
，l
2
∥
l
2
?
?
l
1
?
?
，
l
2
?
?
，
l
1
?
l
2
??，
l
1
?
?
?
，
l
2
?
∥
?
；
l
?
?
，
l
?
?
?
?
∥
?
．
平面垂
l
?
?
，
l
?
?
?
?
?
?
；
直判定
平面
交角
二面角：交于棱
l
的两个半平面
?
,
?
构成的图形，记作
?
-
l
-
?
； 二面角的平面角：过棱
l
上一点、分居于
?
,
?
上且垂 直于
l
的两条半直线形成的角，平面角的大小(在0??180?)即
为两面角的大小 ；
平面交角：相交平面所形成的四个二面角中，不超过90?
的那个平面角．





共 42 页 第 22 页

高中阶段数学公式
第十章 概率统计 本章小结

内容
事
件


项目
基本概念
概念和公式
随机现象:在相同条件下做试验,可能发生、也可能不发生的现象
随机事件:对随机现象做试验的每一种可能结果.
随机事件简称事件,以大写字符A,B,C等表示
必然事件:在相同条件下做试验,必然发生的事件,记作
?

不可能事件:在相同条件下做试验,,不可能发生的事件,记作
?

A,B互 逆
?
A发生则B不发生,A不发生则B发生.A的逆事件记作
A

A,B互斥
?
A,B不可能同时发生
C是A,B的并
?
当且仅当A或B发生时,C发生,记作C=
A?B

C是A,B的交
?
当且仅当A、B同时发生时,C发生,记作C=
A?B或
C=AB
在相同条件下做n次试验,随机事件A发生的次数
?
,叫做A的频数.
特例
互
随分 逆
机类
互
事
斥
件
运并
算
交
频 数
频 率
统计定义
频数
频率










概率
?

n
当试验次 数无限增加，随机事件A的频率逐渐稳定于一个常数
p
，
p
叫做随机事件发生 的概率.
p
表示一次试验中A发生的可能性大小
若随机事件组
?
A
1
,A
2
,LA
n
,L
?
满足：（i）每 次试验必定出现其
中之一，且只可能出现其中之一；（ii）
A
i
(
i
=1,2…)之间两两
互斥；（iii）出现每个
A
i
的可能性 相同，则它构成等可能基本
事件组全集
?
，每个
A
i
称为基 本事件.
全集的子集
?
1
内任一基本事件发生，随机事件A发生；反之，< br>随机事件A发生，必定发生
?
1
中的某一或某些事件，则
?
1
为A
的构成集，即随机事件A的构成集=使A发生的基本事件集.
等可能基
本事件组

古
典
概
型
随机事件
构成集

古典概型
若基本事件全集的事件个数是有限数 ，考虑此类试验中随机事
件A的概率问题，称为古典概型.古典概型的概率计算公式 为
n
P(?)?1,P(?)?0
,
0?P(A)?1
.
运互斥事件
算 的加法公
式
反概率公
式
P(A)?
?
其中n=全集事件数，
?
=A构成集的事件个数.
若A,B互斥，则P(A
?
B)=P(A)+P(B);
推广：若
A?A
1
?A
2
?L?A
k
则
P(A)?P(A
1
?A
2
?L?A
k
)?P(A
1
)?P(A
2
)?L?P(A
k
)
.
P(
A
) = 1 － P(A)

共 42 页 第 23 页

高中阶段数学公式
命题和逻辑本章小结
1．命题
命< br>题
的
概
念
可以
定对
的语
叫做
题．
判
错
句
命
正确的命题
叫做真命题
错误的命题
叫做假命题
只用一句简单的陈述句
表达的命题叫做简单命
题．用逻辑联结词联结
两个简单命题而成，叫
做复合命题．
命
题
的
表
示
命题可用一小写的英文字母
表示；“若p，则q”，有时也
简 记成“p→q”；命题“p→q”
为真时，说成“p推出q”，记
作“p?q”；反之说成“p 推不
出q”，记作“p?q”．

2．推理的几种基本方法
合


情
推
理
演
绎
推
理
数
学
归
纳
法

命
题
的
逻
辑
联
结
“且”联结
用“且”将命题p,q联结
复
(合取)
成为复合命题“p且q”．
合
“或”联结
用“或”将命题p,q联结
命
定题
(析取)
成为复合命题“p或q”．
真
命题q否定了命题p，
假
判
“非”联结
则把q叫做p的非．

当且仅当p,q都是真命题时，“p且q”才为
真； 只要p,q中有一个为假，“p且q”即假．
当且仅当p,q都是假命题时，“p或q”才为
假；只要p,q之一为真，“p或q”必定是真．
若p为真，则非p必为假；若p为假，则非
p必为真．
充
分
条件
、
必
要
条
件
和
充
要
条件

注意，若已知p是q的充分条件，即
设p,q是两个命题，如果“p→q”为 真，即
p?q，那么q同时必定是p的必要条
p?q(或q?p)，就把p叫做q的充分条件；
件；一般在判定命题p和q的关系时，
要求精确地用“充分不必要条件”、“必
如果只 有当q为真时p才可能为真，即q?p
要不充分条件”、“充分必要条件”或“既
(或p?q)，就把q叫做p的必要条件； 不充分也不必要条件”之一加以阐
明．这就是说在判定“p→q”的真假情况
如果p既是q 的充分条件又是q的必要条件，
后，还必须判定“q→p”的真假情况，再
就把p叫做q的充分 必要条件，简称充要条
根据它们的真假情况用上述逻辑术语
件．此时p,q是等价命题，简记作 p?q．
加以陈述．









归
纳
推
理
类
比
推
理
归纳推理(简称归纳)
是从具体事实中概括
出一般结论的一种推
理模式．
如果仅能对部分事实验证结有较强发现功能，但结论不
论，则叫做不完全归纳法． 可信，须进行严格证明．
如果能穷尽全部事实验证结有发现功能，结论可信，但
论，则叫做完全归纳法． 完全归纳过程比较困难

类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若有很强的发现功 能，但类比
干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相过程需要想象力，结论不可
同或 相似之处的一种推理模式． 信，须进行严格证明．

演绎推理是由一般性的命题严格地推出 特殊性命题的一种它主要用于证明给定的命
推理模式．演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出题， 发现功能不强，但是合
结论三段，一般叫做三段论式，可表示为：一个一般原理(大情推理的结论一般要 用演
前提) M是P；一个特殊情况(小前提)S是M；结论S是P． 绎推理加以证明．
1．验证命题p当n=1时为真；
2．设当n=k时p为真；
3．证明当n=k+1时p为真．
结


论
p对一切正自然
数n?N
+
为真
仅适用于证明与自然数 n
有关的命题，是一种没有
逐一验证的完全归纳，结
论可信，但发现功能不强．

共 42 页 第 24 页

高中阶段数学公式
3．证明的几种基本方法
直
接
证
明
间
接
证
明
直接证明是从命题和条件
出发，根据已知的定义、
公理、定理直接推证结 论
的真实性．
间接证明是从它的等价命
题入手，通过证明等价命
题为真从而 使原命题间接
得证．
分析法
常
用
方
法
执果索因 ：从要证明的结论追溯到题
设中的条件．易奏效，书写繁．
由因导果：由已知条件，经过逻辑推
理达到结论．难奏效，易书写．


综合法







假设结论不成立，设法得出一个矛盾
的结果：或与已知矛盾，或与公理、
反证法
定理、事实矛盾，或与假设矛盾．正
难则反，常见奇效．




























共 42 页 第 25 页

高中阶段数学公式
圆锥曲线本章小结
一、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质
曲线名称
定 义
(生成条件)
椭 圆
与两个定点的距离之和等于常
数的动点的轨迹
双曲线
与两个定点的距离之差的绝对
值等于常数的动点的轨迹
22
x
2
y
2
yx
??1
或
2
?
2
?1

a
2
b
2
ab
抛物线
与一个定点和一条定直线
的距离相等的动点的轨迹
x
2
y
2
?
2
?1
(长轴在x轴)
2
ab
标准方程
或
y
2
a
2
?
x
?1
，(长轴在y
2
b
2
(实轴与正系数项变量同名)．
(a，b>0)
y
2
=?2px， x
2
=?2py
(p>0)
轴) (a，b>0)
图 形
有界性
对称轴
中 心
顶 点
半焦距
几

何

性

质
准 线
离心率
和焦距
半焦距c=
a
2
?b
2
，焦距=2c 半焦距c=
a
2
?b
2
，焦距=2c
略
有界(在定界矩形内)
所在轴张口
两条坐标轴
原点
与坐标轴交点
两条坐标轴
原点
与实轴交点
一次方项变量同名轴
无心
与对称轴交点
焦距为
略
无界(在定界矩形外)，向实轴
无界，向对称轴方向张口
略
p

2
两个焦点，在长轴所在轴上，
焦 点
关于中心对称，距中心c． 表示椭圆“扁”“圆”程度的特
两个焦点，在实轴所在轴上，
关于中心对称，距中心c．
表示双曲线张口大小的特征
一个焦点，在对称轴所在
轴上，距顶点
p
．
2
征量，
e=
半焦距
?
c
，0
量，e=
半焦距
?
c
， e>1．

长半轴a实半轴a
两条，垂直于长轴所在轴，与
中心距
两条，垂直于实轴所在轴离，
距中心
e?1

有一条，垂直于对称轴，
垂足和焦点关于顶点对
称．
aa
?
．

ec
2
aa
?
．

ec
2
定界矩形的两条对角线为渐近
渐近线 无 线，可令标准方程等号右边为
0得到渐近线方程．
连接顶点、特殊点逐渐延伸靠
作 图 定界矩形及连接顶点法
近渐近线
连接顶点和两个特殊点
无
二、圆锥曲线问题主要题型及应用
1. 已知圆锥曲线方程，求其特征参数．
2. 已知方程的圆锥曲线的性质讨论．
3. 据已知条件求标准方程，已知条件可以是生成条件，或特征参数条件，或几何性质

共 42 页 第 26 页

高中阶段数学公式
条件，或过已知点条件以及部分上述条件 的综合．确定椭圆或双曲线需且仅需两个条件，确
定抛物线则仅需一个条件．
4. 圆锥曲线与直线的交点坐标计算，抛物线与另一圆锥曲线的交点坐标计算；
5. 已知圆锥曲线与直线或抛物线与另一圆锥曲线的相交条件，确定圆锥曲线的方程．
6. 圆锥曲线在光学、建筑、天文计算等方面的应用．
三、方程与曲线
1. 方程是平 面点集约束条件的数学表示．当在坐标平面上表示点集是曲线时，则该方
程叫做曲线方程，该曲线叫做方 程的曲线．
2. 基本题型：验证点在已知曲线上；由曲线上已知点等条件确定曲线；已知曲 线方程
求作图象；求满足已知约束条件的曲线方程――求轨迹问题．

















共 42 页 第 27 页

高中阶段数学公式
空间向量本章小结
1．空间向量
在空间，把既有大小又有方向的量称为空间向量．
(1) 空间向量的加法、减法和数乘向量运算满足如下运算律：
①法交换律：
a?b?b?a
；
②加法结合律：（
a?b)?c?a?(b?c)
；
③数乘分配律：
?
(a?b)?
?
a?
?
b
,
(
?< br>?
?
)a?
?
a?
?
a
，
?
,
?
?
R.
(2) 空间向量的数量积
∧
定义： =
ab
cos
?
.
a
、b
为任意两个向量，
?
＝
a
b
．
空间向量的数量积的性质：
①
a
?
b
?
a
·
b
=0；
②
a
·
a
=
a
；
③ (
?
a)·
b
=
?
(
a
·
b
)，
?
?
R；
④
a
·
b
=
b
·
a
(交换律)；
⑤
a
·(
b?c
)=
a
·
b
+
a
·
c
(分配律).
(2) 共线向量、共面向量和空间向量的分解
①共线向量：对空间任意两个非零向量
a
、< br>b
，
a
∥
b
的充要条件是存在非零实数
?
，
2
使
a
=
?
b
．当
?
＞0时，< br>a
与
b
方向相同；
?
＜0时，
a
与
b
方向相反.
②共面向量：如果两个向量
a,b
不共线，则向量
p
与
a,b
向量共面的充要条件是存在实
数对（
x,y
），使

p
=
xa
+
y
b
．
④三垂线定理：平面 的一条斜线段垂直于平面内一条直线?斜线段在平面内的射影垂
直于该直线．
2．空间向量的坐标
(1) 在空间中取定一点O，从O出发引三条两两垂直的射线，在其上选定某个 长度作为单
位长度，就建立了一个空间直角坐标系．
在建立了空间直角坐标系后，空间中任何 一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关
系，(x,y,z)就叫做P点的空间直角坐标 ，简称为坐标，记作P (x,y,z)，三个数值x、y、z分别
叫做P点的x坐标、y坐标和z坐标．
(2)当点P位于某些特殊位置，其坐标的特殊形式入下表．


共 42 页 第 28 页

高中阶段数学公式
点P的位置 原点O
坐标形式
x轴上 y轴上
(0, y, 0)
z轴上
(0, 0, z)
xy平面上
(x,,y, 0)
yz平面上
(0, y, z)
zx平面上
(x, 0, z) (0, 0, 0) (x, 0, 0)

根据各卦限的定义，当点P位于不同卦限时，其x,y,z坐标的符号不同：
点P所在卦限
坐标符号
点P所在卦限
坐标符号

(3) 在空间直角坐标系中，任一向量
a
可表示为
a
=
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
.其中，有序实数组
(
a
1
,a
2
,a
3
)叫做向量
a
在空间直角坐标系
O?xyz
中的坐标，简记为
a
=(
a
1
,a
2
,a
3
)或
a

(
a
1
,a
2
,a
3
)．
(4) 已知向量
AB
的始点A(x
1
,y
1
,z
1
)和终B(x
2
,y
2
,z
2
)， 则

AB
=(x
2
-x
1
, y
2
-y
1
, z
2
-z
1
)．
(5) 设向量a=(x
1
,y
1
,z
1
，b=( x
2
,y
2
,z
2
)，则
a=b ? x
1
=x
2
, y
1
=y
2
, z
1
=z
2
；
222
|a|=
x
12
?y
1
2
?z
1
2
，|b|=
x< br>2
；
?y
2
?z
2
Ⅰ
(+,+,+)
Ⅴ
(+,+,-)
Ⅱ
(-,+,+)
Ⅵ
(-,+,-)
Ⅲ
(-,-,+)
Ⅶ
(-,-,-)
Ⅳ
(+,-,+)
Ⅷ
(+,-,-)
uuur
a+b= (x
1
+x
2
, y
1
+y
2
, z
1
+z
2
)；
a-b=(x
1
-x
2
, y
1
-y
2
, z
1
-z
2
)；

?
a=(
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
),
?
?R；
a?b=x
1
x
2
+ y
1
y
2
+z
1
z
2
．
a∥b ?
x
1
yz
?
1
?
1
，
x
2
y
2
z
2
a?b ? x
1
x
2
+y
1
y
2
+z
1
z
2=0；
cos(a^b)=
x
1
x
2
? y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z?x?y ?z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
．
3．空间向量在平面、空间直线位置关系中的应用
(1) 空间直线的方向向量和平面的法向量
我们把与一条直线平行的向量叫做该直线的方向向量，把 与一个平面垂直的向量叫做这个
平面的法向量．直线l的方向向量和平面
?
的法向量都 是不唯一的．
(2) 设a
1
、 a
2
依次为空间直线l
1
, l
2
的方向向量；n
1
、n
2
依次为平面
?
1
、
?
2
的法向量，则

共 42 页 第 29 页

高中阶段数学公式
有
l
1
∥l
2
?
a
1
∥a
2
，l
1
⊥l
2
?
a
1
⊥
a
2
，cos(l
1
^ l
2
) =︱cos(
a
1
^
a
2
)︱；
?
1
∥
?
2
? n
1
∥n
2，
?
1
⊥
?
2
?n
1
⊥n
2
， cos(
?
1
^
?
2
)=︱cos(n
1
^ n
2
)︱．
设向量a是直线l的方向向量，n是平面
?
的法向量，则有
l⊥
?
? a∥n，l∥
?
? a⊥n，cos (l^
?
)＝sin (a^ n)．
























共 42 页 第 30 页

高中阶段数学公式
复数本章小结
概
虚单位 i=
?1
叫做虚单位


念
纯虚数 bi叫做纯虚数，其中b
?
R，b?0
虚数 a+bi叫做虚数, 其中a，b∈R，b?0
复数集 复数集C
?
?
a?bia,b?R
?

代数表示 z=a+bi (a,b∈R)
在平面内建立一个直角坐标系，以横轴(x轴)表示实轴，纵轴(y轴)表示
几
复平面
虚轴，即实数a以横轴上表示数a的点表示，纯虚数bi以纵轴上表示


数b的点表示，把这个平面叫做复平面

何



点与复



数对应


z=a+bi与复数平面上点Z(a,b)之间一一对应
表
uuur
表
以点Z(a,b)为终点的向量
OZ
叫做复向量，

复向量 把复平面内以原点O为始点、

复向量与复数z=a+bi之间一一对应
示
uuur
uuur

复数z=a+bi对应的向量
OZ< br>的长度
OZ
叫做复数z的模(或绝对值)，记

作
z
，每个复数对应惟一的模
三
模

uuuruuur

复数z=a+bi对应向量
OZ
，从x 轴正向到
OZ
的转角θ（逆时针方向为

辐角
正）叫做复数z的 辐角；复数z在
?
0,2
?
?
内的辐角叫做辐角的主值，记

角
作argz．复数0的辐角是任意值



三角

已知一个复数的模r和辐角θ，则z=r(cosθ+isinθ)

表示

??
b

z=a+bi，则r=< br>a
2
?b
2
,（1）若a?0，则tan
?
1
=（
?
1
?(-,)），根
示
a
22
表
π

互化
据a,b的符号，利用(16-2-3)求辐角主值；（2）若a=0, b?0，则argz=(b
2

3
?
示
＞0)或(b＜0)；（3）若a=0, b=0，则z=0．z=r(cosθ+isinθ)，则
2
a=rcosθ,b=rsinθ
相 等 若z
1
= a
1
+b
1
i ，z
2
=a
2
+b
2
i( a
1
、a
2
、b
1
、b
2
?
R)，则
关
z
1
=z
2
?
a
1
=a2
，b
1
=b
2


系
共 轭 若z
1
=a
1
+b
1
i, z
2
=a
2
+b
2
i(a
1
、a
2
、b
1
、b
2
?
R)，则
运
加


代数 z
1
＝a1
+b
1
i，z
2
＝a
2
+b
2i，则z
1
+z
2
＝= (a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
) i



形式
算
法

几何 z
1
＝a
1
+b
1
i，z
2
＝a
2
+b
2
i，则z
1
+z
2
所对应的复向量向量加 法的 形式
平形四边形法则得到


共 42 页 第 31 页
z
2
=
z
1
?
a
1
=a
2
，b
1
=-b
2

高中阶段数学公式

减
形式代数 z
1
＝a
1
+b
1
i，z
2
＝a
2
+ b
2
i，则z
1
-z
2
＝= (a
1
-a
2
)+(b
1
-b
2
) i

几何 z
1
＝a
1
+b
1
i，z< br>2
＝a
2
+b
2
i，则z
1
-z
2
所对应的复向量向量加法的 形式
运
法
平行四边形法则得到



代数
z
1
＝a
1
+ b
1
i，z
2
＝a
2
+b
2
i，
算
乘
形式 则z
1
·z
2
＝(a
1
a
2
-b
1
b
2
) + (a
1
b
2
+a
2
b
1
)i



z
1
=r
1
(cos
θ
1
+isin
θ
1
)，z
2
= r
2
(cos
θ
2
+isin
θ
2
)，
法

三角
则z
1
·z
2
= r
1
r
2
[cos(
θ
1
+
θ
2
)+ i sin(
θ
1
+
θ
2
)]
形式


对于一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0) ，记△=b
2
-4ac
-b??

应
2a

b
当△=0时，方程有两个相等实根，x
1
.
2
=-

2a
用
-b?i?
当△＜0时，方程有一对共轭复根，x
1
.
2
=
2a
当△＞0时，方程有两个相异实根，x
1
.
2
=















共 42 页 第 32 页

高中阶段数学公式
排列组合二项式本章小结

一
般
穷
举

计
数
的
两
个
基
本
原
理
和
方
法

字典法
累加法
加法
原理
把A中的元素用字符或数码替代，按字符串顺序或数字大小顺序排列作穷举
把复杂问题拆分为简单问题的连接，穷举简单问题后逐步累加达到穷举
完成一件事A可分成 两个并列的类A
1
，A
2
．完成A
1
类有a种方法；完成A
2
类有
b种方法，则完成A有a＋b种方法

若完成A可分成n个并 列类
A
1
，A
2
，…，A
n
，则
分类
计数法
︱
A
︱
=

穷举
含义或公式
把集合A中的元素a
1
，a
2
，…，a
n
不重复、 不遗漏地一列举出来
?
A
i?1
n
i

其中︱< br>A
︱，︱
A
i
︱（i＝1，2，…，n）表示完成
A
，
A
i
的方法个数
乘法
原理

分步
计数法
种方法，则完成A的方法个数︱
A
︱
=
完成一件事 A可分成先A
1
后A
2
两个连接进行的过程．完成过程A
1
有a种方法，完
成过程A
2
有b种方法，则完成A有ab种方法
完成一件事 A可分成顺序连接的n个过程A
1
，A
2
，…，A
n
．完成 过程A
i
有︱
A
i
︱
?
A
i?1
n
i


排


列


选排列
选排列数计
算公式
全排列
全排列数计
算公式
从n个不同元素中，按序选取k（k＜n）．穷举选取方法数叫做选排列数，记作
A
n

k
A
n
k
＝n(n-1)(n-2)…(n-k+1)＝
n!

(n?k)!
选排列中k＝n的情况，即n个元素作不同顺序排列
A
n
n
＝n!
从n个元素中选取k个构成一组，穷举不同构成组叫做这数，记作
C
n

k

组


合

组合
组合数计算
公式
两个重要性
质
C
n
k
＝
n!
n(n?1)L(n?k?1)
＝
(n?k)!?k!
k!
kn?k
对偶法则：
C
n
＝
C
n
k
；
＝
C
n?1

含义或公式
k?1
增一法则：
C
n
＋
C
n
k?1

二
项
展
开


展开
公式
通项
公式
系数计
算公式
(x+y)
n
=
?
C
k?0
n
k
n
x
n?k
y
k
=
?
C
k?0
n
k
n
x
k
y
n?k

kn?k
按x的降排列的展开式的第k+ 1项
T
k?1
=
C
n
x
应用通项公式或杨辉三角
y
k
，k＝0，1，2，…n．

共 42 页 第 33 页

高中阶段数学公式
概率本章小结




常
见
基
本
概
型
和
概
率



基本事件全集Ω的事件个数是有限个；基本事件发生的可能性相同．
n为基本事件集合所有事件个数，μ为随机事件的构成集合所有事件个数，
古典概率
则
P(A)
＝
?
n

m＋n个总体中，有甲属性个体m个，乙甲属性个体n个．A＝︱从中抽取k，
超几何
概率
ak?a
C
m
C
n
（k≤m＋n），其中恰 有a（a≤m）个甲属性个体︱，则
P(A)
＝
k
C
m?n

基本假设：n次试验是独立的，每次试验只有发生随机事件A或不发生A两
种可能结果，每次试 验发生A的概率相同为p（不发生A的概率为1－p）；
伯努利
概型
概率计算公式： n次独立试验中， 随机事件A恰好发生k次的概率记作
kkn?k
P
n
(k)
，则
P
n
(k)
＝
C
n
p(1?p)







几
个
常
用
公
式

反概率
公式
加法
公式
乘法
公式
P
(
A
)＝ 1－
P(
A)，
A
为
A
的对立事件，即
A
?
A
＝
Φ
，
P
(
A
?
A
)＝1
若A，B为互斥事件，即A
?
B＝
Φ
．则
P(A
?
B)＝P(A)＋P(B)
若A，B为独立事件，即A发生与否不 影响P(B)；B发生与否不影响P(A)．则
P(AB)＝P(A
?
B)＝P(A) ·P(B)
当AB独立（未必互斥），
P(A
?
B)＝1－P(
A?B
)＝1－P(
A?B
)＝1－P
(
A
)·
P
(
B
)；
反演公式链
当AB互斥（未必独立），
P(AB)＝1－P(
AB
)＝1－P(
A?B
)＝1－P
(
A
)－
P
(
B
)．


小
概
率
事
件

在一次试验中， 出现的概率很小的随机事件A，叫做小概率事件．一般把
小概率事件
小概率事件
多次试验效
果
小概率事件看作不可能事件
小概率事件在大量试验中出现的概率未必很小，甚至接近1










共 42 页 第 34 页

高中阶段数学公式
统计本章小结
1．随机变量及其概率分布
内
容








随


机


变


量
随机变量的概念









分








类

数
学
期
望

方差
若P(X= X
i
)=p
i
(i=1,2,…,n)，则D(X)=

连

续

型
密度
函数
定义
特点
若P(X= X
i
)=p
i
(i=1,2,…,n)，则E(X)=


离


散


型
定义

概

率

分

布
概率分布表（见表19-1），
且
两种常见概率分布：
(1) 二项分布 若一次试验中随机事件发生的概率为p,不发生的概率为 q=1-p；随
机变量X表示n次独立试验中 随机事件发生的次数，则X的概率分布叫做二项分布，
或说X服从参数为n, p的二项分布，记作X?B(n, p)．概率分布表见表19-2．
(2) 超几何分布 以X表示在m+n个元素中（其中甲属性元素m个，乙属性元素
n个）随机抽取k (k?m+n)个元 素，记其中甲或乙属性元素的个数为X，则X的概率分
布叫做超几何分布．概率分布表见表19-3 < br>在一次试验中随机变量X取值的平均值，称为随机变量的数学期望，记为E(X).
在相同条件下 ，把一次随机试验中可能出现的结果表示为变量X.
全部取值可以一一列举出来的随即变量，就叫做离散型随机变量.
随机变量X取值范围为{X
1
，
X
2
，…，
X
n
},p
i< br>=P(X= X
i
)，i=1，2，3，…，n，据此列出
项目 概念或计算公式
p
i
?1
．
?
i?1
n
p
i
X
i
.
?i?1
n
二项分布的数学期望是
E(X)=np，
超几何分布的数学期望 是E(X)=
n
k
.
m?n
随机变量X可能的全部取值关于期望< br>E(X)
的集中度，记为D(X).
p
i
(X
i
?E(X))
2
.
?
i?1
n
能取到区间(a,b)(a 连续型随机变量的点概率P(X= X
0
)=0，对连续型随机变量X只考虑 它落在某个区
间[a，b]内的概率P(a≤X≤
b
)
连续型随机变量以密 度函数p=
?
(x)和密度曲线（即p=
?
(x)的图像）来反映分布情况.其中p=
?
(x)具有特性：①0?
?
(x)?1；x?(-?, ?)；②其图像与x轴所围的“面积”为1；
③P(a?
(x)为腰、x=a, x=b为两底的曲边梯形的面积.

内
容
正
态
分
布
项目
密
度
函
数
X?N(
?
,
?
2
)
概念或计算公式
?
?
(x)=
1
2
??
e
1x?
?
2
?()
2
?
, x?(-?, ?),
?
> 0，其中
?
,
?
2
是总体的数学期望
和方差，特别地，当< br>?
=0，
?
=1时， X叫做服从标准正态分布，记为X?N(0,1)

共 42 页 第 35 页

高中阶段数学公式
性质 正态分布反映的总体，其假定的随机变量应具有“两头小、中间大且关于平均值
对称”的特性．
(1)随机变量X的取值关于x=
?
呈对称分布．
(2)3
?准则P(|X-
?
|<
?
)=0.6826，P(|X-
?|<2
?
)=0.9544，P(|X-
?
|<3
?
) =0.9974
概率
计算
应
用
工
序
控
制
若X?N(0,1)，则P(X?x)=
?
(x)，P(X>x)=1 -
?
(x)，
?
(-x)=P(X?-x)=P(X?x)=1-
?
(x)，
P(x
1
2
)=
?
( x
2
)-
?
( x
1
)，其中
?
(x) 为正态分布函数，
?
(x)的值可查正态分布表得到.
若监控指标X?N(
?
,
?
2
),以时间t为横轴，X取值x为纵轴，作出控制线：
L
1
=
?
-2
?
, H
1
=
?
+2
?
, L
2
=
?
-3
?
, H
2
=
?
+3
?

L
1
,H
1
之间为稳定区, L
1
,L
2
和H
1
,H
2
之间为警戒区，L
2
以下、H
2
以上为异常区.定
时检测个体，确定生产状态处于何区及进展趋势．
2．区间估计
(1)区间估计的概念
在保证一定的可信度的前提下，利用样本的参数，来估计总体的参数的取值区间的方法.
(2)正态总体的参数估计
被估计的参数


E(X)=
?

置信度为1-
?
的置信区间 临界值
?
2
已
知
?
??
?
x?
?
?,x?
?
?
??

nn
??
?
SS
?
,x?
?
?
x?
?
?

n ?1n?1
??
?
nS
2
nS
2
?
,??

??
1
??
2
?
的具体数值可以根据< br>?
(
?
)=P(X<
?
)=1-
查正态分布数值表得 到.

?
，通过反
2
?
2
未
知

D(X)=
?
2

?
的具体数值可以查t分布临界值表得到.
?
1
、
?2
可以通过查
?
2
分布临界值表得到，左边一列
为
?< br>1
，右边一列为
?
2

其中
?
为总体的数学 期望，
?
2
为总体的方差，S
2
为样本的方差.
3．假设检验
(1)假设检验的概念
假设检验是对我们所关心的却又是未知的结果 先作出假设，然后利用试验和样本提供的
信息对假设的正确性进行判断的过程.
(2)假设检验的原理
在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立.
(3)正态总体参数假设检验的步骤
第一步 提出待检验的假设，给定显著性水平（检验水平 ）
?
（通常取0.10，0.05，0.01）；
第二步 计算相关的参数值；
第三步 计算检验所用的临界值
?
；
第四步 作出统计推断（即判断假设是否成立）.
(4)正态总体参数的假设检验

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