初中高中数学知识点公式总结

个人收集整理 仅供参考学习
一．函数
1．函数定义域由以下几点确定
（１）
y?
1
;f(x)?0

f(x)
（２）< br>y?
2n
f(x);f(x)?0
（其中n为正整数）
（３）
y?log
a
f(x):f(x)?0
。
（４）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．
（５）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．
2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．
（１） 若
f (?x)?f(x),f(x)
是偶函数，若
f(?x)??f(x),f(x)
是奇 函数．
（２） 若
y?f(x)
的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如
y?x
2
..y?cosx
等。
若< br>y?f(x)
的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如
y?x..y?x
3
..y?sinx

３． 将函数分解成几个简单函数的合成．
由六类基 本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关
系．函数与常数的四则运算，不必另设 一层关系．
个人收集整理 勿做商业用途
二．极限与连续
1．主要概念和计算方法：
（１）．
limf(x)?A?lim
?
f(x)?lim
?
f(x)?A

x?x
0
x?xx? x
（２）．若
limf(x)?0
（极限过程不限），则当
x?x
0
时
f(x)
为无穷小量。
x?x
0
（3）．若
l imf(x)?f(x
0
)
，则函数在
x
0
处是连续的。
x?x
0
即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。
若上述三条至少一条不满足，则
x
0
是函数的间段点。
（4）．间断点的分类：设
x
0
是函数的间断点
若左、右极限均存在，则
x
0
称为第一类间断点。
若左、右极限至少有一个是无穷大，则
x
0
称为第二类间断点。
（5）．重要公式：条件
lim
?
(x)?0
（极限过程不限）
1 7

个人收集整理 仅供参考学习
sin
?< br>(x)
?1
；结论《１》
lim
《２》
lim[1?
?
(x)]
?
(x)
?e

?
(x)
2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）
（１） 定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于
右极限）。
（２） 不定式：（Ａ）
1
0
型：消去零因子或用公式《１》。
0
?
（Ｂ）型：约去
?
因子，使之变成定式。
?
（Ｃ）
1
?
型：用公式《２》。
（Ｄ）
0??
型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。
（Ｅ）
???
型：通分或有理化，使之转化成其它类型。
注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。
三．导数
（一）基本概念
1．导数值：
f
?
(x
0
)?l im
x?x
0
f(x)?f(x
0
)
dy
，也可以 记作
y
?
(x
0
);
x?x
0
dx
x?x
0
。
2．导数的几何意义：
f
?
(x
0
)
就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处切线的斜率k，其切线
的方程是：
y?y
0
?f?
(x
0
)(x?x
0
)
，法线方程：
y?y
0
?
?1
(x?x
0
)
。
f
?
(x
0
)
3. 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。
（二）．导数基本公式：
1．
(c)
?
?0
2。
(x)
?
?< br>?
x
??
?1
xx
3。
(a)
?
?alna
4。
(e)
?
?e
5。
(lnx)
?
?
xx
1

x
6．
(sinx)
?
?cosx
7。
(cosx)
?
??sinx
8。
(tanx)
?
?secx
9。
2
(cotx)
?
??csc
2
x

（三）微分法（设u和v 都是x的函数）
1．用定义求导数或导函数。
2．
(u?v)
?
?u
?
?v
?

3．
(uv)
?
?u
?
v?uv
?
；
( cu)
?
?cu
?

4．
()
?
?
u
v
u
?
v?uv
?

v
2
5 ．设复合函数
y?f(u),u?
?
(x)
，则
y
?
?f
u
?
u
x

2 7

个人收集整理 仅供参考学习
6．设
y?f(x)
由 隐函数
F(x.y)?0
确定，则
y
?
??
?
F< br>X
，也可以直接对方程
?
F
y
求导数。
7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。
y
t
?
(t)
?
x?x(t)
?
8．设参数方程
?，则
y?

?
x(t)
y?y(t)
t
?9．微分：
dy?y
?
dx

10．反函数的导数：
y
?
x
?
1

x
?
y
附：函数在一点处几个概念之间的关系图


有定义（函数值存在）



连续（极限值等于函数值）


可导（可微）









四．中值定理与导数应用
1．拉格朗日中值定理：
条件：函数
f(x)
在[a,b]上连续，在（a,b）内可导
结论： 至少存在一点
?
?(a,b)使f
?
(
?
)?
４．
适用于
洛必塔法则
有极限
f(b)?f(a)
。
b?a
0?
和
型极限，注意四种失效题型：
0?
3．单调 性：若
y?f(x)
在（a,b）内
f
?
(x)?0?f(x)在（a,b）内单调递增。
若
y?f(x)
在（a,b）内
f
?
(x)?0?f(x)
在（a,b）内单调递减。
a) 极值存在的必要条件：若
y?f(x)在x
0
处可导且取极值?f
?
(x
0
)?0
3 7

个人收集整理 仅供参考学习
（
x
0
为驻点）
b) 极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则：
在a点左右函数的导数由正变负
?
a点为函数的极大值点。
在a点左右函数的导数由负变正
?
a点为函数的极小值点。
c) 判断曲线凹凸的方法：
若在(a,b)内
f
??
(x)
>0，则曲 线
y?f(x)
在（a,b）内上凹。如
y?x...y?e
等。
若在(a,b)内
f
??
(x)
<0，则曲线
y?f(x)
在（a,b）内下凹。如
y?
２．曲线拐点的求法：
设a为函数
y?f(x )
的连续点，若函数
y?f(x)
在a点处二阶导数变号，则曲线
上的点
（a,f(a)）为曲线的拐点。
３．求渐近线的方法：
若
limf(x )??
，则x=a为曲线
y?f(x)
的垂直渐近线。
x?a
2x
1
...y?lnx
等。
x
若
limf(x)?b
，则y=b为曲线
y?f(x)
的水平渐近线。
x??
４．极值应用：
i. 画图、设变量x，并将其余变量用x表示。
ii. 建立函数关系，并写出定义域。
iii. 求函数的一阶导数，找出驻点。
iv. 说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。
五．不定积分
1． 原函 数：在某区间内，若在任一点处均有
F
?
(x)?f(x)
，则称F（x）是
f(x)
的一个原函数。
2． 若
f(x)
有原函数F（x），则 F（x）+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。
3． 若
f(x)
有原函数F（x），则
f(x)
的不定积分可表示为
4． 不定积分的几何意义

?
f(x)dx?F(x)?C
。
?
f(x)dx?F(x)?C
表示在x点处切线斜率均为
f(x)
的一族曲线 。
（1）
x
?
dx?
5． 基本积分公式
1
?
?1
1
（2）
x?C.(
?
??1)dx?lnx?C

??
?
?1x
1
x
（3）
?
ax
dx?a?C.(a?0,a?1)
（4）
?
e
x
d x?e
x
?C

lna
（5）
sinxdx??cosx?C
（6）
cosxdx?sinx?C

（7）
sec
2
xdx?tanx?C
（8）
csc
2
xdx??cotx?C

??
??
4 7

个人收集整理 仅供参考学习
（9）
?
?
1
a
2
?x
2
dx?arcsin
x
11x
?C
（10）
?
2
dx?arctan?C

2
a
aa
a?x
（11）
secxdx?lnsecx?tanx?C
（12）
cscxdx?lncscx?cotx?C

6. 积分性质
（1）
?
?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
（2）
?
[f(x)?g(x)]dx?
?
f(x)dx?
?
g(x)dx

（3）
[f(x)dx]
?
?f(x)
（4）
??
f
?
(x)dx?f(x)?C

7．计算方法
（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。
（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法
一般地可以用代换
dx?
d
?
(x)

?
?
(x)
设
u?
?
(x)
的导数连续，则
（３）
?
f[
?
(x)]
?
?
(x)dx?
?< br>f(u)du
。
??
分部积分法：
uv
?
dx?u v?u
?
vdx或udv?uv?vdu
，要用算式。
??
选u的顺序：反、对、幂、三、指、常。
（４） 简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。
六．定积分
1．定积分特点：
（1） 定积分是一个数，与积分变量无关。
（2） 被积函数连续是可积的充分条件。
（3） 被积函数有界是可积的必要条件。
2． 定积分的几何意义
b
（1） 设
f(x)?0
，则
梯形面积。
?
f (x)dx
表示由曲线
y?f(x)
直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边
a
b
（2） 设
f(x)?0
，则
梯形的负面积。
?
f(x)dx
表示由曲线
y?f(x)
直线y=0;x=a;x=b所围 成的曲边
a
b
（3） 若
y?f(x)
的符号不定，则
a
?
f(x)dx
表示面积的代数和。由此得到对称区间上的
a
奇函 数积分为0，即
?a
?
f(x)dx?0
，其中函数
f(x)
是奇函数。
5 7

个人收集整理 仅供参考学习
3． 主要性质
bb
（1）
kf(x)dx?kf(x)dx
。
aa< br>bbb
??
（2）
[f(x)?g(x)]dx?
a
b
??
f(x)dx?
?
g(x)dx
。
aa
bc
（3）
?
f(x)dx
?
?
f(x)dx?
?
f (x)dx
。
a
ac
?
(x)
4． 变上限定积分的求导法：
[
5． 牛顿---莱布尼兹公式
?
f(t)dt ]
?
?f[
?
(x)]
?
?
(x)
。 < br>a
条件：设
y?f(x)
在区间[a,b]上连续，F(x)是
f?
x
?
的一个原函数
b
结论：
?
f(x)dx
=F（b）--F(a)
a
6. 广义积分 设
f
?
x
?
在区间[a，< br>??)
上连续，曲b>a，则
在区间（
??
，b）上类似定义。
7．几个结论
abba
??
b???
b
?
f(x)dx?lim
?
f(x)dx

a
a
b

?
f(x)dx?0，
?
0dx?0

?
f(x)dx??
?
f(x)dx

?
kdx?k(b?a)

aaaba
aa0
设
f
?
x
?
是偶函数：
?a
a
?
f(x)dx?2
?
f(x)dx?2
?
f(x)dx

0?a
设
f
?
x
?
是奇函数：
?a
?
f(x)dx?0
。
８． 求定积分的方法
（1） 利用几何意义（画出对应的图形）。
（2） 直接用牛顿--- 莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。
（3） 先求对应的不定积分，在用牛顿--- 莱布尼兹公式（注意函数的连续性）。
（4） 用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。
9． 定积分应用
（1）求平面图形的面积
先画出这块面积，用阴影表示出。
用定积分表示面积，再求出其值。
（2）求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积
6 7

个人收集整理 仅供参考学习
bd
2
绕x轴：v=
?
ydx
。 绕y轴：v=
?
xdy

ac
??
2
常用简单公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

tanx?
sinxcosx11

.....cotx?.....sec x?.....cscx?
cosxsiaxcosxsiax
sin
2
x? cos
2
x?1......sia2x?2sinxcosx

cos2x ?cos
2
x?sin
2
x?1?2sin
2
x?2cos
2
x?1

cos
2
x?
1?cos2x1?cos2x

........sin
2
x?
22
５．对数
log
a
a?1......log
a
1?0

l og
a
x?
lnx
(换底公式）.......log
a
x y?log
a
x?log
a
y

lna
log
a


x
?log
a
x?log
a
y........log
a
x
y
?ylo g
a
x

y
7 7