高中数学必修一总结

整体分析：
高中数学教材必修1内容一共有三章，其中第一章“集合与函数概念”是整
个高中数学的基础，是非常重要的一章基础内容；第二章“基本初等函数”是继
第一章之后的扩 展与运用，进一步加强了第一章学习的函数的概念，在以后的学
习中用的也非常多；第三章内容相对简单 ，涉及到函数的具体运用。总体而言，
是一个从基础到运用的逐层推进的结构。
章节内容总结：
第一章 集合与函数概念
1.1集合
1、集合的定义：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合
（简称集）
2、集合的特征：
确定性、无序性、互异性
3、集合的表示
（1）用大写的拉丁字母A、B、C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，
c，…表示集合中的元素；
（2）数学中常用的数集及其记法：
N 自然数集
N
*
或N
+
正整数集
Z 整数集
Q 有理数集
R 实数集

（3）集合的表示方法：列举法（将集合中的元素一一列举出来，并用
花括号括起来）、描述 法（用集合所含元素的共同特征表示集合）
4、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素
都是集合B中的元素，我们就说 这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子
集，记作
A?B
(或
B?A< br>)，读作“A含于B”（或“B包含A”）；
（2）相等：如果集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集
合B相等，记作A=B；
（3）真子集：如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且< br>x?A
，则称集合A
是集合B的真子集，记作AB；
（4）空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空
集是任何集合的子集。
5、集合的基本运算
（1）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组 成的集
合，称为集合A与集合B的并集，记作
A?B
(读作“A并B”)，即

A?B
=
?
xx?A，或x?B
?

（2 ）交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素组成
的集合，称为集合A与集合B的交集， 记作
A?B
(读作“A并B”)，即

A?B
=
?
xx?A，且x?B
?


（3）补集：
?
?
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉 及的所有
元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U；
②补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A的所有元素组
成的集合称为集合A相对于集合U的补集，简称为集合A的补集，记作C< br>U
A，即
C
U
A=
?
xx?U，且x?A
?

1.2函数及其表示
1、定义：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使 对于集合A
中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B< /p>

为从集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x), x∈A
其中 ，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合< br>?
f(x)x?A
?
叫做函数的值域。
（函数的构成要素：定义域、 对应关系、值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系
完全一致，那么这两个函数相等）
2、函数的表示方法：解析法、图像法、列表法
3、函数的基本性质：
（1）单调性与最大（小）值
①单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，当x
1
＜x
2
时都有f(x
1
)＜f(x
2
) ，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x
1
、x
2
，当x
1
＜x
2
时都 有f(x
1
)＞f(x
2
)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在 这一区间
具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。
②最大（小）值
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
a. 对于任意的x
?I
，都有f(x)
?M
；
b. 存在x
0
?I
，使得f(x
0
)=M.
那么，我们称M是函数
y=f（x）的最大值。
（2）奇偶性
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= f
（x），那么函数f（x）就叫做偶函数；
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=- f
（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

（偶函数关于y轴直线对称，奇函数关于原点中心对称）

第二章 基本初等函数
1、指数函数
（1）整数指数幂
a
m
·a
n
=a
m+n
(ab)
n
=a
n
·b
n
(a
m
)
n
=a
mn

（2）根式
①定义：一般地，如果x
n
=a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1，且
n∈N
*

②负数没有偶次方根（任何一个数的偶次方都是非负数）
0的任何次方都是0，记作
n
0

式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数
③性质：当n为奇数时，
n
a
n
=a
，a?0
当n为偶数时，
n
a
n
?
a
=
a
=
?
?
?a，a?0

（3）分数指数幂
m
①定义：规定
a
n
?
n
a
m
（a>0，m、n∈N*且n>1）
a
?
m
n
?
1

a
m
n
（a>0，m、n∈N*且n>1）
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义
②运算性质：
a
r
·a
s
=a
r+s

a>0, b>0，r、s∈Q
(a
r
)
s
=a
r·s

(ab)
r
=a
r
·b
r

（4） 无理指数幂a
ɑ
（a>0，ɑ是无理数）是一个确定的实数，运算性质同有理指
数幂。
（5）指数函数及其性质
①定义：一般地，函数y=a
x
（a>0, 且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，
函数的定义域为R
②性质：y=a
x
（a>0,且a≠1）
a>1



图

象

性

质
(1)定义域：R
(2)值 域：(0，+∞)
(3)过点(0,1)，即x=0时，y=1
(4)在R上是增函数
2、对数函数
（1）对数：一般地，如果a
x
=N（a>0，且a
?1
），那么数 x叫做以a为底N的对
数，记作
x=㏒
a
N，
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
负数和零没有对数，㏒
a
1=0，㏒
a
a=1
0
(4)在R上是减函数
（2）对数的运算性质：
如果a>0，且a
?1
，M>0，N>0，那么：

①㏒
a
(M·N)= ㏒
a
M+㏒
a
N；
M
②㏒
a
N
= ㏒
a
M-㏒
a
N；
③ ㏒
a
M
n
=n㏒
a
M（n
?R
）。
（3）对数函数及其性质
（1）定义：一般地，我们把函数y=㏒
a
x（a >0，且a
?1
）叫做对数函数，其
中x是自变量，函数的定义域是（0，
? ?
）。
（2）图象及性质：


a>1 0

图象


(1)定义域：（0，
??
）
(2)值域： R
性质
(3)过定点（1,0）
(4)在(0,+∞)上是增函数
?
（4）在(0,+∞)上是减函数
3、幂函数：一般地，函数y=
x叫做幂函数，其中x是自变量，
?
是常数。

第三章 函数的应用
1、 函数与方程：
（1） 方程f(x)=0有实数根
?
函数y=f(x )的图象与x轴有交点
?
函数y=f(x)
有零点；

（2） 如果函数y=f(x)在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有
f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在
c
?
(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
2、 用二分法求方程的近似解
二分法：对于在区间
?
a,b
?
上连 续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通
过不断地把函数f(x)的零点所在的区间二 分为一，使区间的两个端点逐步逼
近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。