高一数学必修1知识点总结66584

第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或 者
不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象 ，相同的对象归入一个集
合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序 ，因此判定两个集合是否一样，仅需比较
它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A
记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的 公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用
确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合
3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集 合B的元素，同时,
集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的
交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫
做A,B的并集。记作：A∪B(读作 ”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元
素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}
（2）全集：如果集合S含有我们所 要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以
看作一个全集。通常用U来表示。
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ
二、函数的有关概念 < br>1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集
合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B
为从集合A到集合B的 一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取
值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x
∈A }叫做函数的值域．
注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是
指能使这个式 子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能 使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式
组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对
数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是
由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的
值组 成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证
实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对 应关系和值域．由于值域是由定义域
和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一 致，即称这两个函
数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一 致，

而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义 域
一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
( 1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先
考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的
值域，它是求解复杂函数值域 的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值
y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满足y=f(x)的每一组
有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续 曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线
最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以( x,y)为
坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变
(3)作用：
1、直观的看 出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的
速度。发现解题中的错误。
4．快去了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区 间；（3）区间的
数轴表示．
5．什么叫做映射

一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合
A中的任意一个元素x，在集合B中都 有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
B为从集合A到集合B的一个映像。记作“f：A B”
给定一个集合A到B的映像，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们
把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的 对应，①集合A、B及对应法则f
是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应 ，它与从B到A
的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每
一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B
中对应 的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、 离散的点等等，注意判断
一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点
法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：
选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出
函数值
补充一：分段函数 （参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达 式的函数。在不同的范围里求函数值时必
须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个 不同的方程，而就写函
数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取 值情
况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域
是 各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复
合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变
量x1，x2，当x1D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f (x)在这一区间上具
有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图 象从左
到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2∈D，且x1方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区
间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
函数的单调性
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在
一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f( －x)=f(x)，那么f(x)就
叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函 数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)
就叫做奇函数．
注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体
性质；函数 可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一 个必要条件是，对于定义域内的
任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点 对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其
定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) =
f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) =
0，则f(x)是奇函数．
注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 首先看函数的定
义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判 定;
(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0 或f(x)f(-x)=
±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函 数关系时，一
是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）.求函数的解 析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知
函数解析式的构造时，可用待定系数法； 已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，
这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单 时，也可用凑配法；若已知抽象函数表
达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大
（小）值3 利用函数 单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]
上单调递增，在区间[b， c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数
y=f(x)在区间[a， b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最
小值f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，
且 ∈ *．
当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次
方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent），
叫做被开方数（radicand）
当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次
方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成
± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。
注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 < br>指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，
那么整数指数 幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential ），其中x是自
变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
图象特征

函数性质
1.向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
2.图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
3.函数图象都在x轴上方
4.函数的值域为R+
5.函数图象都过定点（0，1）
6.自左向右看图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数 ，总有 ；
（4）当 时，若 ，则 ；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作：
数， — 真数， — 对数式）
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数 ；
2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．
（二）对数函数
— 底 （

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是
（0，+∞）．
注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
图象特征，函数性质
1.函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）
2.图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
3.向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
4.函数图象都过定点（1，0）
自左向右看，图象逐渐上升，自左向右看，图象逐渐下降
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂
函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；
（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点
时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴
正半轴．
第三章 函数的应用
、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的
横坐标。即：
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：
求函数 的零点：
1 （代数法）求方程 的实数根；
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利
用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数 ．
1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两
个零点．
2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二
次函数有一个二重零点或二阶零点．
高一数学必修4
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
3）△＜0，方程 无
?
零角 :不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第
几象限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k? ?
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180??
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?< br>?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??< br>?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k ?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、已知
?
是第几象限角，确定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均
n
*
分
n
等份，再从
x
轴的正半轴的上方起，依次 将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即为
?
终边所 落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度． 6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角< br>?
的弧度数的绝对值是
?
?
．
7、弧度制与角度制的换算公 式：
2
?
?360
，
1?
l
r
?
180
?
，
1?
?
?57.3
．
?
18 0
?
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面
11
积为
S
，则
l?r
?
，C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22< br>9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与
原点的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
??
?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象限的符 号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三
象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三 角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???，
tan
?
???
．
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1

?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；?
2
?
sin
?
??
sin
?
?ta n
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
sin
?
?tan
?

cos
?
13、三角函数的诱导公式：

?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?c os
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
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??sin
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tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?，
y
P
T
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
OM
A
x

< br>tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
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sin
?
?
?
?
?
?si n
?
，cos
?
?
?
?
?
??cos?
，tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin< br>?
?
??
?
?
?
?
?
?cos?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?．
?
2
?
?
2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
?
?
2
?
?
?
6
?
sin
?
?
?
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
14、函数
y?sinx
的图象上所 有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x??
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩
短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函 数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的 纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不
变），得到函数
y??sin< br>?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
不变），得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向 左（右）平移
1
倍（纵坐标
?
?
个
?
单位长度，得 到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上
所有点 的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?的性质：
①振幅：
?
；②周期：
??
⑤初相：
?
．
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
， 当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x? x
2
时，
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
；④相位：
?
x?
?
；
?2
?

取得最大值为
y
max
，则
??
11?

??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?< br>．
?
y
max
?y
min
?
，
22 2
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性

质
函
y

?sinx

数
y?cosx

y?tanx

图
象

定
义
域
值
域

R

R


?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?
2
??
?
?1,1
?

当
?
?1,1
?

当
R

x?2k
?
?
k??
?
x ?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时，
y
max
?1
时，
y
max
?1
；当
最
值
x?2k
?
?
；当
既无最大值也无
最小值
?
2

时，
x?2k
?
?
?


?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?
k??
?
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
单
2
?

2
?

?

奇函数 偶函数 奇函数
在在在

调
性
??
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

上
是增函数；在
??
??< br>k
?
?,k
?
?
??

22
??
?
k??
?
上是增函
数；在
?
k??
?
上是增函
数．
?
k??
?
上是减函数．
?
3
?
??< br>2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??

?
k??
?
上是减函
数．
对称中心对称中心< br>对称中心
对
?
k
?
,0
??
k??
?

称
性
对
x?k
?
?
称轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
?
k
?
?
,0< br>?
?
k??
?

?
2
??
?
2
?
k??
?

x?k
?
?
k??
?

无对称轴
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平
行．
相等向量：长度相等且方向
相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾
相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
③
a? 0?0?a?a
．
⑸坐标运算：设a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?< br>，则
????
C

a

b

a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
?

?

a?b??C?????C

a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
? ??
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0< br>时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方
向相反；当
?< br>?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?< br>?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐 标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y?
．
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线， 当且仅当有唯一一个实数
?
，
使
b?
?
a
． 设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b ?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
??
??
a
、
bb?0
共线． < br>??

21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不< br>共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一 组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
，，当时，点的坐标是x,yx,y
???< br>?
??
?
?
11
??
22
?
??< br>．
12
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
??
0
．
⑵性质：设
a< br>和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a ?a?a
．③
a?b?ab
．
2
⑶运算律：①
a?b?b ?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
?
a ?b
?
?a?
?
?
b
?
；③
?
a ?b
?
?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x
2
?y
2
，或
a?x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b??
x
2
,y
2
?
，
?
是
a< br>与
b
的夹角，则
2
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
22
．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?< br>?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
s in
?
；

⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
s in
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1? tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?< br>tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
??
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
sin
2
?
?
1 ?cos2
?
）．
2
cos2
?
?1
，
2
⑶
tan2
?
?
2tan
?
．
2
1?tan
?
?
．
?
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．