高中数学必修一公式定义

第一章 集合(jihe)与函数概念
一、集合(jihe)有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象
叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者
是或者不是 这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对 象归入
一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此 判定两个集合是否一样，仅
需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
A?集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a
属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>R| x-3?2的解集是{x>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合
3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集 合B的元素，
同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，
即 ：A=B
A?① 任何一个集合是它本身的子集。A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如
果A
C?C ,那么 A?B, B?③如果 A
A 那么A=B?B 同时 B?④ 如果A
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做
A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般 地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集
合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A 并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属
于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
A}?S且 x? x?记作： CSA 即 CSA ={x
（2）全集：如果集合S含有我 们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合
就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f， 使
对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那
么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，
x叫做自变量，x的 取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做
函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数 的定义
域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集
合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有 意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不
等式组的主要依据是：(1)分式的分母 不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于
零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于
1. (5)如果函数是 由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是
使各部分都有意义的x的值组成的集合. （6）指数为零底不可以等于零 (6)实际
问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关 系和值域．由于值域是由
定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，
即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义

域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断
方法：①表达式相同；② 定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域
都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各
三角函数的值域，它是求解复杂函数值域 的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数
值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x)的每
一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) ,
x∈A }
图象C一般的是一 条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴
的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离 散点组成。
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一 些对应值并列表，以(x,y)
为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高
解题的速度。
发现解题中的错误。
4．快去了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）
区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法 则f，使对
于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那
么就 称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”
给定一个集合A到B的映 射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，
我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元 素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应
法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它
与从B到A的对应关系 一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：
（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有 象，并且象是唯一的；（Ⅱ）
集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集 合
B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6． 常用的函数表示法及各自的优点：
○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注
意判断一个 图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；

○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察
函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于
量出函数值
补充一：分段函数 （参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 。在不同的范围里求函数值
时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方
程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部
分的自变量的取 值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函
数；（2）分段函数的定义域是各段定义 域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合
函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量x1，x2，当x1函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＞f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性
质；
○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x1) （2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函 数y=f(x)在这一区间
上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数
的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5 下结论（指出
函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x )]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，
其规律如下：
函数 单调性
u=g(x) 增 增 减 减
y=f(u) 增 减 增 减
y=f[g(x)] 增 减 减 增

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区
间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单
调性吗？
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么f(x)
就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于 函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)
就叫做奇函数．
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数
的整体性质 ；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具 有奇偶性的一个必要条件是，对于定义
域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定 义域关于原点
对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并
判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结
论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－
x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意啊：函数定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数
的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函 数.若对称，(1)再根
据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据 是否有f(-x)±f(x)=0或
f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数 的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，
一是要求出它们之间的对应法则，二 是要求出函数的定义域.
（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等 ，如果
已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，
可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
若已知抽象函数表达式 ，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函
数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x )
在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则
函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，
且 ∈ *．
当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时，
的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical
exponent）， 叫做被开方数（radicand）．
当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的
正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次
方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都
是0，记作 。
注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定 了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数
指数，那么整数指数幂的运算性质也同 样可以推广到有理数指数幂．
3．实数指数幂的运算性质
（1） ? ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），
其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1 0 图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升 自左向右看，
图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到
了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数 ，总有 ；

（4）当 时，若 ，则 ；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ —
底数， — 真数， — 对数式）
说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意对数的书写格式．
两个重要对数：
○1 常用对数：以10为底的对数 ；
○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．
2、 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
（二）对数的运算性质
如果 ，且 ， ， ，那么：
○1 ? ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：换底公式
（ ，且 ； ，且 ； ）．
利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） ．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义
域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．
2、对数函数的性质：
a>1 0 图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，0）
自左向右看，
图象逐渐上升 自左向右看，
图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0

（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，
幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；
（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向
原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无
限地逼近 轴正半轴．
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴
交点的横坐标。即：
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、函数零点的求法：
求函数 的零点：
○1 （代数法）求方程 的实数根；
○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起
来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数 ．
1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函
数有两个零点．
2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交
点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．