高一数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f( x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)
定 义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性 质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，
又是偶函数。
注意：
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2
由函数 的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也○
一定是 定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2
确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3
作出相应结论： ○
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对 称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条
件是它的图 象关于y轴对称；
②设
f(x)
，
g(x)
的定义域分别是
D
1
,D
2
，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇
?
奇=偶，偶+偶=偶，偶
?
偶=偶
2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量
x
1
，x
2
，当x
12
时，都有f(x
1
)2
)（f(x1
)>f(x
2
)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
注意：
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2
必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
； 当x
1
2
时，总有f(x
1
)2) ○
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有（严格的）
单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增
函数；
②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减
函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
； ○
2
作差f(x
1
)－f(x
2
)； ○
3
变形（通常是因式分解和配方）○；
4
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）○；
5
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○。
（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
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增函数
f(x)?< br>增函数
g(x)
是增函数；减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增
函数；减 函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
3．最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：① 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x
0
∈I，使得f(x
0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的 定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x
0∈I，使得f(x
0
) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
注意：
1
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M； ○
2
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都 有f(x)≤M（f(x)≥M）○。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
1
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○
2
利用图象求函数的最大（小）值； ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○< br>如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在 x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c] 上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
4．周期性
（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周
期函数；
（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作< br>f(x?
TT
存在一个最小的正数，则称它为f(x)
)?f(x?),
若f(x)的周期中，
22
T
|
?
|
。

的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为
四 ．典例解析
【奇偶性典型例题】

例1．以下五个函数：（1）
y?
（5）
y?log
2
( x?
1
4
x
（2）
y?x?1
；（3）
y?2；（4）
y?log
2
x
；
(x?0)
；
x
x
2
?1)
，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是 _________

点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问 题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解
析式能化简，一般应考虑先化简，但化简 必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
题型二：奇偶性的应用
例2．设f（x）是定 义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log
3
（1+x），则f（－2）=____ _。


例3．已知
f(x)
奇函数，当
x
∈（ 0，1）时，
f(x)?lg
1
，那么当
x
∈（－1，0）时，f(x)
的表达式是 ．
1?x


例
4< br>．若奇函数
f(x)
是定义在（
?1
，
1
）上的增函 数，试求
a
的范围：

f(a?2)?f(a
2
?4)?0
．

2
解：由已知得
f(a?2)??f(a?4)

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222
因
f(x)
是奇函数，故

?f(a?4)?f(4?a)
，于是
f(a?2)?f(4?a)
．


又
f(x)
是定义在（
?
1
，
1
）上的增函数，从而




?
?3?a?2
?
a?2?4?a
2
?
?
?3?a?2

?
?1?a?2?1?
?
1?a?3
?
?1?a
2
?4?1< br>?
?
?
?5?a?3或3?a?5
即不等式的解集是
(3,2 )

【单调性典型例题】

例1．(1)
设函数f(x)?(2a?1)x?b是R上的减函数,
则a的范围为( )
A．
a?
1111
B．
a?
C．
a??
D．
a?

2222
2
(2)函数
y?x?bx?c(x?[0,??)
)是单调函数的充要条件是( )
A．
b?0
B．
b?0
C．
b?0
D．
b?0

(3)
已知
f(x )
在区间
(??,??)
上是减函数，
a,b?R
且
a?b ?0
，则下列表达正确的是（

）

A
．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
B
．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

C
．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
D
．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

提示：
a?b ?0
可转化为
a??b
和
b??a
在利用函数单调性可得
.
(4) 如右图是定义在闭区间上的函数
y?f(x)
的图象,该函数的单调增区
间为
例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1）
y??x?2|x|?1
（2）
y?|?x?2x?3|


例
3
．根据函数单调性的定义，证明函数

在

上是减函数．



例
4.
设
f(x)< br>是定义在
R
上的函数，对
m
、
n?R
恒有
f (m?n)?f(m)?f(n)
，且当
x?0
时，
0?f(x)?1
。
（
1
）求证：
f(0)?1
；

（
2
）证明：
x?R
时恒有
f(x)?0
；

（
3
）求证：
f(x)
在
R
上是减函数；

（
4
）若
f(x)?f(2?x)?1
，求
x
的范 围。

22
1111
则
f(?0)?f()f(0)
，因为
f()?0

所以
f(0)?1

2222
(2)
设
x?0
则
?x?0

由条件可知
f(?x)?o

又因为
1?f(0)?f(x?x)? f(x)f(?x)?0
，所以
f(x)?0

∴
x?R
时，恒有
f(x)?0

（
3
）设
x
1
?x
2
则

f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
?x
1
)
=
f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)f(x
1
)
=
f(x
1
)[1?f(x
2
?x
1
)]

解：
(1)
取
m=0
，
n=

因为
x
1
?x
2
所以
x
2
?x
1?0
所以
f(x
2
?x
1
)?1
即
1 ?f(x
2
?x
1
)?0


又因为
f (x
1
)?0
，所以
f(x
1
)[1?f(x
2< br>?x
1
)]?0

所以
f(x
1
)? f(x
2
)?0
，即该函数在
R
上是减函数
.
(4)
因为
f(x)?f(2?x)?1
，所以
f(x)?f(2 ?x)?f(2x?x
2
)?f(0)

所以
2x?x
2< br>?0
，所以
x的范围为x?2或x?0


例
5
：（复合函数单调性）
1.
函数

y??x
2
?2x?3
的增区间是（

）
.

A
．
[
?
3,
?
1] B
．
[
?
1,1] C
．

(??,?3)
D
．

[?1,??)

2.
函数
y
＝
1
x
2
?2x?80
的单调递增 区间为（

）

第 3 页 共 4 页

A
．
(??,?8)
B
．
(??,1)
C
．
(1,??)
D
．
(?8,??)


题型五：周期问题
例6．已知函 数
y?f(x)
是定义在
R
上的周期函数，周期
T?5
，函 数
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数又
知
y?f(x)
在[0,1]
上是一次函数，在
[1,4]
上是二次函数，且在
x?2时函数取得最小值
?5
。
①证明：
f(1)?f(4)?0
；
②求
y?f(x),x?[1,4]
的解析式；
③求
y?f(x)
在
[4,9]
上的解析式。
解：∵f(x)
是以
5
为周期的周期函数，∴
f(4)?f(4?5)?f(? 1)
，
又∵
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数，∴
f(1) ??f(?1)??f(4)
，∴
f(1)?f(4)?0
。
②当
x?[1,4]
时，由题意可设
f(x)?a(x?2)?5 (a?0)
，
由
f(1)?f(4)?0
得
a(1?2)?5?a (4?2)?5?0
，∴
a?2
，∴
f(x)?2(x?2)?5(1?x? 4)
。
③∵
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数，∴
f(0)?0
，
又知
y?f(x)
在
[0,1]
上是一次函数，
∴可设< br>f(x)?kx(0?x?1)
，而
f(1)?2(1?2)?5??3
， < br>∴
k??3
，∴当
0?x?1
时，
f(x)??3x
，
从而当
?1?x?0
时，
f(x)??f(?x)??3x
，故
?1?x?1
时，
f(x)??3x
。
∴当
4?x?6
时，有
?1?x?5?1
，
∴
f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15
。
当
6?x?9
时，
1?x?5?4
，
∴
f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

22
2
222
2
?
?3x?15,4?x?6
∴
f(x)?
?
。
2
2(x?7)?5,6?x?9
?

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