高中数学必修一

人教版高中数学必修1精品教案(整套)
课题：集合的含义与表示(1)
课 型：新授课
教学目标：
（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；
（2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；
（3） 掌握常用数集及其记法；
教学重点：掌握集合的基本概念；
教学难点：元素与集合的关系；
教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通
知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们 感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不
是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将 学习一个新的概念——集
合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P
2
-P
3
内容
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研 究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合
（set），也简称集。
3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1） 大于3小于11的偶数；
（2） 我国的小河流；
（3） 非负奇数；
（4） 方程
x
2
?1?0
的解；
（5） 某校2007级新生；
（6） 血压很高的人；
（7） 着名的数学家；
（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点
（9） 全班成绩好的学生。
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元
素，或者不是A的元素 ，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不 相同的个体（对
象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

5. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a
?
A
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A
4
?
A，等等。
6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用
小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
７．常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N
*
或N
+
；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R；
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“
?
”符号填空：
（1）8 N； （2）0 N；
（3）-3 Z； （4）
2
Q；
（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，
英国 A。
2
例2．已知集合P的元素为
1,m,m?3m?3
, 若3∈P且-1
?
P，求实数m的值。
（三）课堂练习：
课本P
5
练习1；
归纳小结：
本节课从实例入手，非常自然贴切 地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的
概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。
作业布置：
1．习题1.1，第1- 2题；
2．预习集合的表示方法。
课后
课题：集合的含义与表示(2)
课 型：新授课
教学目标：
（1）了解集合的表示方法；
（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描 述法）描述不同的具体问
题，感受集合语言的意义和作用；
教学重点：掌握集合的表示方法；
教学难点：选择恰当的表示方法；
教学过程：
一、复习回顾：
１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及表示。

< br>２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系
二、新课教学
（一）．集合的表示方法
我们可以用自然语言和图形语言来描述一个 集合，但这将给我们带来很多不便，
除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(1) 列 举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“
??
”括起来表示集合
的方法叫列 举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x
2
，3x+2，5y
3
-x，x
2
+y
2
}，…；
说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考
虑元素的顺序。
2．各个元素之间要用逗号隔开；
3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必 须把元素间的规律显
示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为
?
1,2, 3,4,5,......
?

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x
2
=x的所有实数根组成的集合；
（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；
?
x?2y?0;
（4）方程组
?
的解组成的集合。
2x?y?0.
?
思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。
具体方法：在花 括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范
围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集 合中元素所具有的共同特征。
一般格式：
?
x?Ap(x)
?
< br>如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x
2
+1}，{x︳直角三角形}，…；
说明：
1．课本P
5
最后一段话；
2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x
2
+3x+2}与 {y|y= x
2
+3x+2}
是不同的两个 集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，
即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数
集}，{R}也是错误的。
例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x
2
—2=0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

?
x?y?3;
（3）方程组
?
的解。
?
x?y??1.
思考3：（课本P
6
思考）
说明：列举 法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注
意，一般集合中元素较多或有无限个 元素时，不宜采用列举法。
（二）．课堂练习：
１．课本P
6
练习2；
２．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
３．集合A＝{x|
4
∈Z，x∈N}，则它的元素是 。
x?3
４．已知集合A＝{x|-32
+1，x∈A}，则集合B用
列举法表示是
归纳小结：
本节课从实例入手，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
作业布置：
1．习题1.1，第３．4题；
2．课后预习集合间的基本关系.
课后记:
课题：集合间的基本关系
课 型：新授课
教学目标：
（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；
（2）理解子集、真子集的概念；
（3）能利用Venn图表达集合间的关系；
（4）了解空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。
教学难点：弄清楚属于与包含的关系。
教学过程：
一、复习回顾：
1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？
（1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数
2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。
思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
二、新课教学
（一）. 子集、空集等概念的教学：
比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1）
A?{1,2,3}
，
B?{1,2,3,4,5}
；
（2）
C?{汝城一中高一 班全体女生}
，
D?{汝城一中高一 班全体学生}
；
（3）
E?{x|x是两条边相等的三角形}
，
F ?{xx是等腰三角形}

由学生通过观察得结论。
1．子集的定义：

对于两个集合A，B，如果集合
A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，我们说这两个集
合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作：
读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作
A?B

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中
A?B

B
2．集合相等定义：
A
如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一
样的，因此 集合A与集合B相等，即若
A?B且B?A
，则
A?B
。
如（3）中的两集合
E?F
。
3．真子集定义：
若集合
A?B< br>，但存在元素
x?B,且x?A
，则称集合
A
是集合
B
的真子集（proper
subset）。记作：
A B（或B A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
如：（1）和（2）中A B，C D；
4．空集定义：
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
?
。
用适当的符号填空：
?

?
0
?
； 0
?
；
?

?
?
?
；
?
0
?

?
?
?

思考2：课本P
7
的思考题
5．几个重要的结论：
（1） 空集是任何集合的子集；
（2） 空集是任何非空集合的真子集；
（3） 任何一个集合是它本身的子集；
（4） 对于集合 A，B，C，如果
A?B
，且
B?C
，那么
A?C
。
说明：
1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含 于”
的关系；
2．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
（二）例题讲解：
例1．填空：
（1）． 2 N；
{2}
N；
?
A;
（2）．已知集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
A B； A C； {2} C； 2 C
例2．（课本例3）写出集合
{a,b}
的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 < br>例3．若集合
A?xx
2
?x?6?0,B?
?
xmx?1? 0
?
,
B A，求m的值。
11
（m=0或
或-
）
32
例4．已知集合
A?
?
x ?2?x?5
?
,B?
?
x?m?1?x?2m?1
?
且< br>A?B
，
??

求实数m的取值范围。 （
m?3
）
（三）课堂练习：
课本P
7
练习1，2，3
归纳小结：
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号 ；
并用Venn图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。
作业布置：
1．习题1.1，第5题；
2．预习集合的运算。
课后记:
课题：集合的基本运算㈠
课 型：新授课
教学目标：
（1）理解交集与并集的概念；
（2）掌握交集与并集的区别与联系；
（3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。
教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。
教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
教学过程：
一、复习回顾：
1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则A S；{x|x∈S且x
?
A}= 。
2．用适当符号填空：
0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x
2
＋1＝0,x∈R}
{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2}
二、新课教学
（一）. 交集、并集概念及性质的教学：
思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：
C?
?
1,2,3,4,5,6
?
； （1）
A?{1,3 ,5}
，
B?{2,4,6},
（2）
A?{xx是有理数}
，B?{xx是无理数},C?
?
xx是实数
?
；
由学生通过观察得结论。
6．并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素 所组成的集合，叫做集合A与集合B
的并集（union set）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即
用Venn图表示：
这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即

A?B
= C
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A
A∪B＝A
?
, A∪B＝B
?
.
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝
②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。
7．交集的定义：
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集
（interse ction set），记作A∩B（读“A交B”）即：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）
常见的五种交集的情况：

讨论：A∩B与A、B、
B A B

A(BA A
B A
B∩A的关系？
A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A
A∩B＝A
?
A∩B＝B
?

巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝
②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝ 。
（二）例题讲解：
例1．（课本例5）设集合
A?
?
x?1?x?2
?
,B?
?
x1?x?3
?
，求A∪B．
变式：A＝{x|-5≤x≤8} 例2．（课本例7）设平面内直线
l
1
上点的集合为L
1
，直线
l
2
上点的集合为L
2
，试用集合的
运算表示
l< br>1
，
l
2
的位置关系。
例3．已知集合
A?xx< br>2
?mx?m
2
?19?0,
??
B?yy
2
?5y?6?0

??

C?zz
2
?2z?8?0是否存在实数m，同时满足
A?B??,A?C??
？
??
（m=-2）

（三）课堂练习：
课本P
11
练习1，2，3
归纳小结：
本节课从实例入手，引出交集、并集的概念及符号；并用Venn图直观地把两个 集合
之间的关系表示出来，要注意数轴在求交集和并集中的运用。
作业布置：
3．习题1.1，第6，7；
4．预习补
课题：集合的基本运算㈡
课 型：新授课
教学目标：
（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义，
（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“
C
U
A
”的涵义；
（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。
教学重点：补集的有关运算及数轴的应用。
教学难点：补集的概念。
教学过程：

一、复习回顾：
1． 提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？
2． 提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？
3． 交集和补集的有关运算结论有哪些？
4． 讨论：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B与R有何关系？
二、新课教学
思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
由学生通过讨论得出结论：
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
（一）. 全集、补集概念及性质的教学：
8．全集的定义：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问 题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为
全集（universe set）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
9．补集的定义：
对于一个 集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对
于全集U的补集（compl ementary set），记作：
C
U
A
，
读作：“A在U中的补集”，即
用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）
讨论：集合A与
C
U
A
之间有什么关系？→借助Venn图分析
巩固练习（口答）：
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则
C
U
A
= ，
C
U
B
= ；
②．设U＝{x|x<8，且x∈N}， A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则
C
U
A
＝ ；
③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则
C
U
A
＝ 。
（二）例题讲解：
C
U
B
．例1．（课本例8）设集
U?
?
xx是小于9的正整数
?
,A?
?
1，
求
C
U
A
，
2，3
?
，B?
?
3 ，4，5，6
?
，
例2．设全集
U?
?
xx?4
?
,集合A?
?
x?2?x?3
?
,B?
?
x?3? x?3
?
，求
C
U
A
，

A?B
，
A?B,C
U
(A?B),(C
U
A)?(C
U
B),(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(A?B)
。
（结论：
C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C< br>U
B)
）
例3．设全集U为R，
A?xx
2
?px ?12?0,
??
B?xx
2
?5x?q?0
，若
??

(C
U
A)?B?
?
2
?
,A?(C
U
B)?
?
4
?
，求
A?B
。 （答案：
?
2,3,4
?
）

（三）课堂练习：
课本P
11
练习4
归纳小结：
补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn图）。
作业布置：
习题1.1A组，第9，10；B组第4题。
课后记
课题：集合复习课
课 型：新授课

教学目标：
（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；
（2）掌握集合的有关术语和符号；
（3）运用性质解决一些简单的问题。
教学重点：集合的相关运算。
教学难点：集合知识的综合运用。
教学过程：
一、复习回顾：
1． 提问：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？
2． 提问：什么叫交集？并集？补集？符号语言如何表示？图形语言如何表示？
3． 提问：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性质？
3． 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些？
4． 集合问题的解决方法：Venn图示法、数轴分析法。
二、讲授新课：
（一） 集合的基本运算：
例1：设U=R，A={x|-5U
A 、C
U
B、
(C
U
A)∩( C
U
B)、(C
U
A)∪(C
U
B)、C
U
(A∪B)、C
U
(A∩B)。
（学生画图→在草稿上写出答案→订正）
说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。
例2：全集U={x|x <10，x∈N
?
}，A
?
U，B
?
U，且（C
U
B）∩A={1,9}，A∩B={3}，（C
U
A)
∩(C
UB)={4,6,7}，求A、B
说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。
（二）集合性质的运用：
例3：A={x|x
2
+4x=0}，B={x| x
2
+2(a+1)x＋a
2
－1=0}, 若A∪B=A，求实数a的值。
说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别
式。
例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a（）巩固练习：
1．已知A={x|-21}， A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|12．P={0,1}，M={x|x
?
P}，则P与M的关系是 。
3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格
的为4人，那么两项都及格的为 人。
4．满足关系{1,2}
?
A< br>?
{1,2,3,4,5}的集合A共有 个。
5．已知集合A∪B＝{x |x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一
共有多 少个元素？
6．已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a
2
}，A∪B＝{1 ,2,a}，求所有可能的a值。
7．设A＝{x|x
2
－ax＋6＝0}，B＝{ x|x
2
－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。
8．集合A={x|x2
+px-2=0},B={x|x
2
-x+q=0},若A
?
B={-2，0，1}，求p、q。
9． A={2，3，a
2
+4a+2}，B= {0，7，a
2
+4a-2，2-a}，且A
?
B ={3，7}，求B。
10．已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A
?
B时 ，求实数m的取值范围。
归纳小结：
本节课是集合问题的复习课，系统地归纳了集合的有关 概念，表示方法及其有关运算，

并进一步巩固了Venn图法和数轴分析法。
作业布置：
5．课本P
14
习题1.1 B组题；
6．阅读P
14
～
15
材料。