高中数学易错汇总-高中数学必修万能公式
高一数学必修一知识点汇总
-(1)
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2
高一数学必修1各章知识点总结
第一章
集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2.
集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2)
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的
集合{H,A,P,Y}
(3)
元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是
表示同一个集合
3.集合的表示:{ … }
如:{我校的篮球
队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰
洋}
(1)
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z
有理
数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c……}
2)
描述法:将集合中的元素的公共属性描述
出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3)
语言描述法:例:{不是直角三角形的三角
形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集
含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合
例:
2
{x|x=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一
部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不
?
B或B
?
?
A
包含集合A,记作A
?
2.“相等”关系:A=B
(5≥5,且5≤5,
则5=5)
2
实例:设 A={x|x-1=0}
B={-1,1} “元
素相同则两集合相等”
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即:① 任何一个集合是它本身的子集。
A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A
是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ
规定:
空集是任何集合的子集, 空集是任
何非空集合的真子集。
nn-1
?
有n个元素的集合,含有2
个子集,2个真子集
三、集合的运算
运算交 集
并 集
类型
定
由所有属于A且属
义
于B的元素所
组成
的集合,叫做A,B的
交集.记作A
?
B(读
作‘A交B’),
即
A
?
B={x|x
?
A,且
x
?
B}.
由所有属于集合A或
属于集合B的元素所
组成的集合,叫做A,B
的并集.记
作:A
?
B
(读作‘A并B’),即
A
?
B
={x|x
?
A,或
x
?
B}).
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}
韦
恩
图
示
补 集
设S是一个集合,A是
S的一个子集,由S中
所有不属于A的元素
组成的集合,叫做S
中子集A的补集(或余
集)
记作
C
S
A
,即
A
B
A
B
S
图1
图2
A
A
?
A=A
性
A
?
Φ=Φ
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
质
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是
( )
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D
倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若
集合M={y|y=x-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0},则M与N的关系是
.
2
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4.设集合A=
x1?x?2
,B=
xx?a
,若A
?
B,则
a
的取值范围是
?
?
?
?
5.50名学生做的物理、
化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化
学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6.
用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x|
x-mx+m-19=0}, 若
B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
2222
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非
空的数集,如
果按照某个确定的对应关系f,使对于集合
A中的任意一个数x,在集合B中都有
唯一
确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B
为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的
取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相
对应的y值叫做函数值,函数值的集合
{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的
集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据
是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过
四则运
算结合而成的.那么,它的定义域是使各部
分都有意义的
x
的值组成的
集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际
问题有意义.
?
相同函数的判断方法:①表达式相同(与
表示自变量和函数值的字母无关);②定义
域一致
(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
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(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标,函数值
y
为纵坐标的点P
(x
,
y)的集合C,叫做函
数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点的
坐标
(x
,
y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反过来,以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x、
y
为坐标的点
(x
,
y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、
描点法:
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2)
伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开
半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,
如果按某一个确定的对应法则f,使对于集
合A中的任意一个元素x,在集合B中都有
唯一确定
的元素y与之对应,那么就称对应
f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f
:
A
→
B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,
并且象是唯一的
;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象
可以
是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都
有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达
式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交
集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合
函数。
第 6 页
共 16 页
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,
如果对于
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变
量x
1
,x
2<
br>,当x
1
时,都有f(x
1
)
),
那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D
称为y=f(x)的单调增区
间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的
值x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
>
f(x
2
),
那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间
D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2)
图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或
减函数,那么说函
数
y=f(x)
在这一区间上
具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数
的
图象从左到右是上升的,减函数的图象从
左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1
任取x,x∈D,且x
2 作差f(x)-f(x);
○
3
变形(通常是因式分解和配方);
○
4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负);
○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D
○
1212
12<
br>12
上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调
性与构成它的
函数
u=g(x)
,
y=f(u)
的单调性密切相关,
其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的
子区间
,不能把单调性相同的区间和在一
起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意
一个x,都有f(-x)
=f(x),那么f(x)就叫
做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意
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一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就
叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象
关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是
○
否关于原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;
○
3作出相应结论:若f(-x) =
f(x) 或
○
f(-x)-f(x) =
0,则f(x)是偶函数;若
f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) =
0,则
f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数
具有奇偶性的必要
条件.首先看函数的定义
域是否关于原点对称,若不对称则函数是非
奇非偶函数.若对称,(1
)再根据定义判定;
(2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或f(x)
/
f(-x)=
±1
来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象
判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数
的解析式是函数的一种表示方
法,要求两个变量之间的函数关系时,一是
要求出它们之间的对应
法则,二是要求出函
数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)
凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数
○
的最大(小)值
2
利用图象求函数的最大(小)值
○
3
利用函数单调性的判断函数的最大
○
(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,
b]上单调递增,
在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在
x=b处有最大值f(b
);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,
在区间[b,c]上单调递增则函
数y=f(x)在
x=b处有最小值f(b);
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例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴
y?
x
2
?2x?15
x?3?3
⑵
y?1?(
x?1
2
)
x?1
2.设
函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
,则函数
f(x
2)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)
的定义域为[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是
?
x?2(x??1)
?
4.函数
,若
f(x)?3
,则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的值域:
⑴
y?x
2
?2x?3
(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3
x?[1,2]
(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5
6.已知函数
f(x?1)
?x
2
?4x
,求函数
f(x)
,
7.已知函数
f
(2x?1)
的解析式
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4<
br>,则
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数,且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
导数大于0时为增函数,导数小于0时为减函数。
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
⑶
f(x)
=
y??x
2
?2x?3
y?x
2
?6x?1
10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论
.
2
1?x
11.设函数
f(x)?
判断它的奇偶性并且求证:
f(
1
)??f(x)
.
2
1?x
x
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果
x?a
,那
么
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n
>1,且
n
∈
N*
.
第 9 页 共 16 页
n
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是
0,记作
n
0?0
。
当<
br>n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n
是
偶数时,
?
a(a?0)
a
n
?|a|?
??
?a(a?0)
n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N<
br>*
,n?1)
m
n
,
a
?
?
1a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n
?N
*
,n?1)
?
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数
幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)
a
·
a?a
rrr?s
(a?0,r,s?R)
;
rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念
:一般地,函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数,其
中
x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不
能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a
>
1
6
0
<
a
<
1
6
55
4433
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1<
br>246-4-2
定
义
域
第 10 页 共 16
页
0
-1
246
定
义
域
R
值
域
y
>
0
在
R
上
单
调
递
增
非
奇
非
偶
函
数
函
数
图
象
都
过
定
点
(
0
,
1
)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以
看出:
(1)在[a,b]上,
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b
)]
或
[f(b),f(a)]
;
(2)若
x?0
,则<
br>f(x)?1
;
f(x)
取遍所
有正数当且仅当
x?R
;
(3)对于指
二、对数函数
数函数
x
R
值
域
y
>
0
在
R
上
单
调
递
减
非
奇
非
偶
函
数
函
数
图
象
都
过
定
点
(
0
,
1
)
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
,总有
f(1)?a
;
第 11 页 共 16 页
(一)对数
1.对数的概
念:一般地,如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫做以
.
a
x?log
a
N
(
a
— 底为底记作:
..
N
的对数,
数,
N
—
真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1
注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
x
2
a?N?log
a
N?x
;
○
3 注意对数的书写格式.
○
两个重要对数:
log
a
N
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2 自然对数:以无理数
e?2.71828?
为
○
底的对数的对数
lnN
.
?
指数式与对数式的互化
幂值 真数
a
b
= N
?
log
a
N
= b
底数
指数
对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,<
br>M?0
,
N?0
,
那么:
1
loga
(M
·
N)?
log
a
M
+
log
a
N
; ○
M
?
log
a
M
-<
br>log
a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
2
log
a
○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b
log
c
a
n
log
a
b
;(2)
m
(
a?0
,且
a?1
;
c?0
,且
c
利用换底公式
推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
log
a
b?
1
.
log
b
a
第
12 页 共 16 页
(二)对数函数
1、对数函数的概念:
函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数,其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,
+∞).
注意:
○
1 对数函数的定义与指数函数类
似,都是形式定义,注意辨别。如
:
y?2log
2
x
,
y?log
5
x
都不是对数函数,
5
而只能称其为对数型函数.
2
对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
○
a?1)
.
2、对数函数的性质:
a
>
1
3
2.5
0
<
a
<
1
3
2.5
2
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定
义
域
x
>
0
值
域
为
R
在
R
上
递
增
函
数
图
象
定
义
域
x
>
0
值
域
为
R
在
R
上
递
减
函
数
图
象
第 13 页 共 16 页
都
过
定
点
(
1
,
0
)
都
过
定
点
(
1
,
0
)
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义
并且图象都过点(1,1);
(2)<
br>?
?0
时,幂函数的图象通过原点,
并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别地,
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
??1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象
在区间
当
在第一象限内,当
x
从
(0,??)
上是减函数.
右边趋向原点时,图象在
y
轴右方无限地逼
近
y
轴正半轴,
当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x<
br>轴正半轴.
例题:
1.
已知a>0,a0,函数y=a与y=log
a
(-x)的图象只能是 ( )
x
log27?2log
5
2
2.计算:
①
log
3
2
?
;②
2
4?log
2
3
=
;
25
3
5
=
log
27
64
1
③
0.064
?
?(?
7
)
0?[(?2)
3
]
?
?16
?0.75
?0.01 =
1
3
4
3
1
2
8
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页
3.函数y=log
1
(2x-3x+1)的递减区间为
2
2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍,则a=
f(x
)?0
的5.已知
f(x)?log
1?x
(a?0且a?1)
,(
1)求
f(x)
的定义域(2)求使
a
1?x
x
的取值范围
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数
把使
f(x)?0
成立的实
y?f(x)(x?D)
,数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点
的意义:函数
y?f(x)
的零点
就是方程
f(x)?0
实数根,亦
即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x<
br>轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,
○
可以将它与函数
y
?f(x)
的图象联系起
来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
.
(1)△>0,方程
a
x?bx?c?0
有两不
等实根,二次函数的图象与
x
轴有两个交
点
,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax?bx?c?0
有两相
等
实根,二次函数的图象与
x
轴有一个交
点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. <
br>(3)△<0,方程
ax?bx?c?0
无实根,
二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无
零点.
5.函数的模型
2
2
2
2
收集
画散
合不
第 15 页 共
16 页
选择函
检
第
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