高一数学必修1主要考点

高一数学必修1主要考点
高中数学必修1主要考点
考点一：集合间的运算：求交集(A∩B）、并集(A∪B)、补集(C
U
A)
类型题1：用列举法表示的集合间的运算
对于用列举法表示的集合间的运算，A∩B（交集） 为A与B的相同元素组成
的集合，A∪B（并集）为A与B的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所 组
成的集合，C
U
A（补集）为在全集U中把A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成
的集合。
例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={ 1,3,5,7}，集合B={2,5,8}，求A
∩B，A∪B，C
U
A。
解：A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5}
A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8}
C
U
A={2,4,6,8,9,10}
类型题2：用描述法表示的集合间的运算（主要针对用不等式描述元素特征）
对于用 描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴
或文氏图表示出来（常选用数轴表 示），再通过观察图形求相应运算。A∩B（交集）
为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。 A∪B（并集）为图形中A加
上B所表示的集合。C
U
A（补集）为图形中表示全集U 的部分中去除表示A剩下
的部分所表示的集合（若全集为R，则数轴表示时是整条数轴）注意表示数轴是 带
有等于号的用实心点表示，没带等于号的用空心点表示。
例2、已知集合A={x|0R
A。
解：A∩B={x|0
数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）





A∪B={x|0
数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）





C
R
A={x|x≤0或x≥2}

数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）

高一数学必修1主要考点
考点二：求函数的定义域
求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为0；
（2）偶次方根的被开方数 不小于0，0取0次方没有意义（即指数为0的幂函数底
数不能为0）；
（3）对数函数的真数必须大于0；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；
（5）当函数涉及实际问题时，还必须保证实际问题有意义。
（6）如果f(x)是由几个部 分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都
有意义的实数集合。（即求各集合的交集）
注意：函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。
例1：已知函数f (x) =
x?3
+
1
，求函数的定义域。
x?2
解：
?< br>?
?
x?3?0
?
x??3
解得：
?

?
x?2?0
?
x??2
∴所给函数的定义域为
{x|x? ?3且x??2}
。
0
例2、求函数
y?log
0.2
( 4?x)?(x?3)
的定义域。
解：
?
?
?
4?x?0
?
x?4
解得：
?
∴所给函数的定义域为
{x|x?4且x?3}
。
?
x?3?0
?
x?3
x
例3、求函数
y?(x?1)?l og
(x?2)
x
的定义域。
?
x?1?0
?
x ??1
?
x?1?1
?
x?0
??
??
解：
?
?
x?2?0
解得：
?
x?2
∴所给函数的定义域为
{x|x?2且x?3}
。
?
x?2?1
?
x?3
??
??
?
x?0
?
x?0
例4、 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，
并写出定义域.
解：由题意知，另一边长为
所以s=

80?2x
，且边长为正数，所以0＜x＜40.
2
80?2x
?x
= （40－x）x （0＜x＜40）
2

高一数学必修1主要考点
考点三：相同函数的判断
1
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关○
系 决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函
数相等（或为同一函数）
2
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和○
函数值的字母无关。
例1、下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = (
x
)
2
; （2）y = (
x
)

; （3）y =
x
解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x；
（1）y = (
x
)
2
的定义域为{x|x>0}，定义域不相同；
（2）y = (
3
x
3
)定义域为R，化简后对应关系为y=x，与y=x为同一函数；
（3）y =
x
2
定义域为R，化简后对应关系为y=|x|，对应关系不相同；
3
32

;
x
2
（4）y=
x
x
2
（4）y=定义域为{x|x≠0}，定义域不相同。
x
考点四：单调性证明及性质应用
1、定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，< br>都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数 ；
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，
都有f(x
1
)>f(x< br>2
)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
2、性质
增函数：在单调区 间内，对于任意x
1
2
，均有f(x
1
)2
)，且函数图象在此区间内
呈现上升趋势；
减函数：在单调区间内，对于任意 x
1
2
，均有f(x
1
)>f(x
2
)，且函数图象在此区间内
呈现下降趋势；
3、定义法证明单调性步骤
① 在单调 区间内任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；（取值）
② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④ 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

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例1、证明函数f
（
x
）
＝
3
在［3,5］上是减 函数。
x?1
证明：设
x
1
,x
2
?[3,5]
，且
x
1
?x
2
，则

f(x
1
)?f(x
2
)?
3(x
2
?x
1
)
33
??

x
1
?1x
2
? 1(x
1
?1)(x
2
?1)

?
x
1
,x
2
?[3,5]
，
?x
1
?1? 0,x
2
?1?0


?
x
1?x
2
，
?x
2
?x
1
?0


?f(x
1
)?f(x
2
)?0,即f( x
1
)?f(x
2
)

因此，函数f
（
x
）
＝
3
在［3,5］上是减函数。
x?1
4、利用函数单调性求变量取值范围
常见给出一个二次函数在某一区间 上的单调性，并求变量的取值范围。此类题
型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面，再结 合二次函数开口方向
即可求解。
例2、设函数
f
?
x
?< br>?x?
?
3a?1
?
x?a
在区间
1,??
22
??
上是增函数，求实数
a
的
取值范围。
解：∵二次 函数
f
?
x
?
?x?
?
3a?1
?
x?a
图象开口向上，
22
对称轴为：
x??
2
?(3a?1)3a?1

?
22
2
∴函数
f
?
x
?
?x?
?
3a?1
?
x?a
在区间
(
2
3a?1
,??)
上是增函数
2
又由题意知：函数
f
?< br>x
?
?x?
?
3a?1
?
x?a
在区间1,??
2
??
上是增函数
∴
3a?1
?1
，解得：
a?1
∴实数
a
的取值范围为
?
??,1
?

2
2
考点五：求函数最值：求函数最值一般结合函数单调性进行求解
例1、求函数
y?(x?1)?2
，
0?x?2
的最大值与最小值。
解：∵函数
y?(x?1)?2
为二次函数，图像开口向上，对称轴为x=1
∴函数在对称轴处取得最小值f(1)=-2，又f(0)=f(2)=-1，故函数最大值为-1。
2

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考点六：奇偶性判断及性质应用
1、定义
偶函数：一般地，对于函数
f(x)
的定义域内的任意一个
x
，都有
f(?x)?f(x)
，
那么
f(x)
就叫做偶 函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
奇函数：一般地，对于函数
f(x )
的定义域的任意一个
x
，都有
f(?x)??f(x)
，
那么
f(x)
就叫做奇函数．
2、性质
偶函数：
f(?x)?f(x)
，图象关于y轴对称；
图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
奇函数：
f(?x)??f(x)
，图象关于原点对称，
f(0)?f(?0)?0
；
图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。
典型题：利用奇偶性性质求函数解析式 < br>例1、函数
f(x)
是定义域为R的奇函数，当
x?0
时，
f (x)??x?1
，求当
x?0
时，
f(x)
的表达式。
解：令
x?0,
则
?x?0,f(?x)??(?x)?1?x?1

?f(x)
是定义域为R的奇函数，
?f(x)??f(?x)

∴ 当
x?0
时，
f(x)??f(?x)??(x?1)??x?1
。
∴当
x?0
时，
f(x)
的表达式为：
f(x)??x?1

3、判断奇偶性步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定
f(?x)与f(x)的关系
；
③作出相应结论：
若
f(?x)?f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是偶函数
；
若
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是奇函数

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例2、判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)?x?2?2?x
（2）
f(x)?|x?1|?|x?1|

解：（1）
f(x)
的定义域为{2}，定义域不关于原点对称
因此函数
f(x)
既不是奇函数，也不是偶函数
（2）
f(x)
的定义域为R，定义域关于原点对称
又
f(?x)?|?x?1|?|?x?1|?|x?1|?|x?1|?f(x)

∴
f(x)
是偶函数
考点七：指数式、对数式运算
1、实数指数幂的运算性质：
（1）
a
·
a?a
r
rr?s
(a?0,r,s?R)




rsrs
(a)?a
（2）
(a?0,r,s?R)

rrs
(ab)?aa
(a?0,r,s?R)
（3）
2、对数的 运算性质：如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N? 0
，那么：
1

log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； ○
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
． ○
2

log
a
○
3、换底公式：
log
a
b?
log
c
b
（
a?0，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0）．
log
c
a
例1计算下列各式的值：
（1）
(a?b)?(a?b)
(2)
log
3
25?log
3
16
(3)
log
9
27

解：（1）
(a?b)?(a?b)?(a?b)
（2）
log
3
25?log
3
16?log
3
33?1
3
? (a?b)
4

2555
?log
3
()
2
?2log
3

1644
log
3
27log
3
3
3
3< br> （3）
log
9
27???

log
3
9
log
3
3
2
2

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考点八：指数型函数、对数型函数、幂函数过定点问题
利用指数函数、对数函数、幂函数过定点求解：
指数函数
y?a(a?0且a?1)
图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1（即a
x
=1）。
对数函数
y?log
a
x(a?0且a?1)
图象过定点（1,0），即当x=1时， y=0（即log
a
x=0）。
幂函数
y?x(a?0且a?1)
图象过定点（1,1），即当x=1时，y=1（即x
a
=1）。
例：函数
y?a
x?2
a
x
?1(a?0,a?1)
的图象必经过点 。
x
解：由指数函数
y?a(a?0且a?1)
过定点（0，1）可知：
当x-2=0时，a
x-2
=1，则y= a
x-2
+1=1+1=2，
即当x=2时，y= a
x-2
+1=2，
因此，函数
y?a
x?2
?1(a? 0,a?1)
的图象必经过点（2，2）。
考点九：指数不等式、对数不等式
借助指数函数、对数函数图象性质（尤其是单调性）求解：
指数函数：若0 1；当 x > 0 时，0＜y < 1 。在定义域上减。
若a >1： 当 x < 0 时，0＜y < 1；当 x > 0 时，y > 1。在定义域上增。
对数函数：若00；当x>1时, y<0。在定义域上减。
若a >1： 当01时, y>0。在定义域上增。
注意别忽略对数式对真数的限制：真数大于0。
例：解不等式log
2
(2x?1)?log
2
(?x?5).

?
2x?1?0,
1
解：∵对数式中真数大于0，∴
?
解得
? x?5.

2
?
?x?5?0,
又函数
y?log
2
x
在
(0,??)
上是增函数
∴原不等式化为
2x?1??x?5,
解得
x?2.

∴原不等式的解集是
{x|
1
?x?2}.

2
考点十：利用指数函数、对数函数单调性求变量取值范围
例：已知函数y=(a+1)
x
在R上为减函数，求变量a的取值范围。
解：由函数y=(a+1)
x
在R上为减函数可知：0 因此，变量a的取值范围为{a|-1

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考点十一：零点问题
1、方程与函数的关 系：方程f(x)=0有实数根
?
函数y=f(x)的图象与
x
轴有交点?
函数y=f(x)有零点．
2、求函数零点（或方程的根）所在区间：
方法一：（代入法）对于选择题，可选用代入法，根据零点定理（y=f(x)是在区间
[a ，b]上的连续函数，如果有f(a)f(b)<0，则：函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点，方程f(x)=0在（a
，
b）内有实根。）确定零点所在区间。
例1：函数
f(x)?e?x?2
的零点所在的一个区间是（ ）
A、（-2，-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）
x
?f(0)??1?0,f(1)?e?1?0,
选C。 【解析 】代入法。
?f(x)?e?x?2，
方法二：（图像法）若所给函数由基本初等函数组合而成 （即G(x)=g(x)-f(x)），可将
函数对应的方程化成f(x)=g(x)的形式，则零点所 在区间就是这两个函数f(x)与g(x)
图像交点所在区间。在坐标轴上画出两个函数的图形，找出图 像交点所在区间即可。
如上面的例1中函数对应方程
e?x?2?0
可化为
e??x?2
，在坐标轴上画出
函数
y?e和y??x?2
的图象，可发现两 函数图象交点在区间（0，1）内。
3、求函数零点（方程的根）的个数或根据零点个数求变量取值范围。
求函数零点的个数即求 对应方程的根的个数，也是函数图象与x轴的交点个数。
比较常见涉及的函数为二次函数。此类题型可用 二次函数的图像或对应一元二次方
程的根的判别式△进行判断。
例2：函数
y?x?4x?4
有 个零点。
2
解： 令
x?4x?4?0,???(?4)?4?4?0,?
方程
x?4x?4?0
有一实根。
2
22
2
x
x
xx
因此，函数
y?x?4x?4
有 1 个零点。
例3：函数
f(x)?ax?x?1
只有有一个零点，求a的取值范围。
解：（1）若a=0，则f(x)=-x-1为一次函数，函数必有一个零点为-1；
（2） 若a≠0,则函数
f(x)?ax?x?1
是二次函数，由函数只有一个零点知：

??1?4a?0,?a??
2
2
1

4
1
综上所述，当
a?0和a??
是函数只有一个零点。
4