高中数学必修四三角恒等变换题库-高中数学复合导数公式
高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2)
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性:
如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … }
如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,
印度洋,北冰洋}
(1)
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z
有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c……}
2)
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集
含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集
不含任何元素的集合 例:{x|x
2
=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,
;(2)A与B是
同一集合。
?
B
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
?
A
或B
?
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1}
“元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
第 1 页 共
9 页
②真子集:如果A?B,且A?
B那就说集合A是集合B的真子集,记
作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么
A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3.
不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ
规定: 空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集。
?
有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
三、集合的运算
运算交 集
类型
定
由所有属于A且属
义
于B的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交集
.记作A
?
B
并 集 补 集
由所有属于集合A或
属于集
合B的元素所
组成的集合,叫做A,B
的并集.记作:A
?
B
设S是
一个集合,A是
S的一个子集,由S中
所有不属于A的元素
组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余
集)
记作
C
S
A
,即
(读作‘A交B’),(读作‘A并B’),
即A
?
B={x|x
?
A,即A
?
B ={x|x
?
A,
且x
?
B}.
或x
?
B}).
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}
韦
恩
图
示
S
A
B
A
B
A
图1
图2
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性
A
?
A
?
A
?
A
?
质
A=A
Φ=Φ
B=B
?
A
B
?
A
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ.
A
?
B
?
B
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对
应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一
确定的数f(x)和它对应,那么就
称f:A→B为从集合A到集合B
的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,
x的
取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数
值,函数值的集合{f(x
)| x∈A }叫做函数的值域.
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
4.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某
一个确定的
对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有
唯一确定的元素y
与之对应,那么就称对应f:A
?
B为从集合A
到集合B的一个映射。记作“f(对应
关系):A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f
:
A
→
B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
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(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
5.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并
集.
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y
=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D
内的任意两个自变量x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
),那
么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的
单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
时,
都有f(x
1
)
>
f(x
2
),那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称<
br>为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2)
图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数,那么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的
图象从左到右是上
升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)
定义法:
1
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
○
2 作差f(x
1
)-f(x
2
);
○
3 变形(通常是因式分解和配方);
○
4
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
○
5
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数<
br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
,y=f(u)
的
单调性密切相关,其规律:“同增异减”
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
第 4 页
共 9 页
那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—
f(x),那么f(x)
就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○
2确定f(-x)与f(x)的关系;
○
3作出相应结论:若f(-x)
= f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)
○
是偶函数;若f(-x)
=-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函
数.
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根
式的概念:一般地,如果
x
?
a
,那么
x
叫做
a<
br>的
n
次方根,
n
其中
n
>1,且
n
∈
N
*
.
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n
是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
?
a(a?0)
?
?
a(a?0)
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,
m,n?N
*
,n?1)
m
n
,
a
?
?<
br>1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a
?0,m,n?N
*
,n?1)
?
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)
a
·
a?a
r
rr?s
x
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
.
rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a(a?0,
且
a?1)
叫做
第 5 页 共 9 页
指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
06
5
44
33
221
1
1
1
-4-2
0
-1
246
-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
定义域 R
值域y>0
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: <
br>(1)在[a,b]上,
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),
f(b)]
或
x
[f(b),f(a)]
;
(2)若
x?
0
,则
f(x)?1
;
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?
R
;
(3)对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1)
,总有
f(1)?a
;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如
果
a
?
N
(a?0,a?1)
,那么数
x
x
x
叫做以
.
a
为底
..
N
的对数,记作:
x?log
a
N
(
a
— 底数,
N
—
真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
x
2
a
?
N
?log
a
N
?
x
;
○
3 注意对数的书写格式.
○
两个重要对数:
log
a
N
第 6 页 共 9 页
1 常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
○
? 指数式与对数式的互化
幂值
真数
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
+
log
aN
; ○
M
?
log
a
M
-
log<
br>a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
2
log
a
○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b
(
a?0,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0).
log
c
a
1
n
(2)
log
a
b?
.
log
a
b
;
log
b
a
m
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a
?1)
叫做对数
函数,其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:
○
1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意
辨别。如
:
y?2log
2
x
,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称
5
其为对数型函数.
2
对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
.
○
2、对数函数的性质:
a>1 0第 7 页 共 9 页
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.50.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1
.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点(1,0)
(三)幂函数
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
(1,0)
1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数,
其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,
1);
(2)<
br>?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?<
br>?1
时,
幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂
函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第
一象限内,当
x
从
右边趋向原点时,图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正
半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零
点的概念:对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义
:函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实
数根,亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(
x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交
点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
○
y?f(x
)
的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
第 8 页 共 9 页
?
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
.
(1)△>0,方程
a
x?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的
图象与
x
轴有两个交点,二次函
数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax?bx?c?0
有两相等实根,二次函数的
图象与
x
轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<
0,方程
ax?bx?c?0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函
数无零点.
2
2
2
2
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