高中数学联赛报名时间-高中数学选修2一1命题的教案
第一章 集合与函数概念
课时一:集合有关概念
1.
集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东
西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.
一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
3. 集合的元素的三个特性:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属
于。例:世
界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的
人……
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:
{…}
如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
1)列举法:将集合中的元素一一列举出来
{a,b,c……}
2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合 例:{x?R|x
2
=-5}
5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a
?
A
?
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
课时二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集 (1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合
有包含关系,称集合
A是集合B的子集。记作:
A?B
(或
B
?
A)
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2.“相等”关系:A=B
(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0}
B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或
BA)
或若集合A?B,存在x
?
B且x
?
A,则称集
合A是集合B的真子集。
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④
如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
?
有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
课时三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属
的元素所组成的集合,
叫于集合B的元素所组成
做A,B的交集.记作的集合,叫做A,B的并
A
?
B(读作‘A交B’),集.记作:A
?
B(读作‘A
全集:一般,若一个集合含有我
们
所研究问题中的所有元素,我们就
称这个集合为全集,记作:U
设S是一个集合,
A是S的一个子
即A
?
B={x|x
?
A,且并B’),即A
?
B 集,由S中所有不属于A的元素组
x
?
B}.
={x|x
?
A,或x
?
B}).
成的集合,叫做S中子集A的补集
(或余集)记作
C
S
A
,
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}
韦恩图示
A
B
A
B
S
A
图1
图2
性 质 A ∩ A=A
A ∩Φ=Φ
A ∩B=B
?
A
AUA=A
AUΦ(C
u
A)∩(C
u
B)= C
u
(AUB)
=A
AUB=BUA
(C
u
A) U
(C
u
B)= C
u
(A∩B)
AU(C
u
A)=U
A∩(C
u
A)=Φ. A
∩B
?
A A AUB
?
A
∩B
?
B
AUB
?
B
课时四:函数的有关概念
1. 函数的概
念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使
对于集合A中的任意一个数x,在集合
B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),
x∈A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A
}叫做函
数的值域.
2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则
3.
函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域
(2)图像法:确定函数图像是否连线,函数的图
像可
以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定
义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x)
, (x
∈A)中的
x
为横坐标,函数
值
y
为纵坐标的点P
(x
,
y)
的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈
A)的图
象.C上每一点的坐标
(x
,
y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反过来,以
满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x
、y
为坐标的点
(x
,
y)
,均在C上 .
(2)
画法
A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,旋转
变换。
(3)函数图像变换的特点:
1)函数y=f(x)
关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
课时五:函数的解析表达式,及函数定义域的求法
1、函数解析式的求法
(1)函
数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,
一是要求出它们之间的对应法则,
二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
2.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数式、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是
使各部分都有意义的<
br>x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致
(两点必须同时具备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
课时六:
1.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反函数表示
法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关
于Y的函数关系式,由X的范围求Y的范围(即
由反
函数的定义域求原函数的值域)。
(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图
像的性质来确定函数的值
域,注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类
型。
课时七
1.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复
合函数。
(4)常用的分段函数
1)取整函数:
2)符号函数:
3)含绝对值的函数:
2.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一
个确定的对应法则f,使
对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,
那么就称对应f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):<
br>A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f
:
A
→
B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射,而映射不一定是函数
课时八、函数的单调性(局部性质)及最值
1、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内
的任
意两个自变量x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
(2)如果对于区间D上的任意两个自
变量的值x
1
,x
2
,当x
1
时
,都有
f(x
1
)
>
f(x
2
),那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的
单调减区间.
注意:
函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单
调不减两种
2、 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数,那
么说函数
y=f(x)
在这一区间
上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图
象从左到右是上升的,减函数
的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
○
2 作差f(x
1
)-f(x
2
);
○
3 变形(通常是因式分解和配方);
○
4
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
○
5
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数<
br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
,y=f(u)
的单调性密切相关,
其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区间和
在一起写成其并集.
课时九:函数的奇偶性(整体性质)
(1)、偶函数
一般地,对于函数f(x)的
定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)
就叫做偶函数.
(2)、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f
(x),那么
f(x)就叫做奇函数.
(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是
○<
br>非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断;
2确定f(-x)与f(x)的关系;
○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) =
0,则f(x)是偶函数;
○
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) =
0,则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
1)在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除仍为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
2)复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数
的定义域是否关于原
点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)
/
f(-x)=
±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
课时十、函数最值及性质的应用
1、函数的最值
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○
2 利用图象求函数的最大(小)值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
○
如果函数y=f(x
)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值
f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数
y=f(x)
在x=b处有最小值f(b);
2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
3、判断函数单调性时也可以用作商法,
过程与作差法类似,区别在于作差法是与
0作比较,作商法是与1作比较。
4、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。
5、在判
断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并
不一定可以判断函
数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。
课时十一
1、
指数与指数幂的运算:
复习初中整数指数幂的运算性质:
a
m
*a
n
=a
m+n
(a
m
)
n
=a
mn
(a*b)
n
=a
n
b
n
2
、根式的概念:一般地,若
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n
>1,且
n
∈
N<
br>*
.
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数。
此时,a的n次方根用符号 表示。
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为
相反数。此时正数a
的正的n次方根用符号 表示,负的n的次方根用符号
表示。正的n次
方根与负的n次方根可以合并成 (a>0)。
注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
?
a(a?0
)
?
?a(a?0)
式子
叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。
3、 分数指数幂
正数的分数指数幂
a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n?
1)
,
a
n
m*
?
m
n
?
1a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n
?N
*
,n?1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4、 有理数指数幂的运算性质
(1)
a
·
a
r
r
?a
r?s
(a?0,r,s?R)
;
rsrs
(a)?a
(2)
(a?0,r,s?R)
;
rrs
(ab)?aa
(a?0,r,s?R)
. (3)
5、无理数指数幂
一般的,无理数指数幂
a
a
(a>0,a是无理
数)是一个确定的实数。有理数指数
幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
课时十二:指数函数的性质及其特点(1)
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?
a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数,其中x是自变
量,函数的定义域为
R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.为什么?
2、在同一坐标平面内画出下列函数的图像:
(1) (2)
(3) (4) (5)
图像特征
a>1 a>1
图像特征
0函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+
a
0
=1
增函数 减函数
a>1
向X、Y轴正负方向无限延伸
图像关于原点和Y轴不对称
函数图像都在X轴的上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看图像逐渐自左向右看图像逐渐
上升。 上升。
在第一象限内图像纵在第一象限内图像纵
坐标都大于1。 坐标都大于1。
x>0,a
x
>1
x<0,0x
<1
x>0, 0x
<1
x<0,a
x
>1
在第二象限内图像纵在第二象限内图像纵
坐标都小于1。 坐标都大于1。