高中数学必修1《 函数的应用》知识点

第4章 函数的应用
第1讲 函数与方程
一、连续函数
连续函数： 非连续函数：



二、方程的根与函数的零点
1、零点：对于函数f
?
x
?
，若?x
0
使f
?
x
0
?
=0，则x
0< br>称为函数f
?
x
?
的零点.


2、函数y =f
?
x
?
的零点?方程f
?
x
?
=0的 实根?函数y=f
?
x
?
图像与x交点的横坐标.
3、零点存在性定 理：

?
?
①y=f
?
x
?
在
?
a,b
?
上连续不断；
p:
?
?q:函数y=f
?
x
?
在
?
ab,
?
内有零点.
?
?
②f
?
a
?
?f
?
b
?
?0.


说明：p是q充分不必要条件.

4、如何证明函数 y=f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内存在唯 一一个零点？

?
①y=f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内单调；
?
p:
?
②y=f
?
x
?
在
?
a,b
?
上连续不断；?q函数:y=f
?
x
?
在
?
ab,
?
内有唯一一个零点.
?
?
③f
?
a
?
?f
?
b
?
?0.

三、用二分法求f
?
x
?
=0的近似解

步骤：

1、寻找x
1
,x
2
,使f
?< br>x
?
1
?f
?
x
?
2
?0;
x
1
?x
2
,求f
?
x
3
?
;
2
3、f
?
x
1
?
?f
?
x3
?
?0，用x
1
,x
3
重复2，
2、令x< br>3
?
f
?
x
2
?
?f
?
x
3
?
?0，用x
2
,x
3
重复2；

4、直到x
i
?x
i?1
?d.

例：用二分法求 方程x?1?0在区间
?
?3,3
?
上的实根,精确到0.5
x1
=?3,f
?
x
1
?
??2;
x
2
?3,f
?
x
2
?
?4;
x
3
? 0,f
?
x
3
?
?1;
x
4
??1.5, f
?
x
4
?
??0.5;
x
5
??0.7 5,f
?
x
5
?
?0.25;
x
6
??1 .125,f
?
x
6
?
??0.125;
x
5?x
6
?0.325?0.5,
则方程的根x
0
?
?< br>?1.125,?0.75
?
,
?取x
0
=?1.125
四、方程f
?
x
?
=g
?
x
?的跟x
0

五、含参的二次方程
方法：主要使用图像法，决不能用韦达定理.
例1、已知方程 2x
2
?ax?1?0的两实根分别在区间
?
0,1
?
，< br>?
1,2
?
上，求a的取值范围.

a
错误解：由韦 达定理x?x???
?
1,3
?
??
12
2
?a?
?
?6,?2
?
说明：此法会把a的范围扩大.

?
正确
?
解：由函数图像：

?
f
?0
?
?0
?
1?0
?
?
f1?0即
? ?
??
3?a?0
??
9?2a?0
f2?0
??
?
?

9
???a??3.
2


解题方法：
(1) 画图像；(2)判断端点，根的判别式，对称轴等；(3)解不等式.

第2讲 函数模型及其应用
一、3类函数的增长差异
1、在同一直角坐标系中，画出函数①y?2
x
; ②y?x
2
;③y?log
2
x的图像.



随着x的增大，增长速度y?a
x
?y?x
n
?y? log
a
x

,

因此，总会存在一个x
xn
0
，当x?x
0
时，就有a?x?log
a
x.

二、常见的5种函数模型
?
1
?
一次函数模型y?ax?b;?
2
?
二次函数模型y?ax
2
?bx?c
?
3
?
指数型模型y?ma
nx
?b;
?
4
?
对数型模型y?mlog
a
nx?b;

?
5
?
幂函数模型y?mx
a
?b.

根据散点图选择恰当模型：

三、应用题

1、理解模型；
2、列函数表达式，写出自变量取值范围；
3、求解.

例 某地新建一个服装厂，从今年7 月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37
万件．由于产品 质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收定单不
至于 过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y＝ax＋b， y＝
1
ax
2
＋bx＋c，y＝ax＋b，y＝ab
x
＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
2
分析 由题目可获取以下主要信息：①已 知函数模型；②选择最优模型．解答本题可先确定解析式，再通过数据
拟合，选择最优模型．本题是通过 数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数
模型．
解 由题知
A
(1,1)，
B
(2,1.2)，
C
(3,1.3 )，
D
(4,1.37)．
①设模拟函数为
y
＝
ax＋
b
，将
B
、
C
两点的坐标代入函数式，
?
3
a
＋
b
＝1.3
?
有
?
??
2
a
＋
b
＝1.2

，解得
??
a
＝0.1
?
?
?
b
＝1

.
所以得
y
＝0.1
x
＋1.
此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的． ②设
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
，将
A
，
B
，
C
三点代入，有
2
a
＋b
＋
c
＝1
?
?
?
4
a
＋2
b
＋
c
＝1.2
?
?
9
a
＋3< br>b
＋
c
＝1.3
2

a
＝－0.05
?
?
，解得
?
b
＝0.35
?
?
c＝0.7

.
所以
y
＝－0.05
x
＋0.35
x
＋0.7.
由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月 份开始将每
月下降(图象开口向下，对称轴
x
＝3.5)，不合实际．
③设
y
＝
ax
＋
b
，将
A
，
B
两点的坐标代入，有
?
a
＋
b
＝1
?
?
2
a
＋
b
＝1.2

?
?
a
＝ 0.48
，解得
?
?
b
＝0.52
?

，
所以
y
＝0.48
x
＋0.52.
把
x
＝3和4代入，分别得到
y
＝1.35和1.48，与实际产量差距较大．
④设y
＝
ab
＋
c
，将
A
，
B
，
C
三点的坐标代入，得
x
ab
＋
c
＝1
?
?
2
?
ab
＋
c
＝1.2
?
?
ab
3
＋
c
＝1.3

a
＝－0.8?
?
，解得
?
b
＝0.5
?
?
c＝1.4
x

，
所以
y
＝－0.8×(0.5)＋1.4，
把
x
＝4代入得
y
＝－0.8×0.5＋1.4＝1.35. 比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性．经过 筛
选，以指数函数模拟为最佳．一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一 段时间内产量
会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰 好反映了这样的趋势．因
此，选用
y
＝－0.8×0.5＋1.4模拟比较接近客观实 际．
x
4

点评 对于数据拟合型函数应用问题，要先确定函数解析式 ，再利用数据对比，确定最优模型，多数情况下要采
用数形结合法．