高中数学必修一知识点总结完整版

C

U
(A











































高中数学必修 1 知识点总结

集合

（1）元素与集合的关系：属于（

）和不属于（ ）

集合与元素
（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性


（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集

（4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法


子集：若


，则


，即 是 的子集。



x


A

x

B


A


B


A


B



、若集合

1
中有

个元素，则集合 的子集有

n

个，真子集有

个。



A


n


A


2


(2
n



-1)



、任何一个集合是它本身的子集，即



注
2


A



A



关系

、对于集合

3

如果



，且

那么




A,B,C,


A


B


B

C,


A C.



、空集是任何集合的（真）子集。



4



集合

真子集：若



且


（即至少存在



ABAB


x
0


但


B x

0

A

），则

A B
是

的真子集。





集合相等：


且



A


B


A


B


且
A

B



交集
定义：






集合与集合




A

B


x x


A


x

B



性质：

，


，


，





，



AAAA


ABBAABA,ABBAB A

定义：



或



并集



A

B


x x


A


x


B



性质：



，


，


，


，


，

运算




AAAA


AABBAABAABBAB A


Card( A B) Card( A)

Card( B) - Card( A


B)



定义： C
U
A

x x

U 且x

A


A



补集 性质：


，


(C
U

A)

A


(C
A)

，


，


U


A


U


C
U

(C
U
A)


A


C
U
(A B) (C
U
A)

(C
，

U
B)

B) (C
U
A)

(C
U
B)

函数

- 1 -

映射定义：设
A
，
B
是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合


A
中的任意一个元素
x
，

B
为从集合
A
到集合

B
的一个映
在集合
B
中都有唯一确定的元素

y
与之对应，那么就称对应


：
f

射

传统定义：如果在某变化中有两个变量


x , y ,
并且对于
x

在某个范围内的每一个确定的值，

y
就是
x
的函数。记作

y




定义



按照某个对应关系
f , y
都有唯一确定的值和它对应。那么

近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。




定义域

值域













































函数及其表示







函数的三要素





对应法则

解析法

列表法

图象法

传统定义：在区间

a ,b
上，若
函数的表示方法





单调性




a

x x


递增区间；如
f ( x )

f ( x


)
1
如，则在上递增
,
是
b , f ( x )

f ( x

) f

( x ) a ,b a ,b

2

，则
2


在
1



导数定义：在区间
a ,b
上，若
1

f ( x ) 0
，则
2


f


( x ) a ,b

f ( x ) a ,b
在

上递增

a,b
,

是递增区间；如

上递减 ,
a,b
是的递减区间。


f ( x )
则
f ( x )
在
a ,b
上递减 ,
a ,b
是的递减区间。

函数

函数的基本性质



























最大值：设函数

y







最值




1
）对于任意的

x

f ( x )
的定义域为
I
，如果存在实数

M

满足：（
。则称是函数
（
2

）存在
x I
，使得
f

0

，都有
I
f (

f ( x )


( x ) M
0

M y

的
最小值：设函数

y


f ( x )
的定义域为
I
，如果存在实数

N
满足：（

1
）对于任意的

x I

，都有

f (




D f

(1)

f (

x )

f ( x ), x
( x )
叫做奇函数，其图象关于原点对称。


奇偶性
( 2)

f (

x )

象关于
y
轴对称。


f ( x ),x
定义域
D
，则

f ( x )
叫做偶函数，其图

奇偶函数的定义域关于原点对称


周期性：在函数

f ( x )
的定义域上恒有
f ( x T ) f ( x )( T 0
的常数

)

则

f ( x )
叫做周期函数，

T
为周期；
T
的
最小正值叫做
f ( x )
的最小正周期，简称周期

定义域，则
（
2

）存在
x I
，使得
f

0

( x ) N
0
。则称

N
是函数
y



f ( x )
的最


（
1
）描点连线法：列表、描点、连线


向左平移

个单位：
y























函数图象的画法



y ,x



a

x

y

f ( x a )


向上平移
b
个单位：
x


x , y


b

y

y

b

f ( x )



向下平移
b
个单位：
x


x , y


b

y

y

b

f ( x )



时）
缩短（当

时）或伸长（当
0 w 1

横坐标变换：把各点的横坐标


x w1
1

到原来的


1 w
倍（纵坐标不变），即

x

wx y

f ( wx )


伸缩变换


1


纵坐标变换：把各点的纵坐标


伸长（
或缩短（


A 1)
到原来的
A
倍
1

（横坐标不变），


y A

y


f ( x )


即
y




1
平移变换

向右平移
a
个单位：
y





y ,x


a

x

y

f ( x

a )



1













1
1




1
1



1

1


y A 1)0


（
2
）变换法


















x
1
2 x
0

x


2 y

y

f ( 2 x

x)

0


0 0


y y
1
2 y
0

y
1
2 y
0
y

0




x
关于直线

对称：


x
1

2 x
0


x
1

2 x
0
x


y

f ( 2 x

x )


x
x

对称变换


0

y


y
1


y
1

y


0


x
关于直线
y

x
1

x


y

对称：


x
1


2 y

y

f ( x )


0

y
1
y 2 y
0

y
1
2 y
0
y

0




1
x
关于直线
y

x

x
1

y

f

( x )




关于点
( x

, y

)
对称：
x x

1

1

2 x
0

对称：

y


y
1


第二章

基本初等函数

附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零； 2、偶次方根的被开方数大于等于零；

3、对数的真数大于

零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于

1；5、三角函数正切函数

y

tan x
中

x k

2

( k Z )
；余切函数
y

cot x
中；

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，

- 2 -

应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法三、
函数的值域的常用求法：

1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法； 7、直
接法




四、函数的最值的常用求法：

1、配方法； 2、换元法； 3、不等式法； 4、几何法； 5、单调性法五、
函数单调性的常用结论：











1、若
f (x), g( x)
均为某区间上的增（减）函数，则

增（减）函数

2、若
f (x)
为增（减）函数，则

f ( x)

g ( x)
在这个区间上也为

f ( x)
为减（增）函数

f ( x)
与
g( x)
的单

3、若
f ( x)
与
g (x)
的单调性相同，则

调性不同，则

y






y f [ g (x)]
是增函数；若

f [ g(x)]
是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作

函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1

、如果一个奇函数在

奇函数又是偶函数，则

x 0


处有定义，则

f (0)


0
，如果一个函数
y


f ( x)
既是

f ( x) 0
（反之不成立）








2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数

y f (u)
和
u

g( x)
复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那

么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5 、 若 函 数


f ( x)
的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则
f ( x)
可 以 表 示 为


f (x)
























1
2

[ f ( x) f ( x)]
[ f (x) f ( x)]

，该式的特点是：右端为一个奇函数
2

1
和一个偶函数的和。

- 3 -

零点：对于函数



零点与根的关系




y

定理：如果函数 y

那么，函数 y

程f ( x )

关系：方程 f ( x )

（ ） 我们把使

的实数

叫做函数

的零点。


f

x ,

f ( x )0

x

yf ( x )

f

( x ) 在区间 [ a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f ( a )

f ( x ) 在区间 [ a, b ]内有零点。即存在 c

( a , b ), 使得 f ( c )



f ( b )

0, 这个 c也

0的根。（反之不成立）

0 有实数根


函数 y

f ( x ) 有零点

函数 y


f ( x )的图象与 x轴有交点

函数与方程

(1) 确定区间 [ a , b], 验证 f ( a)


f ( b )


0,

给定精确度

；






函数的应用


(2) 求区间 ( a , b) 的中点 c


(3) 计算 f ( c )；


二分法求方程的近似解

①若 f ( c )





















0, 则 c 就是函数的零点；

f ( c )

0,

则令

b






②若

f ( a )


③若


f ( c )


f ( b)




则令


（此时零点

(

,

)）；

x
0


c


b


a

c


0,


a -

b

, 则得到零点的近似值

（此时零点


x

( a , b )

）；

0






(4) 判断是否达到精确度

几类不同的增长函数模型

函数模型及其应用

用已知函数模型解决问题

建立实际问题的函数模型



：即若


a ( 或b ); 否则重复 2









根式：

n
a , n 为根指数，


a 为被开方数




分数指数幂

指数的运算















n

a

m
m

a

n





性质

a a


( a )

( ab )


rs
r
a

a
rs
指数函数





rsrs
( a


0, r , s


Q )



Q )








( a

0, r , s


Q )

0, b


0, r



指数函数

a b ( a


rs





定义：一般地把函数


性质：见表


1


对数：

x




y


a

( a


0 且 a

x
1)

叫做指数函数。













lo g
a
N

, a 为底数，


N

为真数









基本初等函数





对数的运算

对数函数



log

a

( M

log

a


N

)

log

n



log

a

M


a

M



log

a

N ;


M

N



log

a
N



性质








log

a

M

换底公式：

n

log

log

a

M ; ( a

0,

a

c


1 , M

0,

N0)




a


对数函数














y



b



log


log



b

a


( a , c



0 且 a


log



c



0 且 a , c


1) 叫做对数函


1 , b

定义：一般地把函数


性质：见表



a

x ( a

1



幂函数






















定义：一般地，函数

性质：见表

2

yx 叫做幂函数，


x 是自变量，


是常数。


- 4 -

表

1

定

义

域

值

域


对数数函数

指数函数
y a
a


x
0, a


1





y log
a

x a 0, a 1

x 0,

y

R






















x R

y 0,

图

象






过定点

(0,1)

减函数





过定点
(1,0)






增函数


减函数

增函数

x

(

性

质

x


,0)


y


时，


(0,

)

y

(0,1)

时，

时，

时，

(1,

x

(

,0)

y

(0,1)
x

(0,1)

y

时，

y

(1, )

x

(0,


时，



x

(1,

)

时，

(0,

) x

(0,1)


y

(

,0)

时，

y (

,0)x

(1,

)

y

(0, )














a b

a b

a b

a

b

表 2


幂函数
y

x (

1

R)

p



0


0


1


1

q













为奇数

q

p

为奇数



奇函数


- 5 -

p为奇数

q为偶数

p为偶数

为奇数





q

偶函数


第一象限

性质



















































































减函数

增函数

过定点

（0，1）

- 6 -