新课标高中数学必修1必修四公式大全

数学必修1必修4常用公式及结论
一、集合
1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，则称A是B的子集。记作
A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作A
?
B 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
A?B

?
3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
AB

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
AB

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为
C
U
A

5．集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}< br>的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；
6.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
*
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

① f ( x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f ( x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax
2
+bx + c（
a?0
）的性质
1、顶点坐标公式：< br>?
?
?
?
?
b
,
4ac?b
2?
b
4ac?b
2
2a4a
?
?
， 对称轴：
?
x??
2a
，最大（小）值：
4a

2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2 )顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;(3)两根式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a
m
? a
n
= a
m + n
，（2）
a
m
?a
n
?a
m?n
，（3）( a
m
)
n
= a
m n
（4）( ab )
n
= a
n
? b
n

n
n
（5）
?
?
a
?
?
b?
?
?
a
n
?n
1
n
m
n< br>?
1
b
n
（6）a
0
= 1 ( a≠0)（7）
a?
a
n
（8）
a
m
?a
（9）
a
m
?
m
a
n

2、根式的性质 （1）
(
n
a)
n
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?< br>a,a?0
,a?0
.
?
?a
4、指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

Y
Y

a > 1
0 < a < 1
1
1

0
X
0
X
1

5.指数式与对数式的互化：

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

五、对数与对数函数
1对数的运算法则：
logN
（1）a
b
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a
a = 1（4）log
a
a
b
= b（5）a
a
= N
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N （7）log
a
(
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
log
b
N

log
b
a
（8）log
a
N
b
= b log
a
N （9）换底公式：log
a
N =
n
（10）推论
log
a
m
b?
（11）log
a
N = < br>n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
1
（12）常用对数：lg N = log
10
N （13）自然对数：ln A = log
e
A （其中 e = 2.71828…）
log
N
a
2、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

Y
a >1
Y

0 < a < 1

X
0
1
1

0

六、幂函数y = x
a
的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .

0 < a < 1 a < 0

a > 1


例如： y = x
y?
2
X
x?x

y?
1
2
1
?x
?1

x
七.图 象平移：若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单 位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象； 规
律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题:如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
九、函数的零点：1.定义：对于
y?f(x)
，把使
f(x)?0
的X叫
y?f(x)
的零点。即

y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函 数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一 条曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f(c)?0
，C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度
?
）
a?b
（1） 确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
;(2 )求
?
a,b
?
的中点
x
1
?

2
（3）计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
)?0
，则
x
1
就是零点；②若
f(a)?f(x
1
)?0
，则零点
x
0
?
?
a,x
1?
③若
f(x
1
)?f(b)?0
，则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
；
（4 ）判断是否达到精确度
?
，若
a?b?
?
，则零点为
a或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否则重复（2）到（4）
基本三角函数
2

Ⅰ
?

?

2
?
?
Ⅰ
?
?
Ⅱ
?
?
Ⅲ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
2
?
?
Ⅳ
?
2
Ⅱ ? 终边落在x轴 上的角的集合：
?
??
?
??
,
?
?z
?
? 终边落在y轴上的角的集合：
????
?
?
? 终边落在坐标 轴上的角的集合：
??
?
??
?,
?
?z
???
?
,
?
?z
????

22
????
? 基本三角函数符号记
1
?
?弧度
“一全，二正弦，三切，四
?

忆：
11
2
180
S?l r?
?
r
余弦”
22
180
1 弧度?度

?
?
180?
?
弧度
l?
?
r
360度?2
?
弧度
?
.
tan
?
cot
?
?1
?倒数关系：
Sin
?
Csc
??1

Cos
?
Sec
?
?1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对
平方关系：
Sin
?
?Cos
?
?1

边对应的三角函数的平方
22
tan
2
?
?1?Sec< br>2
?
1?Cot
2
?
?Csc
2
?
乘积关系：
Sin
?
?tan
?
Cos
?
， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin
?
?
?2k
?
?
?Sin
?
, k?z
Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
?
角
?
与角?
?
关于x轴对称

Sin
?
?
?
?
??Sin
?

Cos
?
?
?
?
?Cos
?
tan
??
?
?
??tan
?
Sin
?
?
?< br>?
?
?Sin
?
Cos
?
?
?
?< br>?
??Cos
?
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
?
角
?
?
?
与角
?
关于y轴对称


3

Sin
Cos
tan
Cot
Se c
Csc

?
角
?
?
?
与角< br>?
关于原点对称
Sin
?
?
?
?
?
??Sin
?
Cos
?
?
?
?
?
??Co s
?

tan
?
?
?
?
?
?ta n
?
Sin
?
?
?
?
?
?
??
?
?
角
?
2
?
?
与角
?< br>关于y?x对称
?
2
?
?
?Cos
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?

?
2
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?
2
?
?
?
?
??Sin
?
tan
?
?
?
?
?
?
?
?cot
?
tan
?
?
2
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
??cot
?
上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号 看象限
三角函数的性质

性 质
y?Sin x

y?Cos x

定义域 R R
值 域
?
?1,1
?

?
?1,1
?

周期性
2
?

2
?

奇偶性 奇函数 偶函数
单调性
?
?
?
2k
?
?
??< br>?
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数
2
,2k
?
?
2
?
?
,k?z,增函数
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数

?
?
?
2k
?
?< br>?
3
?
?
2
,2k
?
?
2
?
?
,k?z,减函数

对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

?
?< br>?
k
?
?
?
2
,0
?
?
?
,k?z

对称轴
x?k
?
?
?
2
,k?z

x?k
?
,k?z


5
图
4
5
3

4
y
2
3

y
1
2
像
x
1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
-π 23π 2x
-1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
Oπ 2
2
π
46
2π
8
-1
-2
-2
-3
-3-4
-4
-5
-5
-6




性 质
y?tan x

y?cot x

定义域
?
?
x
?
?
?
xx?
??
,?
?z
?

?
x?
??
?
2
,
?
?z
?

?

4

值 域 R R
周期性
?

?

奇偶性 奇函数 奇函数
单调性
?
?
??
?
?
k
?
?
2
,k
?
?
2
?
?
,k?z,增函数

?
k
?
,k
?
?< br>?
?
,k?z,增函数

对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

?
?
?

?
k
?
?
2
, 0
?
?
?
,k?z
对称轴 无 无

10
y


8
6
图
y
4

2
x
像
-15-10-5
-3π 2-π -π 2Oπ 2π 3π 2
51015
-2
0
x
-4
-6
-8
-10

?
怎样由y?Sin x变化为y?ASin
?
?
x?
?
?
?k
？
振幅变化：
y?Sinx

y?ASinx
左右伸缩变化：

y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)

上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量
a,
?
a?0
?
,b,如果有

一个实数
?
,使得b?
?
a,
?
a?0
?
,则b与a是共线 向量；反之如果b与a是共线向量

那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?
PP
2

.
线段定比分点坐标公式

线段定比分点向量公式
x?
x
1
?
?
x
2
?



1?
?



y?
y?
?
y
OP
1
?
?
OP< br>12
1?
?

.
OP?
2

1?
?



?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时

线段中点坐标公式 线段中点向量公式






.

OP?
OP
1
?OP
2
2


5

x?x
2
x?
1
2




y?
y
1
?y
2

2

Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理：
b?
?
a
?
a

?
推广
平面向量基本定理：
a?
?
e ?
?
e ,
?
?
其中e
1
,e
2
为该平面内的两个
1122
?
?
不共线的向量
?

?
?
?
?0
?


?
推广
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?
?
3
e
3
,
空间向量基本定理：
??

其中e,e,e为该空间内的三个
123
??
?不共面的向量
?
??
Ⅸ一般地，设向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0,如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来，如果
x
1y
2
?x
2
y
1
?0,则a
∥
b.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
，其中θ为两向量的夹角。
Cos< br>?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
12
x
2
2
?
y
2
2

特别的，
a?a?a?a 或者 a?
Ⅺ
2
2
a?a


如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
Ⅻ
若正n边形A
1
A
2
???A
n
的中心为O , 则OA
1
?OA
2
?????OA
n
?0

三角形中的三角问题
A?B?C
?
A?B
?
C
?
A?B?C?
?
, ? , ? -
2 2222
?
A?B
??
C
?
Sin
?
A? B
?
?Sin
?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
??
?Cos
??

?
2
??
2
?

?
A?B
??< br>C
?
Cos
??
?Sin
??
?
2
??
2
?
? 正弦定理：
abca?b?c
???2R?

SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
6

222
余弦定理：
a?b?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c?2acCosB
c
2
?a
2
?b
2

?2abCosC
?
b
2
?c
2
?a
2
, CosB
a
2
?c
2
?b
2
CosA
变形：
2bc
?
2ac
2

CosC ?
a?b
2
?c
2
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换
? 两角的和与差公式：
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
??
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos
?
?
??
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
ta n
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
变形：
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
1?tan
?
tan
?
, T
(
?
?
?
)
tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
其中
?
,
?
,
?
为三角形的三 个内角
1?tan
?
tan
?
, T
(
?
?
?
)
? 二倍角公式：
Sin2
?
?2Sin
?
Cos
?
Cos2
?
?2Cos< br>2
?

?1?1?2Sin
2
?
?Cos
2
?
?Sin
2
?
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
1?Cos
?
? 半角公式：
Sin
?
2
??
2
tan
?
1?Cos< br>?
Sin
?
1?Cos
2
??
1?Cos
?
?
1?Cos
?
?
?

Sin
?
Cos
?
1?Cos
?
2
??
2
? 降幂扩角公式：
Cos
2
?
?
1?Cos2
?
, Sin
2
?
?
1?Cos2
?

22Sin
?
Cos
?
?
1
2
?
Sin< br>?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?
? 积化和差公式：
Cos
?
Sin
?< br>?
1
2
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?

Co s
?
Cos
?
?
1
2
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
??
?
Sin
?
Sin
?
??
1
2?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
??
?
?
?
?
Sin
?
?Sin
??2Sin
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
2
?
?
Cos
?
?
2
?
?
?
?
?
S?S?2SC
? 和差化积公式：< br>Sin
?
?Sin
?
?2Cos
?
?
??
2
?
?
Sin
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
（
S?S?2CS
） Cos
?
?Cos
?
?2Cos
?
C?C?2
?
?
?
?
?
?
2
?
?
Cos?
?
?
?
?
?
CC
?
2
?< br>?
C?C??2SS
Cos
?
?Cos
?
??2Si n
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
?
?
Sin
?
?
2
?< br>?
7

2tan
Sin
??
?
2
1?tan
2
?
2
?
?
? 万能公式:
1?tan
2
tan
Cos
?
?

2
tan
?
?
2

1?tan
2
?
2
1?tan
2
?
2
2
? 三倍角公式：
Sin3
?
?3Sin
?
?4Sin
3
?

tan3
?
?
3tan
?
?tan
3
?< br>
Cos3
?
?4Cos
3
?
?3Cos
?
1?3tan
2
?
“三四立，四立三，中间横个小扁担”
补充
1．常见三角不等式：（1）若
x?(0,
?
2
)< br>，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x?(0,
?< br>2
)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?< br>?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?< br>?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
ta n
?
?
b
a
).
3. 三倍角公式 ：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(
??
3
?
?
)sin(
3
?
?
)
.
cos3
?
?4cos
3
??3cos
?
?4cos
?
cos(
??
3
?
?
)cos(
3
?
?
)
.
tan3
?
?
3tan
?
?tan
3
?
1?3tan2
?
?tan
?
tan(
?
3
?
?< br>)tan(
?
3
?
?
)
.
4.三角形面积 定理：（1）
S?
1
2
ah?
1
2
bh?
1
ab
2
ch
c
（
h
a
、h
b< br>、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
（2）
S?
12
absinC?
11
2
bcsinA?
2
casin B
.
(3)
S
1
2
?OAB
?
2< br>(|OA|?|OB|)?(OA?OB)
2
.


8