高中数学必修1-5测试题

高中数学必修1-5综合测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1
1.
已知集 合
M?{?2,?1,0,1,2}，N?{x|?2
x?1
?8，x?R}
，则
M?N?

2
A．
{0,1}
B．
{?1，0}
C．
{?1,0,1}
D．
{?2,?1,0,1,2}

2.
“
?
?
π
”是“
tan2
?
?3
”的（ ）
6
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A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.
已知实数列1，a，b，c
，
2成等比数列，则abc等于（ ）
A．4 B．
?
4 C．
22
D．
?
22

4.
函数
y?a
x
(0?a?1)
的反函数的图象大致是 ( )
y y y
1
O
A
1
x O
B
1 x O
C
y
1
x O
D

x
??
??
5.
若平面向量
a?(?1,2 )
与
b
的夹角是180°，且
|b|?35
，则
b
的坐标为（ ）
A．
(3,?6)
B．
(?6,3)
C．
(6,?3)
D．
(?3,6)

6.已知
x?y??1,x?y?4,y?2?0,则
2x?4y
的最小值是
A．8 B．9 C．10 D．13

7.
如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图，
则组成此几何体的长方体木块块数共有
A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
8.
在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的
五个小球， 这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标
注的数字之和为3或6的 概率是
A．
3
1
11
B． C． D．
5
101012
9.
已知在
? ABC
中，
sinB?
45
?
,
?
tanA?，则（ ）
1312
A．
C?A?B
B．
C?B?A

C．
B?A?C
C．
A?B?C

10、如果执行右面的程序框图，那么输出的
S?

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

11.
要得到函数
y?
图象（ ）
3
?
?
1
sin (2x?)
的图象，只需将函数
y?sin(2x?)?sin
2
x?
的
23
62
??
个单位长度 B．向右平移个单位长度
63
??
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
63
A．向右平移
12. 在某种新型材料的研 制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数
中的一个近似地表示这些数据的规律， 其中最接近的一个是（ ）
x

1.95

3.00

3.94

5.10

6.12

y

0.97

1.59

1.98

2.35

2.61

1
2
(x?1)
D.
y?2.61cosx

2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
A.
y?2
B.
y?log
2
x
C.
y?
x
13.
设数列
?
a
n
?中，
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?n?1，则通项
a
n
?
__________。
a
11< br>?a
12
?
?
?a
20
a
1
?a< br>2
?
?
?a
30
成立.类似地，在等比
?
1030
数列
?
b
n
?
中，有_____________ ____________________成立.
14.
已知等差数列
?
a
n
?
中，有
?
x?y?2?0
?
15.
设实数
x,y
满足约束条件
?
x?2y?1?0
，则
z ?(x?1)
2
?(y?2)
2
的最小值
?
y?0
?
是 .
16.过点
(3,4)且与直线3x?y?2?0
平行的直线的方程是
三、解答题：本大题共4小题，共48分．
17.
等差数列
?
a
n
?
中，
a
4
?10
且
a
3，a
6
，a
10
成等比数列，求数列
?
a
n< br>?
前20项的和
S
20
．
?
18．已知
函 数
f(x)?2cos
2
?
x?2sin
?
xcos
?
x?1(x?R，
?
>0)
的最小正周期是．
2
（Ⅰ）求
?
的值；
（Ⅱ）求函数
f(x)
的最 大值，并且求使
f(x)
取得最大值的
x
的
集合．
D
19.
如图，在直四棱柱
ABC?
1
A
中D
，已知
1
B
1
C
DC?DD
1
?2 AD?2AB
，
AD⊥DC，ABDC
．
（1）求证：
D
1
C⊥AC
1
；
（2）设
E
是
DC
上一点，试确定
E
的位置，使
D
1E
平面
A
1
BD
，并说明理由．
20、（12分）掷三颗骰子，试求：
（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；
（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

选做题
（时间：30分钟 满分：40分）
一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
1.
如果执行右面的程序框图，那么输出的
S?

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
2.
．已知向量
a?(1,n)，b?( ?1,n)
，若
2a?b
与
b
垂直，则
a?

A．
1
B．
2
C．
2
D．4
二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
3.
设数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
? a
n
?n?1
，
则通项
a
n
?
__________。
4.
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六 棱柱的顶点都在同一个球
面上，且该六棱柱的高为
3
，底面周长为3，那么这个球的体 积为_________．
三、解答题：本大题共2小题，共30分．
5.
等差 数列
?
a
n
?
中，
a
4
?10
且
a
3
，a
6
，a
10
成等比数列，求数列
?
a
n
?
前20项的和
S
20
．

?
6.
已知函数
f(x)?2cos
2
?
x? 2sin
?
xcos
?
x?1(x?R，
?
>0)
的最小正周期是．
2
（Ⅰ）求
?
的值；
（Ⅱ）求函数
f (x)
的最大值，并且求使
f(x)
取得最大值的
x
的集合．

参考答案

一、选择题 （答案+提示）
1.C
.
?
?p是?q
的充分不
2.
A 条件
p: x?1或x??3
，则
?p:?3?x?1
；
?q:x?a
?
必要条件，所以
a?1
，故选A.
总结点评 主要考查充要条件，和含参不等式的解法，可以直接通过画数轴得到.
3.
C 由1， a，b，c，2成等比数列知
ac?b
2
?1?2
，∴
b??2. 显然
b??2
不
符合题意，故
b?2
，所以
abc ?22
.
总结点评 本题考查等比数列的性质，熟练运用等比数列的性质是关键.
4.
C 设当
x??2
时
f(x)
图象上任意一点为 P(x，y)，则由对称性知P(x，y)关于直线x=-1
对称点为Q(-2，-x，y)，则
y?
11
，即所求
f(x)??
.
?x?2x?2
总结点评 本题考查函数图象的对称性，通过图象关于直线对称转化为点关于直线

对称.
5.
B |a+b|=
(m?p)
2
?(n ?q)
2
?
22
(m?p?n?q)??8?42
，当
22
m?p?n?q?4
时取等号.
总结点评 本题通过求向量模的公式进行转化，通过重要不等式求最小值.
6.
C
总结点评 考查线性规划的最大值和最小值，
准确画图找到可行域是关键.
7.B
1
8.
【解析】 随机取出2个小球得到的结果数有
?5?4?10
种（提倡列举）。取出的小球标
2
注的数字之和为3或6的结果为
{1,2},{1 ,5},{2,4}
共3种，故所求答案为A。
方法二： 从五个球中任取两个共有=10种 ，而1+2=3，2+4=6，1+5=6，取出的小球标注的
数字之和为3或6的只有3种情况，故取 出的小球标注的数字之和为3或6的概率为
选A．
3
，
10
9.
A 由
tanA?
52511 2
得1?tan
2
A?1??
?
,
?
所以cosA ?
.
2
12144
cosA
13
∴
sinA?
54
?sinB?
?
.

1313
以所
A ?B
?
,
?
又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAs inB?
48?51535
?
，即
13?1313
总结点评 本题考查三角函数的变换公式，通过比较三角形各角的三角函
C?A?B.
?
数值来判 断三个角的大小关系.
,
?
(x
1
?2)(x
2
?2)?0
知x
1
，x
2
中有一个小于2，一个大于2，即不
10.
A 由
x
1
?x
2
?4
?
妨设
x
1
?2?x
2
?
,
?
又f(?x) ??f(x?4)
知
f(x)
以（2，0）为对称中心，且当x>2时，
,< br>?
f(x
2
)?f(4?x
1
)??f(x
1
)
，所以
f(x)
单调递增，所以
x
1
?2?4?x1
?
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，故选A.

二、填空题 （答案+提示）
11.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1

本小题主要考查圆与直线相切问题。
设圆心为
(a,1),
由已知得
d?< br>|4a?3|
1
?1
，
?a?2
舍
a??

2
5
12. 163、199、175、128、395 直接从第八行第四列开始读取.

总结点评 本题关键是分清第八行第四列的数为1，且考查了统计学中的随机数表的
运用.
13.

x?y?1?0
。
【试题解析】易知点
C
为
(?1,0)
，而直线与
x?y?0
垂直，我们设待求的直线的方程为< br>y?x?b
，将点
C
的坐标代入马上就能求出参数
b
的值为< br>b?1
，故待求的直线的方程为
x?y?1?0
。
【高考考点】圆的标准方程、两直线间的关系。
14.
①④⑤ 在②中，|x
2
|?M|x|即|x|?M
，∵x∈R，故不存在这样的M，在③中
??
f(x)?2sin(x?)
，即
2|sin(x?)|?M|x|
， 即
2?M|x|
对一切x恒成立，故不
44
存在这样的M.
总结点评 本题主要考查函数的性质，通过检验对一切实数x都有
|f(x)|?M|x|
来判断.

三、解答题 （详细解答）
15.
解：（Ⅰ）
f(x)?1 ?cos
?
x?a?3sin
?
x?2sin(
?
x?)? a?1

6
因为函数
f(x)
在
R
上的最大值为< br>2
，所以
3?a?2
故
a??1
…………
（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：
f
(
x
)
?
2sin(
?
x?
把函数
f
(
x
)
?
2sin(
?
x?
?
?
6
)

?
6
)
的图象向右平移
?
个单位，
6
?
可得函数
y?g(x)?2sin
?
x
………………………………… ………
又
?
y?g(x)
在
[0,
?
?g(x)
的周期
T?
4
2
?
]
上为增函数
所以
?
的最大值为
2
…………………………
16．（1） 证明：在直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中，



连结
C
1
D
，

?
?
?
即
?
?2

?DC?DD
1
，
?
四边形
DCC
1
D
1
是正方形．

?DC
1
⊥D
1
C
．
又
AD⊥DC，
AD⊥DD
1
，DC⊥DD
1
?D
，
?A D⊥
平面
DCC
1
D
1
，
D
1
C ?
平面
DCC
1
D
1
，
?AD⊥D
1
C
．
?AD，DC
1
?
平 面
ADC
1
，且
AD⊥DC
1
?D
，
?D
1
C⊥
平面
ADC
1
，
C
又
AC
1
?
平面
ADC
1
，
?D
1
C⊥A
1
．
（2）连结
AD
1< br>，连结
AE
，设
AD
1
?A
1
D?M
，







BD?AE?N
，连结
MN
，
D
1

A
1


B
1
C
1

?
平面
AD
1
E?
平面
A
1
BD?MN，
要使
D
1
E∥
平面
A
1
BD，须使
MN∥D
1
E
，
又
M
是
AD
1
的中点．
?N
是
AE
的中点．
又易知
△ABN≌△EDN
，
?AB?DE
．
即
E
是
DC
的中点．
M
D
A
B
E
C
综上所述，当
E
是
DC
的中 点时，可使
D
1
E∥
平面
A
1
BD
．
17.(文) （Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基
本事件空间
(A
1
,B
1
,C
2
)，(A
1
,B2
,C
1
)
，
(A
1
,B
2
,C
2
)，(A
1
,B
3
,C
1
)
，
(A
1
,B
3
,C
2
)
，
? ?
?(A
1
,B
1
,C
1
)，
(A
2
,B
1
,C
1
)，(A
2
,B
1,C
2
)，(A
2
,B
2
,C
1
)< br>，
(A
2
,B
2
,C
2
)
，
(A
2
,B
3
,C
1
)
，
(A
2
,B
3
,C
2
)
，
(A
3
, B
1
,C
1
)，(A
3
,B
1
,C
2
)，(A
3
,B
2
,C
1
)
，
(A
3
,B
2
,C
2
)，(A
3
,B< br>3
,C
1
)，(A
3
,B
3
,C
2
)?
．
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基 本事件的
发生是等可能的．
用
M
表示“
A
1
恰被选中”这一事件，则
(A< br>1
,B
1
,C
2
)，(A
1
,B
2
,C
1
),(A
1
,B
2
,C
2
)，(A
1
,B
3
,C
1
)，(A
1
,B
3
,C
2
)
?
，
M?
?
(A< br>1
,B
1
,C
1
)，
事件
M
由6个 基本事件组成，因而
P(M)?
61
?
．
183
（Ⅱ）用
N
表示“
B
1
，C
1
不全被选中”这一事件，

则其对立事件
N
表示“
B
1< br>，C
1
全被选中”这一事件，
(A
2
，B
1
，C
1
)，(A
3
，B
1
，C
1
)}，事件
N
有3个基本事件组成， 由于
N?
{
(A
1
，B
1
，C
1
)，
所以
P(N)?
311 5
?
，由对立事件的概率公式得
P(N)?1?P(N)?1??

18666
17（理）（1）第一次由甲投且第二次由投的概率为
111
.
，故前两次由甲投的概率为
1??
?
222
（2）依题意可知
P(? ?0)?
11111115
??1?
，
P(??1)???1???1?，
224232212
12113
P(??2)???1?
，∴
E??
.
23312
总结点评 本题主要考查概率及数学期望，做概率 题要注意多读题，要注重可能事
件概率，互斥事件的概率加法公式，独立事件概率乘法公式，n次独立重 复试验中发生k次
的概率问题.
18. 1）∵
a
n?1
?an?1
a
n
22
?
2
a
n
?
0
，∴
(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
? 2a
n
)?0
，
∵数列
{a
n
}
的各项 均为正数，∴
a
n?1
?a
n
即
a
n?1
∵
a
3
?0
，∴
a
n?1
?2a
n
?0
，
?2a
n
(n∈N
?
)，所以数列
{a
n
}
是以2为公比的等比数列.
?2是a
2
?
,
?
a
4
的等差中项，∴
a
2
?a
4
?2a
3
?4
，
∴
2a
1
?8a
1< br>?8a
1
?4
，∴a
1
=2，
?2
n
. ∴数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
（2）由（1）及
b
n
?a
n
log
1
a
n
，得
b
n
??n?2
n
，
2
∵
S
n
∴
S
n
?b
1
?b2
???b
n
，
??2?2?2
2
?3?2
3
?4?2
4
???n?2
n
， ①
??2
2
?2?2
3
?3?2
4
?4?2
5???(n?1)?2
n
?n?2
n?1
② ∴< br>2S
n
①-②得，
S
n
?2?2?2?2?2???2?n? 2
2345nn?1
2(1?2
n
)
??n?2
n?1
1?2
?(1?n)?2
n?1
?2
.
要使
S
n

?n?2
n?1
?50
成立， 只需
2
n?1
?2?50
成立，即
2
n?1
?52
?
,
?
n?5
?
.

< br>∴使
S
n
?n?2
n?1
?50
成立的正整数n的最 小值为5.
解题探究 本小题第一问求数列的通项公式，需选判断数列的构成规律，第二问 求
n的最小值，需求出S
n
，由b
n
的表达式可知，用错位相减法求 和，然后解不等式即可.
选做题答案
1. C【分析】 由程序知，
S?2?1? 2?2???2?50?2?
1?50
?50?2550.

2
2.
:C【解析】
2a?b=(3,n)
，由
2a?b
与
b
垂直可得：
(3,n)?(?1,n)??3?n
2
?0?n??3
，
a?2
．
3.
．
n
?
n?1
?
2
?1
_。
4.

V?
4
?
．
3
1
，故其主对角线为1，从而球的直径
2
4
?

3
【试题解析】∵正六边形周长为3，得边长为
2R?
??
3?1< br>2
?2
∴
R?1
∴球的体积
V?
2
5.
解：设数列
?
a
n
?
的公差为
d
，则
a
3
?a
4
?d?10?d
，
a
6
?a
4
?2d?10?2d
，
a
10
?a
4
?6d?10?6d
．
由
a
3
，a
6
，a
10
成等比数列得
a
3< br>a
10
?a
6
，
即
(10?d)(10?6d)?(10?2d)
，
整理得
10d?10d?0
，
解得
d?0
或
d?1
．
当
d?0
时，< br>S
20
?20a
4
?200
． ············· ·················································· ································
当
d?1
时，
a
1
?a
4
?3d?10?3?1?7
，
于是
S
20
?20a
1
?
6.
（Ⅰ）解：
f(x)?2

2
2
2
20?19d
?20?7?190?330
．
2

1?cos2
?
x
?sin2
?
x?1

2

?sin2
?
x?cos2
?
x?2


?
??
??
2
?
sin2
?
xcos?c os2
?
xsin
?
?2

44
??
?< br>??
2sin
?
2
?
x?
?
?2
．
4
??

?
由题设，函数
f (x)
的最小正周期是
?2??
，可得
?
，所以
?
?2
．
2
2
?
2
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
f(x )?
?
??
2sin
?
4x?
?
?2
．
4
??
当
4x?
?
?
???k?
?
??2k?
，即
x??(k?Z)
时，
sin
?
4x?< br>?
取得最大值1，所以函数
4
?
42162
?
?k?
??
f(x)
的最大值是
2?2
，此时
x
的集合为
?
xx??，k?Z
?
．
162
??