高中数学必修一二三四五知识点

高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性；
2.元素的互异性；
3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象 或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象 ，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判 定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排
列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1．用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素，就说a属于集合 A 记作 a∈A ，相
反，a不属于集合A 记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的 公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个
集合的方法 ：①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是
{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合
3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之： 集合A不包含于集合B,或集合B不包含 集合A,记作A
?
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B， 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，
我们就 说集合A等于集合B，即：A=B
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
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B(或BA)
2
2

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1、交集的定义：一般地，由所有属于A且 属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B=
{x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元 素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，
即A∪B={x|x∈A，或 x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1） 补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即
A?S
），由S中所有不属于A的元素组成的
集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作： C
S
A 即 C
S
A ={x ? x?S且 x?A}
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
（3）性质：⑴C
U
(C
U
A)=A ⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
四、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯
一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，
x叫做自变量，x的取值 范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x
∈A }叫做函数的值域．
注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域 即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数
的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. < br>(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的 值组成的集
合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定 义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：
（1）构成函数三个要素是 定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域
和对应 关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对 应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域 一致 (两点必须同时具备)
值域补充:（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么 方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
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S
C
s
A
A

（2）应熟悉掌握一次函数 、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
2. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函
数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满 足y=f(x)的每一组有序实
数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。图象C一般的是一条光滑的连续
曲线(或直线) ,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法 < br>A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内 描出相应的点P(x, y)，
最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；
2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。
3. 了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
4．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使 对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有
唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A
?
B”
给定一个集 合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫 做元素b 的
原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对 应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即
强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关 系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）
集合A中的每一个元素，在集合B中都 有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以
是同一个；（Ⅲ）不要求 集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1
○ 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
2
○解析法：必须注明函数的定义域；
3
○图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
4
○列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必 须把自变量代入相应
的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表 达式并用一个左大
括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不 要把它误认为是几
个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数：如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。例如: y=2
y=2cos(X+1)
5．函数单调性
（1）增函数
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2
sinX

设函数y=f(x )的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2< br>，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，
那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x< br>2
，当x
1
2
时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说f(x)在这个区间上是减函数.
区间D称为y=f(x)的单调减区间.
1
注意：○函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2
○必须是 对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) 。
（2）图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f( x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增
函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象 从左到右是下降的.
（3）函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1
○任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
2
○作差f(x
1
)－f(x
2
)；
3
○变形（通常是因式分解和配方）；
4
○定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
5
○下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y =f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数
u=g(x)
y=f(u)
y=f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
单调性
减
增
减
减
减
增
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？
6．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
1
注意：○函数是 奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能
既 是奇函数又是偶函数。
2
○由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是， 对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定
义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
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1
○首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2
○确定f(－x)与f(x)的关系；
3
○作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，
则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首 先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函
数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定 ; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)
±f(x)=0或 f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
7、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函 数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出
函数的定义域.
（2）.求函数的解 析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已
知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可 用凑配法；若已
知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
8．函数最大（小）值
1
○利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2
○利用图象求函数的最大（小）值
3
○利用函数单调性的判断函数的 最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数
y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b
处有最小值f(b)

第二章 基本初等函数
一、指数函数
一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地， 如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根（n th root），其中
n
>1，且
n
∈
N
．
*
当
n
是奇数时，正数的
n
次方根是一个正数，负数的
n
次 方根是一个负数．此时，
a
的
n
次方根用符号
n
a
a
叫做被开方数表示．式子
n
a
叫做根式（radical），这里
n
叫做根指数（radical exponent），（radicand）．
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数
a< br>的正的
n
次方根用符号
n
a

表示，负的
n
次方根用符号－
n
a
表示．正的
n
次方根与负的
n
次方根可以合并成±
n
a
（
a
>0）．由 此
可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。 注意：当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
n
a
n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a?a(a?0,m,n?N,n?1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
m
n
n
m*
?
a(a?0)
?|a|?
?
?
?a(a?0)
a
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有 理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可
以推广到有理数指数幂．
3．实数指数幂的运算性质
rrr?s
（1）
a
·
a?a

(a?0,r,s?R)
（2）
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)
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(

ab)
r
?a
r
a
s
（3） ．
(a?0,r,s?R)
二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数（exponen tial function），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1

6
0
6
55
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
- 1
246-4-2
0
-1
246
图象特征 函数性质
0?a?1

a?1

0?a?1

a?1

向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐上升
在第一象限内的图象纵坐标
都大于1
在第二象限内的图象纵坐标
都小于1
图象上升趋势是越来越陡
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
a
0
?1

+
自左向右看，图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标
都小于1
在第二象限内的图象纵坐标
都大于1
图象上升趋势是越来越缓
增函数
x?0,a
x
?1

减函数
x?0,a
x
?1

x?0,a
x
?1

x?0,a
x
?1

函数值开始增长较慢，到了某函数值开始减小极快，到了某
一值后增长速度极快； 一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b ]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f( b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
（3）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
，总有f(1)?a
；
（4）当
a?1
时，若
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)
；
二、对数函数
一）对数
1．对数的概念：
a
为一般地，如果
a
x?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以底对数，记作： （
a
— 底数，
N
— 真
N
的
x?log
．．．
a
N
数， — 对数式）
log
a
N
x

1

2

3
说明：○注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；○ ；○注意对数的书写格式．
a?N?log
a
N?x
1

2
两个重要对数：○常用对数：以10为底的对数
lgN
；○自然对数：以 无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
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对数式与指数式的互化
log
a
N?x
二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
1

N)?
○ ＋
log
a
N
log(

MlogM
aa
M
2
○
log
a
M
－
log
a
N
；
log?
a
?
a
x
?N

对数式
?
指数式 对数底数←
a
→ 幂底数 对数←
x
→指数 真数←
N
→幂
3

log
a
M
n
?n
log
a
M
○
(n?R)
．
logb
c
注意：换底公式 （
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
a
b?
log
c
a
1
n
n
log
logb?logb
利用换底公式推导下面的 结论（1） ；（2）．
a
b?< br>loga
a
a
m
N
m
b
三）对数函数 1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1 )
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
1
注意：○对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
x
y?log
如：
y?2log
2
x
， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5

5
2
○对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
2、对数函数的性质：
a>1

1
-1
3
0
1
3
2.52.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
1
-0.5
1
2345678
-1
01
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
图象特征 函数性质
0?a?1

a?1

0?a?1

a?1

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，0）
自左向右看，图象逐渐上升
函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
log
a
1?0

自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
0?x?1,log
a
x?0

x?1,log
a
x?0

第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
x?1,log
a
x?0

第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
0?x?1,log
a
x?0

四）幂函数
1、幂函数定 义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?< br>为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特 别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；
当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；
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（3），幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，图象在
y
轴右方
?
?0
时
无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)( x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴 交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y? f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
1
○（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
2
○ （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用 函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
１）△＞０ ，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x< br>轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax
2
?b x?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一个交点，二次函数有 一个二重
零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax
2
?bx?c? 0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
数学必修2知识点
1. 多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱
锥
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
侧面积（S侧）
直截面周长×l
Ch
各侧面面积之和
S侧+S底
ch′
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下
底
（c+c′）h′
+
h（S上底+S下底
）
S底·h
全面积（S全）
S侧+2S底
体 积（V）
S底·h=S直截面·h
S底·h
正棱台
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2. 旋转体的面积和体积公式
名称
S侧
圆柱
2πrl
圆锥
πrl
圆台
π（r1+r2）l
球

Page 8 of 30

S全 2πr（l+r） Πr（l+r）
π（r1+r2）l+π
（r21+r22）
4πR2
V πr2h（即πr2l）
πr2h πh（r21+r1r2+r22） πR3 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、
下 底面半径，R表示半径。

3、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.

4、平面的基本性质：
公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

??l,??l,??
?
,??
?
?l?
?

公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
?,?,C三点不共线?有且只有一 个平面
?
,使??
?
,??
?
,C?
?

公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
??
??
?
??
?l且??l

推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
ab,bc?ac

5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：若两 条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或
直角）相等.
6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线
与此平面平 行.
数学符号表示：
a?
?
,b?
?
,ab?a
?

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
数学符号表示：
a
?
,a?
?,
??
?b?ab

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7、平面与平 面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则

这两个平面平行.
数学符号表示：
a?
?
,b?
?
,ab??,a
?
,b
?
?
?

?

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 符号表示：
a?
?
,a ?
?
?
?

?

（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 符号表示：
?

?
,
?

?
?
?

?

面面平行的性质定理：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.

?

?
,a?
?
?a
?

（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

?
< br>?
,
??
?a,
??
?b?ab

8、直线 与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直.
数学符号表示：
m?
?
,n?
?
,mn??,l?m,l? n?l?
?

（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

ab,a?
?
?b?
?

（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.

?

?
,a?
?
?a?
?

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

a?
?
,b?
?
?ab

9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直.
数学符号表示：
?
?
?
,
??
?b,a?
?
,a?b?a?
?


10、直线的倾斜角和斜率：
Page 10 of 30

（1）设直线的倾斜角为
?
0?
?
?180
，斜率为
k
，则
k?tan
?
?
?
?
斜率不存在.
（2）当
0?
?
?90
时，
k?0
；当
90?
?
?180
时，< br>k?0
.
（3）过
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)< br>的直线斜率
k?
11、两直线的位置关系：
两条直线
l
1< br>:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
斜率都存在，则：
（1）
l
1
∥< br>l
2
?
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

??
?
?
?
?
?
?
?
.当时，
?
2
?
2
y
2
? y
1
(x
2
?x
1
)
.
x
2< br>?x
1
（2）
l
1
?l
2
?k
1< br>?k
2
??1
（当
l
1
的斜率存在
l
2
的斜率不存在时
l
1
?l
2
）
（3）
l
1
与
l
2
重合
?
k
1
?k< br>2
且
b
1
?b
2

12、直线方程的形式：
（1）点斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（定点，斜率存在） （2）斜截式：
y?kx?b
（斜率
存在，在
y
轴上的截距） （3）两点式：
y?y
1
x?x
1
?(y
2
? y
1
,x
2
?x
1
)
（两点） （4）一般式：
y
2
?y
1
x
2
?x
1
?x?? y?C?0??
?
A
2
?B
2
?0
?
< br>（5）截距式：
xy
??1
（在
x
轴上的截距，在
y
轴上的截距）
ab
13、直线的交点坐标：
设
l
1:A
1
x?B
1
y?c
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?c
2
?0
，则：
（ 1）
l
1
与
l
2
相交
?
A
1B
1
ABC
?
；（2）
l
1
∥
l2

?
1
?
1
?
1
；（3）
l
1
与
l
2
重合
A
2
B
2A
2
B
2
C
2
?
A
1
B1
C
1
??
.
A
2
B
2
C
2
Page 11 of 30

14、两点
P
(x
2
?x
1)?(y
2
?y
1
)

1
(x
1,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
间的距离公式
PP
12
?
原点
?
?< br>0,0
?
与任一点
?
?
x,y
?
的距离OP?
22
x
2
?y
2

15、点
P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:?x??y ?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

（1）点
P
0
(x
0
,y< br>0
)
到直线
l:?x?C?0
的距离
d?
Ax
0
?C

A
By
0
?C
（2）点
P0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:?y?C?0< br>的距离
d?

B
（3）点
?
?
0,0
?
到直线
l:?x??y?C?0
的距离
d?
C
A?B< br>22

16、两条平行直线
?x??y?C
1
?0
与
?x??y?C
2
?0
间的距离
d?
C
1
?C
2
A?B
22

17、过直线
l
1
: A
1
x?B
1
y?c
1
?0
与
l
2
:A
2
x?B
2
y?c
2
?0
交点的直 线方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?c
2
)?0
??
?R
?

18、与直线
l:?x??y?C?0
平行 的直线方程为
?x??y?D?0
?
C?D
?

与直线l:?x??y?C?0
垂直的直线方程为
?x??y?D?0

19、中心对称与轴对称：
x
1
?x
2
?
x?< br>?
?
0
2
（1）中心对称：设点
P(x
1
, y
1
),E(x
2
,y
2
)
关于点
M(x
0
,y
0
)
对称，则
?

y?y
2
?
y?
1
0
?
?2
（2）轴对称：设
P (x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
)关于直线
l:?x??y?C?0
对称，则：
a、
B?0
时， 有
x
1
?x
2
y?y
2
CC
??
且
y
1
?y
2
；
??
且
x
1?x
2
b、
A?0
时，有
1
2A2B
Page 12 of 30

?
y
1
?y
2
B
??
?
x
1
?x
2
A
c、
A?B?0< br>时，有
?

?
A?
x
1
?x
2?B?
y
1
?y
2
?C?0
?
?22
20、圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
（圆心
A
?
a, b
?
，半径长为
r
）
222
圆心
O
?< br>0,0
?
，半径长为
r
的圆的方程
x?y?r
。
222
21、点与圆的位置关系：
设圆的标准方程
(x?a)?(y?b) ?r
，点
M(x
0
,y
0
)
，将M带入圆的标准方 程，结果>r2
在外，22、圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0

（1）当
D?E?4F?0
时，表示以
?
?
圆；
（2）当
D?E?4F?0
时，表示一个点
?
?
22
22< br>222
22
?
22
?
1
?
DE
?< br>,?
?
为圆心，
D
2
?E
2
?4F
为半径的
2
?
22
?
?
DE
?
22
,?
?
；（3）当
D?E?4F?0
时，
?
22
?
不表示任何图形.
23、直线与圆的位置关系：
几何角度：圆心到直线的距离与半径大小比较；或代数角度：带入方程组算△>0、=0、
<0
.
24、圆与圆的位置关系：几何角度判断（圆心距与半径和差的关系）
（1）相 离
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
； （2）外切
?C
1
C
2
?r
1
?r
2； （3）相交
?r
1
?r
2
?C
1
C< br>2
?r
1
?r
2
；
（4）内切
?C1
C
2
?r
1
?r
2
； （5）内含
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
.
2222
25、过两圆
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆的方程
(x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F)
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
(
?
??1)
.
当
?
??1
时，即两圆公共弦所在的直线方程.
Page 13 of 30

P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
间的距离
PP
26、点
P
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)? (z
2
?z
1
)
，
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，
12
?
222
高中 数学必修3知识点
第一章 算法初步
1.1.1 算法的概念
算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
( 2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应
当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一
个确 定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且
每一步都准确无误，才 能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要
经过有限、事 先设计好的步骤加以解决.
1.1.2
1.2.1
程序框图
输入、输出语句和赋值语句
3、赋值语句
（1）赋值语句的一般格式


（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋< br>值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边
的表达式的 值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达
式，右边表达式可以是一个 数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能 是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号
左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不 同的。③不能利用赋值语句进
行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学 中的等号意义
Page 14 of 30
变量＝表达式
图形计算器
格式
表达式
?
变量

不同。

分析 ：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件
时执行的操 作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语
句的结束。计算机在 执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN
后面的语句1；若条件不符合， 则执行ELSE后面的语句2
1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
（1）：用较 大的数m除以较小的数n得到一个商
n为m，n的最大公约数；若
（3）：若
一个商< br>S
0
和一个余数
R
0
；（2）：若
R
0＝0，则
R
0
≠0，则用除数n除以余数
R
0
得到一个 商
S
1
和一个余数
R
1
；
R
1
＝ 0，则
R
1
为m，n的最大公约数；若
R
1
≠0，则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到
S
2
和一 个余数
R
2
；…… 依次计算直至
R
n
＝0， 此时所得到的
R
n?1
即为所
求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减
损术求最 大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相
减损，求其等也，以等数 约之。
翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大
数减小数 。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大
公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析：（略）
3、辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以 除法为主，更相减损术以减法为主，
Page 15 of 30

计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的
区别较明显。 < br>（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损
术则以减 数与差相等而得到

1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
=(
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n-3
+….+a
2
)x+a
1
)x+ a
0

=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0
a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+….+a
1
)x+a
0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内 依次多项式的值，即v
1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
第二章 统计

2.1.1简单随机抽样

1．
总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．
把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分 ：
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全
随
Page 16 of 30
， ， ，

机地 抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本
的每个单位完全独立，彼 此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样
形式的基础。通常只是在总体单位之间差异 程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容 量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差
范围；③概率保证程度。
4．抽签法:
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距 离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样
本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变 量来说，应是随机的，即不存在某种与
研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样 本开始抽样，对比几
次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这 种
循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为 它对抽样框的要求较
Page 17 of 30

低，实施也比较 简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，
总体单元按辅助变量的大小顺序 排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

2.1.3分层抽样

1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划 分成若干类型或层
次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，
最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以 分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，
最后用系统抽样的方法抽取样 本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总
体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为
分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽
取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时
采用 该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用
样本资料推断总体时， 则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比
Page 18 of 30

例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、
本均值
：
x ?
x
1
?x
2
?
?
?x
n
n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?
?
?(x
n
?x)
2
2、．
样本标准差
：
s?s?

n
3．用样本估计总体时，如果抽样的方法 比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从
样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不 可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分
布、均值和 标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很
大时，它们确实反映了总体的信息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，
标准差
不 变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，
标准差
变为原来的 k
倍
（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
(x?3s,x?3 s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关

1、概念: （1）回归直线方程 （2）回归系数
2．回归直线方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依
存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量
（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计 控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计
控制的目标。如已经得到了空气中NO
2< br>的浓度和汽车流量间的回归方程，
即可通过控制汽车流量来控制空气中NO
2
的 浓度。
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4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.3随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：
（1）必然事件：在某种条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；
（2）不可能事件：在某种条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；
（3）随机事件：在某种条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；
（4）基本事 件：试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这
样的时间叫基本事件；
（5）基本事件空间：所有基本事件构成的集合，叫做基本事件空间，用大写希腊字母Ω
表示；
（5）频数、频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试
验中事 件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件
A出现的频率；
（6）概率 ：在n次重复进行的试验中，时间A发生的频率mn，当n很大时，总是在某
个常熟附近摆动，随着n的 增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常熟
叫做事件A的概率，记作P(A)，0≤P(A)≤1；
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数n
的比值 ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数
的不断增多，这种摆动幅度越来越小。 我们把这个常数叫做随机事件的概
率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重 复
试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

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3.1.4 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对
立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1
—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，
于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互 斥事件是指事件A与事件B在一次试验中
不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生 且事件B不发生；（2）
事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是 指事件
A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事
件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）概率的一般加法公式（选学）：
①事件的交（或积）：由时间A和B同时发生所构成的事件D称为时间A与B的交
Page 21 of 30
A包含的基本事件数

总的基本事件个数

（或积），记作D=A∩B
或D=AB
②
=
P（A∪B）
=
A?B包含的基本事件数
Ω的基本事 件总数
A中基本事件个数?B中基本事件个数－A?B中基本事件个数

Ω的基本事件总数
=P（A）+P（B)－P（A∩B） 称为概率的一般加法公式；
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（ 面积或
体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=
构成事件A的区域程度（面积或者体积）
；
试验的全部结果所构 成的区域长度（面积或者体积）
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有 无限多个；2）
每个基本事件出现的可能性相等．
高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角

?
1、任意角
?负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、 角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限 ，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
?
?< br>k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为< br>?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

Page 22 of 30

4、已知
?
是第几象限角，确定 所在 象限的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各 区域标
上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是．
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360

8、若扇形的圆心角为半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，．
?
?
?< br>为弧度制
?
，
9、设
?
是一个任意大小的角，
?的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的 距离是
rr?

11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
sin
2
?
?1?c os
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
；
．
13、三角函数的诱导公式：
?
x
2
?y
2
?0
，则，
?
1 0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
y
??
P
T
xOM
A
?
1
?sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?< br>，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
??tan
?
?
k??
?
．
?
2
?< br>sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
?? sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?< br>．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
??
??tan
?
．口诀：函数名称不变，符号看象限．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数
y?sinx
的图象上所 有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x??
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的
图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有
象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标 不变），得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
图象上所有点向 左（右）平移 个单位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
y?sin
?
x
的
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x??
?
的图象．
函数
y??sin
?
?
x?< br>?
??
??0,
?
?0
?
的性质：①振幅：
?
；
②周期：
③频率：
④相位：
?
x?
?
；
⑤初相：
?
． < br>函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

Page 23 of 30

图
象
定
义域
值
域
最
值
周
期性
奇
偶性
单
调性
对
称性
在
?
k??
?
上是增函
数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称轴
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k ??
?
上是增函
在
?
2k
?
,2k
??
?
?
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
对称轴
x?k
?
?
k??
?

在
?
k??
?
上是增
函数．
对称中心
无对称轴
奇函数 偶函数 奇函数

R

R

?
?1,1
?

当
?
k??
?
时，
y
max
?1
；
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
时，
R

当
?
k??
?
时，
y
min
??1
． y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
2
?

既无最大值也无最小值
2
?

?

数；在
?
k??
?
上是减函数；
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；
②结合律：
a?b?c?a?b?c
③
a?0?0?a?a
．
????
；
a
C
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x< br>2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运 算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b ?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?< br>．
19、向量数乘运算：
?
b
?
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
Page 24 of 30

⑴实数
?与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0< br>时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
? 0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算： 设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?< br>．
20、向量共线定理：向量
a
?
a?0
?
与b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b ?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y1
?0
时，向量
a
、
b
?
b?0
?< br>共线．
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、那么对于这一平面内的 任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
?
2
，使
a?
?
1e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分 点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，< br>?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1< br>,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的
坐标是．
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①a?b?a?b?0
．
②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；
当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a2
?a
2
或
a?a?a
．
③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?< br>x
2
,y
2
?
，则
a?b
若
a?
?
x,y
?
，则
a
2
?x
2
?y
2
，或
a?
??
??
????
??
?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
．

x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量 ，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?< br>?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑵
co s
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?< br>?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?c os
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸ （
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?< br>?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
⑹ （
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
??
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
⑶． 26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??< br>2
sin
?
?
?
?
?
，其中．

?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（ ， ）．

Page 25 of 30

高中数学必修5知识点
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的
abc< br>???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
； < br>abc
②
sin??
，
sin??
，
sinC?；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin ??absinC?acsin?
．
222
外接圆的半径，则有
4、余弦定 理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c? 2accos?
，
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
cos??
cos??
cosC?
5、余弦定理的推论：，，．
2bc2ab
2ac
6、设
a
、b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90
； ②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b?c
，则< br>C?90
．
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列
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222222
222

称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
18、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为a
与
b
的
等差中项．若
b?
19、若等差数列
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
1
?
a
n
?
的首项是
a
，公差是
d
，则
a
a
n
?a
1
d?
n?1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
； ②
a
1
?a
n
??
n?1
?
d
；
； ④③
n?
a
n
?a
1
?1
；⑤
d
a
n?a
m
d?
n?m
．
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、n
、
p
、
q??
），则
a
m
若
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n、
p
、
q??
），则
2a
n
*
?a< br>n
?a
p
?a
q
；
?a
p
?aq
．
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
S?na?d
． 22、等差数列的前n
项和的公式：①
n
；②
n1
2
2
23、等差 数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
*
，则
S< br>2n
??
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，
S
奇
a
n
S?S?nd
?
且
偶
，．
奇
S
偶
a
n?1
②若项数为
2n? 1n??
*
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n< br>，
中
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）．
24、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列
称为等比数列，这个常 数称为等比数列的公比．
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G称为
a
与
b
的等比中
项．若
G?ab
，则称< br>G
为
a
与
b
的等比中项．
n?1
26、若 等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
．
??< br>S
奇
n
（其
?
S
偶
n?1
2
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27、通项公式的变形：①
an
?a
m
q
n?m
；②
a
1
?an
q
?
?
n?1
?
；③
q
n?1?
a
n
；
a
1
n?m
?
④
q
a
n
．
a
m
*
28、若
?
a< br>n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
若
?
a
n?
是等比数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、< br>q??
），则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
．
?
na
1
?
q?1
?
?< br>29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式 ：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
30、等比数列的前
n
项和的性质：①若项 数为
2nn??
*
，则
②
S
n?m
??
S
偶
S
奇
?q
．
?S
n
?q
n
?S
m
．
③
S< br>n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．
31、
a?b?0?a?b
；
a ?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b? c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?b c
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d ?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2
nn
?
n??,n?1
?
；
??0

??0

??0

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二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0

2


?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0

一元二次
不等式的
解集
?b??
x
1,2
?

2a
有两个相等实数根x
1
?x
2
??
?
x
1
?x
2
?

b

2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0


?b?
?
xx??
?

2a
??
R

?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数
对< br>?
x,y
?
，所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平 面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
， 则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
? x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y< br>0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域． ?x??y?C?0
②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直 线
?x??y?C?0
下方的区域；
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表示直线
?x??y?C?0
上方的区域．
40 、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约
束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设
a
、
b
是两个正数，则
的几何平均数．
42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b? 2ab
，即
22
a?b
称为正数
a
、
b
的 算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
2
a?b
?ab
．
2
a
2
?b
2
43、常用的基本不等 式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?< br>??
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b? R
?
．
2
?
2
??
2
?
44、 极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
22
s
2< br>⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．


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