(完整版)高一数学必修一题型总结

高一数学必修一题型总结
必 修 （一） 题 型 总 结
一、集合的概念与表示：
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
3. 注意下列性质：
集合
?
a
1
，a
2
，

……，a
n
?
的所有子集的个数是2
n
；
4.对于集合的元素是不等 式的，画数轴确定两集合的关系
例题：
1.满足关系｛１，２｝
?
Ａ?
｛１，２，３，４，５｝的集合的个数是（ ）
A：4 B：6 C：8 D：9
2.以实数
x
，
?x
，
|x|
，
x
，
?x
为元素所组成的集合最多含有（ ）
A：2个元素 B：3个元素 C：4个元素 D：5个元素 3．
M?
?
x|x?
2
3
3
?
?k1
?
k1
?
?,k?Z
?
，
N?
?
?
x|x??,k?Z
?
，则 （ ）
24
42
?
??
（A
M?N
（B）
M

N
?
（C）
N

M

?
（D）
M?N

??
4. 已知A={(x,y)|y=x?-4x+3},B={(x,y)|y=-x?-2x+2}, A∩B=_____________
5.某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有30人、28人 ，语文、数学至少有一科优秀的
学生有38人，求： (1) 语文、数学都优秀的学生人数 (2) 仅数学成绩优秀的学生人数.
6. 设
A?{x|x?ax?a?19?0}
，B?{x|x?5x?6?0}
,且
A?B
,求实数
a
的值.






二、函数的三要素（定义域、值域、对应法则） 如何比较两个函数是否相同？
1.定义域的求法：
分母、开偶次方、对数（保证它们有意义）
2．值域的求法：
1
判断函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数、幂函数）由 函数的单调性与图○
像确定当x为何值时函数有最大值（最高点）和最小值（最低点），
2
对于一个没有学过的函数表达式， ○需要将它变成一个学过的函数来解决（换元法、
图像变换法）
1
已知函数类型待定系数法 3表达式的求法：○
2
已知f(x)求f(2x+1)整体代换法，已知f(2x+1)求f(x)换元法。 ○
3
形如f(x)+ ○f(-x)= 2x+1 或 f(x)+ f(1x)= 2x+1的取x相反数或倒数消元得到f(x)

1 6
222

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例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是< br>）

2. 下列四组函数中，表示同一函数的是（
A．
y?x?1与y?(x?1)
2
B．
y?x?1与y?
2
x?1
x?1
x

100

C．
y?4lgx与y?2lgx
D．
y?lgx?2与?lg
3.函数
y?f(x)
的定义域是
[0 ,2]
，则函数
g(x)?
f(2x)
的定义域是( )
x?1
A．
[0,1]
B．
[0,1)
C．
[0,1)U(1,4]
D．
(0,1)

4. (1)已知f(2x+1)=x+x， ,求f(x)的表达式
2
(2)已知f(x)=x+x， ,求f(2x+1)的表达式



5 （1）已知f(2x+1)定义域（0，6），求f(x)定义域
（2）已知f(x)定义域（0，6），求f(2x+1)定义域



2
x
2
6．已知函数f(x-3)=
l
g
2
(1) 求f(x)表达式及定义域 ；（2）判断f(x)的奇偶性.
x?6
2




7、设0≤x≤2,则函数
f(x)?4

三、函数的单调区间与单调性：（想想两者的区别）
1.函数在区间上单调性的证明步骤：一设 二做差 三因式分解 最后判断正负号
2． 确定一个函数的单调区间，基本函数通过类型看它的图像，
复杂的通过换元利用复合函数的方法（同增异减）
没思路的通过分析y随x的增大而………得到
3．利用单调性解不等式：关键在于将不等式两边的形式化相同
1. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是
A.f(x)=3-x B.f(x)=x
2
-3x C.f(x)=-
x?
1
2< br>?3?2
x
?5
的最大值是________,最小值是______.
1

x?1
D.f(x)=-|x|
2.函数f(x)=x2
+2(a－1)x+2在区间(-∞,4］上递减,则a的取值范围是
A.［-3,+∞］ B.(-∞,-3) C.(-∞,5］ D.［3,+∞)
2 6

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3.判断函数
f(x)=x —
1
在
?
0,??
?
上的单调性并证明
x





5．设函数f(x)是定义在R上的 奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)=lgx，则满足f(x)>0的x的取
值范围是 ______
?
ax?2?a
x≤0
?
6若函数
f(x) ?
?
log(2x?4)
为定义域上的单调函数，则a的范围是________
1
x>0
?
?
2
四、函数的奇偶性问题

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称
（ ）

若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
（ ）
判别函数
y?f(x)
奇偶性的方法：
1.利用x的奇次幂偶次幂快速判断
2.利用定义；①求出函数定义域A；判别定义域是否关于原点对 称，若A不关于原点对称，
则
f(x)
为非奇非偶函数；③计算
f(?x), ?f(x)
；④判别记偶性：若
f(?x)?f(x)
，
为偶函数；若
f(?x)??f(x)
为奇函数；若两式均不成立，则为非奇非偶函数；
注意如下结论：
（1） 在公共定义域内：奇*奇得偶；偶*偶得偶；奇*偶得奇。
（2） 为既奇又偶函数（如
y?0
）。
1、如果奇函数
f(x)
在
[3,7]
上是增函数且最小值是5，那么
f(x)
在
[?7,?3]上是（
A．增函数且最小值是
?5
B增函数且最大值是
?5
．
C．减函数且最小值是
?5
D．减函数且最大值是
?5

2. 若函数
f(x)
为奇函数，且当
x?0时,f(x)?10,
则
f(?2)
的值是（ ）
x
）
11
C．
100
D．
?
100100
x? xx?x
3．若函数
f(x)?3?3
与
g(x)?3?3
的定义域 均为
R
，则（ ）
A．
f(x)
与
g(x)
均为偶函数 B．
f(x)
为奇函数，
g(x)
为偶函数
A．
?100
B．
C．
f(x)
与
g(x)
均为奇函数 D．
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函数

4.
?
(x),g(x)
都是奇函数，f(x)=
a
?
(x)?bg(x )
+2在（0，+
?
）上有最大值5，则f(x)在
（-
?
，0）上有最
_______
值
________
.
3 6

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5.已知f(x)为奇函数，x>0, f(x)=x+x,求f(x)解析式




2
a·2
x
?a?2
6.若f(x)?为奇函数，则实数a?
x
2?1

,则x的取 7、已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若
f(lgx) ?f(1)
值范围是( )
A.
(
111
,1)
B.
(0,)?(1,??)
C.
(,10)
D.(0,1)∪(10,+∞)
101010
8．已经函数f(x)=2x
3< br>+(2?a)x
2
+bx+b+1在区间（?2m+1，m）上是奇函数，则a+b+m =____

五、指数与对数运算、指数函数与对数函数
1.灵活应用公式，注意0、1的特殊性。
解决函数问题的关键在底数，确定它是增函数还是减函数。问题即解决
注意：.两个重要的奇函数
x
2、已知函数f(x)=2,则f(1－x)的图象为 （ ）

y
y y y


O
O x O x O x


A B C D
3.
y?(log
1
a)
在R上为减函数，则
a?

2
x
x
4、已知函数f(x)=log
2
(x-2)的值域是[1，log
2
14],那么函数f(x)的定义域是 ；
5、若函数
f(x)? log
a
x(0?a?1)
在区间
?
a,2a
?
上 的最大值是最小值的3倍，则
a
的值为（ ）
A、
22
11
B、 C、 D、
42
42

（1）求f(x) 的定义域、值域； （2）讨论f(x)的单调性 （3）讨论f(x)的奇偶性






4 6

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六、方程的根与函数的零点:
函数有零点
?
方程有实数根
?
函数的图象与
x
轴有交点
?
f
（
a
）·
f
（
b
）<0
1. 函数、方程、不等式 之间的关系。
2 零点在哪里（代入法）、 有几个零点（ 图像法）
3．二分法的步骤

1、 函数
f(x)??x
2
?5x?6
的零点是( )
A、
?2,3
B、 2，3 C、
2,?3
D、
?1,?3

2、已知
y?f(x)
是定义在
R
上的函数，对任意
x
1
?x
2
都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则方程
f(x)?0

的根的情况是( )
A、至多只有一个 B、可能有两个 C、有且只有一个 D、有两个以上
3． 已知二次函数
f(x)
的二次项系 数为
a
，且不等式
f(x)??2x
的解集为（1，3）.
（1）若方程
f(x)?6a?0
有两个相等的根，求
f(x)
的解析式；
（2）若
f(x)
的最大值为正数，求
a
的取值范围.






4、下列函数中能用二分法求零点的是( )

y y y y


o o o o

x x x x

A B C D

5. 设
x
0
是方程< br>lnx?x?4
的解，则
x
0
属于区间 ( )
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
6．方程
2
x?1
?x?5
的解所在的区间（ ）
A．（0，1）

7函数f(x)=2
x?1
?2x?3的零点个数为__________个
8．
f(x)?
?
A．1
B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
?
4x?4， x≤1
?
x?4x?3，x?1
B．2
2
的图象和
g(x)?log
2
x
的图象的交点个数是（ ）
C．3 D．4
2
9、若方程
2ax?x?1?0
在(0, 1)内恰有一解,则实数
a
的取值范围是( )
A、
a?1
B、
a??1
C、
?1?a?1
D、
0?a?1

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七、抽象函数问题：
1.记住常见的抽象函数类型（对称轴型、周期型）
（1）常见的抽象函数类型 一次型 ：f(x+y)=f(x)+f(y)
指数型：f(x+y)=f(x)*f(y) 对数型：f(x*y)=f(x)+f(y)
（2）若f(x)满足：f(x+a)=-f(x) 或 f(x+a)=1f(x) 或 f(x+a)=-1f(x)
说明f(x)的周期 为T=2a
（3）若f(x)满足f(a-x)=f(a+x) 说明f(x)的对称轴是x=a
若f(x)满足f(a-x)=f(b+x) 说明f(x)的对称轴是
x=
a+b
2

2．常用方法（赋值法、结构变换法）令x、y等于任何我想要的东西（数或代数式）

一般等于 0、1、-1、y= -x ……、
证明单调性：f(x
2
)?f
?
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?
?……


1定义在
?
??,??
?
上的偶函数
f
?
x
?
满足
f
?
x?1?
??f
?
x
?
，且在
?
?1,0
?
上是增函数，下
面是关于
f
?
x
?
的判断：其中不正确的判断是 .
．．．


①
f
?
x
?
=
f
(
x+2
)；②
f
?
x
?
的图 像关于直线
x
＝1对称；
③
f
?
x
?
在 [0，1]上是增函数；④
f
?
2
?
?f
?
0?

2、已知定义在R上的函数
y
=
f
(
x
)满足
f
(2+
x
)=
f
(2－
x
)，且
f
(
x
)是偶函数，
当
x
∈[0，2]时，
f
(
x
)=2
x
－ 1，求
f
(
5
)=
3、定义在非零实数集上的 函数
f(x)
满足
f(xy)?f(x)?f(y)
，且
f(x)< br>是区间
(0,??)
上
的递增函数。(1)求：
f(1),f(?1)
的值； (2)判断函数的奇偶性
(3)若f(3)=2解不等式
f(2)?f(x?)?0
。



4．设函数
f(x)
在
(??,0)?(0,??)
上是奇函数，又
f(x)
在
(0,??)
上是减函数，并且
f(x)
1
2
＜０，指出< br>F(x
）＝

1
在（－∞，０）上的增减性?并证明.
f(x)
6 6