高中数学必修1-10

§1.1 算法的含义
学习目标 1.通过回顾二元一次方程组的求解过程 ，体会算法的基本思想(难点)；
2.了解算法的含义和特征；3.会用自然语言描述简单的具体问题的 算法(重点).

预习教材P4－6完成下面的问题：
知识点一 算法的含义及特征
1.算法的概念
12世纪的
算法
数学中的
算法
现代算法
2.算法的特征
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能
是无限的.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结
果，而不应当 模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤
只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进
行下一步，并且每一步都 准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不
同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器
计算都要经过 有限、事先设计好的步骤加以解决.
是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限
的步骤
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

3.算法与计算机 计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题的过程分解为若干个明确
的步骤，即算法，并 用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能
够解决问题.
【预习评价】
下列不是算法的是________.(填序号)
①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；
②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；
③解方程2x
2
＋x－1＝0；
④利用公式S＝πr
2
计算半径为3的圆面积.
解析 ③不是算法，没有给出解这个方程的步骤.
答案 ③
知识点二 算法的设计
1.设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成 .设计
算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语
言”准确地 描述出来，从而达到让计算机执行的目的.
2.设计算法的要求
(1)写出的算法必须能解决一类问题.
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少.
(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.
【预习评价】
一次青青草原园长 包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河.河边只有一条
船，由于船太小，只能装下两样东西.在无 人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，
懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？

提示 包包大人采取的过河的算法可以是：

第一步 包包大人带懒羊羊过河；
第二步 包包大人自己返回；
第三步 包包大人带青草过河；
第四步 包包大人带懒羊羊返回；
第五步 包包大人带灰太狼过河；
第六步 包包大人自己返回；
第七步 包包大人带懒羊羊过河.

题型一 算法的概念
【例1】 下面的结论中正确的序号是________.
①算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；
②一个算法可以无止境地运算下去；
③完成一件事情的算法有且只有一种；
④设计算法要本着简单方便的原则.
解析 算法的步骤必须明确，其中不能含有模糊不清，让人误解的叙述，所以①
正确；一个算法必须在执行有限 步之后结束，且每一步都可在有限时间内完成，
所以②错误；由于求解某一类问题的算法不是唯一的，所 以③错误；算法设计要
尽量简单、步骤尽量少，所以④正确.
答案 ①④
规律方法 针对这个类型的问题，正确理解算法的概念和特点是解决此类问题的
关键.
【训练1】 下面对算法的描述正确的一项是________.
①算法只能用自然语言来描述
②算法只能用图形方式来表示
③同一问题可以有不同的算法
④同一问题的算法不同，结果必然不同
解析 根据算法含义可判断只有③正确.
答案 ③
题型二 算法的判断

【例2】 下列语句是算法的有________.(填写正确的序号)
①解方程x
2
－2x－ 3＝0；②做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热等几个步骤；③
学习需要预习、质疑、听讲、练习、巩固 等步骤；④利用公式S＝4πr
2
计算半径
为6的球的表面积，就是计算4π×62
.
解析 ②③④都描述了解决问题的过程，是算法，而①只描述了一个事实，没有
说明怎么解决问题，不是算法.
答案 ②③④
规律方法 “算法”与“一般意义上具体问题的解法”既有联系又有区别，它们
之间是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系.
【训练2】 下列说法中是算法的有________.(填序号)
①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；
③求以A( 1，1)，B(－1，－2)两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB
中点坐标，再求kAB
及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线
方程；
④求1× 2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，6×4＝24，得最终结
果为24；
1
⑤
2
x＞2x＋4.
解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排.
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法.
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤.
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.
故①②③④都是算法.
答案 ①②③④

【例3】 计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________.
①S＝1＋2＋3＋?＋100.
②S＝1＋2＋3＋?＋100＋?.

③S＝1＋2＋3＋?＋n(n∈N
*
).
解析 算法是为 解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说
在实际的算法中n的值是具体确定的，因 此①③是正确的，而算法又是具有有限
性的，即执行有限步操作后一定能解决问题，而②显然不符合算法 的有限性，所
以②不正确.
答案 ①③
【迁移1】 写出求2＋4＋6＋?＋20 0的一个算法.(可以运用公式2＋4＋6＋?
＋2n＝n(n＋1)直接计算)
第一步：_ __________________________________________________ _______；
第二步：_________________________________ _________________________；
第三步：输出运算结果.
解析 解此题应首先求出算式中n的值，然后将n的值代入公式n(n＋1)进行计
算，即可得此题的一个算法 .
答案 取n＝100；计算n(n＋1)
【迁移2】 写出求1＋2＋3＋4＋5的值的一个算法.
解 法一 算法步骤如下：
第一步 计算1＋2，得3；
第二步 将第一步的运算结果3与3相加，得6；
第三步 将第二步的运算结果6与4相加，得10；
第四步 将第三步的运算结果10与5相加，得15；
第五步 输出结果.
法二 算法步骤如下：
第一步 取n＝5；
第二步 计算
n（n＋1）
；
2
第三步 输出运算结果.
【迁移3】 写出求2×4×6×8×10的一个算法.
解 算法如下：
第一步 计算2×4得8；
第二步 将第一步中的运算结果8与6相乘得48；

第三步 将第二步中的运算结果48与8相乘得384；
第四步 将第三步中的运算结果384与10相乘得3 840.
规律方法 ①解决一个问题的算法一般不是唯一的，不同的算法有优劣之分.②
相乘 的数小，数少，能很容易地算出，如果数多了，数大了，没有这样的过程，
没有这样的步骤就很难去解决 .如果要求2×4×6×8×?×100 000的值，用计算
机软件瞬间就能完成，计算机的运算靠程序支持，程序编写要依赖算法.

课堂达标
1.判断下列语句的正误：
(1)任何问题都能用算法来解决；( )
(2)算法的每一步都能得到一个确定的结果；( )
(3)一个算法可以解决一类问题，而不是个别问题；( )
(4)歌谱是一首歌曲的算法；( )
(5)算法只能用自然语言来描述.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.下列关于算法的说法中正确的序号是________.
①算法是某个具体的解题过程；
②算法执行后可以不产生确定的结果；
③解决某类问题的算法不是唯一的；
④算法可以无限地操作下去不停止.
解析 算法与一般意义上具体问题的解法，既有区别，又 有联系，算法的获得要
借助一类问题的求解方法，而这一类具体问题都可以用这种方法来解决，因此①< br>不对；算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效执行，得到确定的结果，而
不能含糊其辞或有 歧义，所以②不正确；算法的操作步骤必须是有限的，必须在
有限的步骤内完成，因此④不对；算法具有 不唯一性，③正确.
答案 ③
3.下列四种自然语言叙述中，能称为算法的序号是________.
①在家里一般是妈妈做饭；
②植树需要运苗，挖坑，栽苗，浇水这些步骤；

③在野外做饭叫野炊；
④做饭必须要有米.
解析 算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故填②.
答案 ②
4.已知某学生的语 文、数学、英语成绩分别为90分、95分、94分，求他的总分
和平均分的一个算法为：
第一步 取A＝90，B＝95，C＝94；
第二步 ____________________；
第三步 ____________________；
第四步 输出D，E.
D
答案 计算D＝A＋B＋C 计算E＝
3

5.下面是解决一个问题的算法：
第一步 输入x.
第二步 若x≥4，转到第三步；否则转到第四步.
第三步 输出2x－1.
第四步 输出x
2
－2x＋3.
当输入x的值为________时，输出的数值最小值为________.
?
2x－1，x≥4，
解析 所给算法解决的问题是求分段函数f(x)＝
?
2
的函数值问
?
x－2x＋3，x＜4
题，当x≥4时，f(x)＝ 2x－1≥2×4－1＝7；
当x＜4时，f(x)＝x
2
－2x＋3＝(x－1)
2
＋2≥2，所以f(x)
min
＝2，此时x＝1.即输入
x的值 为1时，输出的数值最小，最小值为2.
答案 1 2
课堂小结
1.算法的特点：有限性、确定性、顺序性、不唯一性、普遍性.
2.算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用.
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少.
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果.

基础过关
1.算法的有穷性是指________(填序号).
①算法的最后包含输出；
②算法中每个操作步骤都是可执行的；
③算法的步骤必须有限.
解析 据算法的特点判断.
答案 ③
2.下列可以看成算法的是________(填序号).
①学习数学时，课前预习，课上认 真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之
后做适当的练习题；
②今天餐厅的饭真好吃；
③这道数学题难做；
④求过点M与N的直线方程.
解析 ①是学习数学的一个步骤，所以是算法.
答案 ①
3.我们已学过的算法有求解一元二次方 程的求根公式，加减消元法求二元一次方
程组的解，二分法求出函数的零点等，对算法的描述有：
①对一类问题都有效；
②算法可执行的步骤必须是有限的；
③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；
④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.
以上算法的描述正确的有________(填序号).
解析 由算法的概念可知①②③④都正确.
答案 ①②③④
4.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的序号是________.
①这个算法可以求所有的零点；
②这个算法可以求任何方程的零点；
③这个算法能求所有零点的近似解；

④这个算法可以求变号零点近似解.
解析 二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问
题，并不能求所 有零点的近似值.
答案 ④
5.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
(1)计算c＝a
2
＋b
2
；
(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；
(3)输出斜边长c的值.
其中正确的顺序是________.
解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步
骤是赋值、计算.
答案 (2)(1)(3)
6.写出解方程3x＋5＝0的算法步骤：
第一步 ________________①________________；
第二步 ________________②________________；
第三步 ________________③________________.
解析 解一元一次方程的步骤是移项，两边同时除以x的系数，得出x的值.
5
答案 ①移项，得3x＝－5 ②两边同时除以3，得x＝－
3
③得结论，方程3x
5
＋5＝0的解为x＝－
3

7.输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
第一步 输入x；
第二步 _____________________________ ____________________________；
第三步 计算y＝－x－1；
第四步 输出y.
?
x＋1 （x≥－1），
解析 y＝|x＋1|＝
?
故第二步为当x≥－1时，计算y＝x＋
?
－x－1 （x＜－1），
1；否则执行第三步.
答案 当x≥－1时，计算y＝x＋1；否则执行第三步

能力提升
8.阅读下面的算法：
第一步 输入两个实数a，b；
第二步 若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步；
第三步 输出a.
这个算法输出的是________.
解析 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数.
答案 a，b中的较大数 < br>9.小王中午放学回家自己煮面条吃，有下列几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗
菜6分钟；③准 备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分
钟.小王要将面条煮好最少要用的时间为 ________分钟.
解析 ①洗锅盛水2分钟，④用锅把水烧开10分钟(同时进行：②洗菜6分 钟，
③准备面条及佐料2分钟)，⑤煮面条3分钟，共用15分钟.
答案 15
10.给出下列算法：
第一步 输入x的值；
第二步 当x＞4时，计算y＝x＋2，否则执行第三步；
第三步 计算y＝9－x；
第四步 输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________.
解析 由于x＝0＜4，故计算y＝9－x＝3，输出y＝3.
答案 3
11.给出如下算法：
第一步 输入a，b，c的值；
第二步 当a＞b时，令“最小值”为b；否则，令“最小值”为a；
第三步 当“最小值”大于c时，令“最小值”为c；否则，“最小值”不变；
第四步 输出“最小值”.
若输入a＝5，b＝3，c＝－6，则输出的值是________.
解析 本算法的功能是 输入a，b，c的值，输出其中的最小值，由于c＜b＜a，

则输出的值是－6.
答案 －6
12.对于算法：第一步 输入n；
第二步 判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步；
第三步 依次从2到(n－ 1)检验能不能被n整除，若不能被n整除，则执行第四
步；若能整除n，则结束算法；
第四步 输出n.
满足条件的n是________.
解析 此题首先要理解质数 ，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最
小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验 证，看是否有其他约数，来判断其
是否为质数.
答案 质数
13.(选做题)鸡兔 同笼问题：鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试
设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只 .
解 第一步 设有x只鸡，y只兔，列方程组
?
x＋y＝30，
?

?
2x＋4y＝100；

①
②

第二步 ②÷2＋①×(－1)，得y＝20；
第三步 把y＝20代入x＝30－y，得x＝10；
?
x＝10，
第四步 得到方程组的解
?

y＝20；
?
第五步 输出结果，鸡10只，兔20只.