高中数学必修一对数及对数函数

2.2.1第一课时 对数的概念教案


1．对数的概念
：
定义：一般地，如果
a
?
a?0,a?1
?
的b次幂等于N, 就是
a?N
，那么数 b叫做 以a为底 N的
b
对数，记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数，N叫做真数

例如：
4?16

?

log
4
16?2

10?100
?
log
10
100?2

22
4?2

?
log
4
2?
1
2
1
?2
;
10?0.01
?
log
10
0.01??2

2
1）以10为底的对数称常用对数，
log
10
N
记作< br>lgN
，
2）以无理数
e(e?2.71828?)
为底的对数称自 然对数，
log
e
N
记作
lnN

②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）， 2）
log
a
1?0
，
3）
log
a
a?1
， 4）对数恒等式：
a
log
a
N
?N

③运算性质：如果
a?0,a?0,M?0,N?0,
则
1）
lo g
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
； 2）
log
a
M
?log
a
M?log
aN
；
N
n
3）
log
a
M?nlog
a
M(n?
R）.
④换底公式：
log
a
N?
log
m
N
(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0),

lo g
m
a
n
1）
log
a
b?log
ba?1
， 2）
log
a
m
b?
n
log< br>a
b.

m
（要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是 函数一章中的难点，又是学好对数函数的基础，要
学好它，必须具备：
1. 有指对数互化的意识
由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此 在处理指数或对数运算时，
往往将它们相互转化。
2m?3n
例1. 已知log
a
2?m,log
a
3?n
，求
a
的值 。

2. 有根据换底公式，换为同底的意识
对数的运算公式都是建立在同底的基础上的，但在实际的运 算中，底数往往不同，而换底公式的主要
功能是将底数不相同的对数，换为相同的底数，进而可采用对数 的运算公式。
例2. 计算
log
2


例3. 设
log
3
2?a,log
3
7?b
，试用a，b 表示log
42
56。


[当堂检测]
1、求值：
log
1
4
，log
4
8

2
111
?log
3
?log
5

2589
2、计算：（1）lg1+lg10+lg100


3、已知
log
x
1
16
（2）lg0.1+lg0.01+lg0 .001
??4
，求x。

[巩固练习]
1、下列各式中正确的有 个。
（1）log
4
16
=2
2、若
log
x
A、y
7
=x
z

7
（2）
log
16
?
4
1

2
（3）lg100=2 （4）lg0.01=-2
y
?z
则 。
B、y=x
7z
C、y=7x
z
D、y=z
7x

3、
a
log
a
b
lo g
b
c
log
c
N
= 。
4、求x的值：
log



5、
log
[log
4
(log
2
)
]
8
x
(3x< br>2
?2x?1)
2x
2
?1
?1

=0，求x。



9 化简下列各式：
(1)
4lg2?3lg5?lg
1
；
5

1
lg9?lg240
2
(2)；
236
1?lg27?lg
35
1?
10 利用对数恒等式
a
log
a
N
?N
，求下列各式的值： < br>(1)
()
log
4
3
?()
log
54
?()
log
3
5

log
1
4
1
4
1
5
1
3
(2)
3
3
?10
log
0.01
2
log
1
2
?7
7

11 化简下列各式：
(1)
(log
4
3?l og
8
3)?(log
3
2?log
9
2)
； (2)
[(1?log
6
3)
2
?log
6
2?l og
6
18]?log
4
6




12 已知
log
3
5?a
，
5
b
?7
，用a、b的代数式表示
log
63
105
=________．
2．对数函数：
①定义：函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
称对数函数，
1）函数的定义域为
(0,??)
， 2）函数的值域为R，
3）当
0?a?1
时函数为减函数，当
a?1
时函数为增函数， < br>4）对数函数
y?log
a
x
与指数函数
y?a(a?0,且 a?1)
互为反函数.




②





1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，
2）对数函数都以
y
轴为渐近线（当
0?a?1
时，图象向上无限接 近
y
轴；当
a?1
时，图象向下无
限接近
y
轴）.
4）对于相同的
a(a?0,且a?1)
，函数
y?log
a
x与y?log
1
x
的图象关于
x
轴对称.
a
x



③函数值的变化特征：

0?a?1

①
x?1时y?0
，
②
x?1时y?0
，
a?1

①
x?1时y?0
，
②
x?1时y?0
，
0?x?1时y?0x?0时0?y?1

对数函数练习题
1 (1)
y?log
3
(x?1)
的定义域为_________值域为____________.
(2)
y?log
2
x
2
的定义域为__________值域为_____________．
2 求下列函数的定义域：
25?x
2
(1)
y?
； (2)
y?log
(2x?1)
(x
2
?6x?8)
； (3)
y?log
2
(log
1
x)
．
log
a
(3x?2)
2


3 (1)已知< br>a?0.3
3
，b?3
0.3
，c?log
3
0.3 ，d?log
0.3
3
，将a、b、c、d四数从小到大排列为
______ _______________．
(2)若
log
n
2?log
m
2?0
时，则m与n的关系是( )
A．m>n>1 B．n>m>1 C．1>m>n>0 D．1>n>m>0
3
?1
，则实数a的取值范围是( )
4
3333
A．00?a?
C．
a?或0?a?
D．
0?a?
或a>1
4444
4 (1)若a>0且a≠1，且
log
a
(2)若1< xa?(log
d
x)
2
，b?log
d
x
2
，c?log
d
(log
d
x)
，则( )
A．a5 已知函数
y
1
?log
3
(2x?4)，y
2
?log
3
(5?3x)
．
(1)分别求这两个函数的定义域；
(2)求使
y
1
?y
2
的x的值；
(3)求使
y
1
?y
2
的x值的集合．

6 已知函数
f(x)?lg(x
2
?1?x)

(1)求函数的定义域；
(2)证明f(x)是减函数．