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高中数学必修一知识点总结(全)(1)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 15:42
tags:高中数学必修一

2018浙江高中数学论文-高中数学网红题



第一章 集合与函数概念
课时一:集合有关概念
1. 集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东
西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2. 一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
3. 集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属 于或不属于。
例:世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:
{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
1)列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}
2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合 例:{x|x
2
=-5}
5、元素与集合的关系:

(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
A
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a A


整数集Z
有理数集Q
实数集R





课时二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集 (1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有
包含关系,称集合 A是集合B的子集。记作:
A?B
(或
B
?
A)

注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A
②真子集:如果A
BA)
或若集合A
③如果 A
④ 如果A
B, B
B 同时 B
B,存在x
?
B且x
A,则称集合A是集合B的真子集。

C
A 那么A=B
C ,那么 A
B,且A
A
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
课时三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集


定 义 由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属
的元素所组成的集合, 叫于集合B的元素所组成
做A,B的交集.记作的集合,叫做A,B的并
A
?
B(读作‘A交B’),集.记作:A
?
B(读作
x
?
B}. ={x|x
?
A,或x
?
B}).
全集:一般,若一个集合汉语我
们所研究问题中这几道的所有
元素,我们就称这个集合为全
集,记作:U
子 集,由S中所有不属于A的元
素组成的集合,叫做S中子集A
的补集(或余集)记作
C
S
A

C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

即A
?B={x|x
?
A,且‘A并B’),即A
?
B 设S是一个集合,A是S的一个
韦恩图示
A
B
A
B
S
A
图1
性 质 A ∩ A=A
A ∩Φ=Φ
A ∩B=B
?
A
∩B
?
B


AUA=A AUΦ(C
u
A)∩(C
u
B)= C
u
(AUB)
图2

=A
AUB=BUA
AUB
?
B
(C
u
A) U (C
u
B)= C
u
(A∩B)
AU(C
u
A)=U
A∩(C
u
A)=Φ. A ∩B
?
A A AUB
?


课时四:函数的有关概念
1. 函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使
对于集合A中 的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,
那么就称f:A→B为从集合A到集 合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈
A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做
函数的值域.
2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则
3. 函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域
(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图 像可以
是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义
域的特征。


4、函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的
x
为横坐标,函数

y
为纵坐标的点P
(x

y)
的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图
象.C上每一点的坐标
(x
y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反过来,以满

y=f(x )
的每一组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x

y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。
(3)函数图像变换的特点:

1)函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)



课时五:函数的解析表达式,及函数定义域的求法
1、函数解析式子的求法
(1) 、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系
时,一是要求出它们之间的对应法 则,二是要求出函数的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
2.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么,它的定义域是


使各部分都有意义的
x
的值 组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致 (两点必须同时具备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
课时六:
1.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法: 针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y
的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。


(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值< br>域,注意定义域的范围。

(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类
型。


课时七
1.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g


的复合函数。
(4)常用的分段函数
1)取整函数:

2)符号函数:

3)含绝对值的函数:


2.映射
一般地,设A、B是两个非 空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使
对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确 定的元素y与之对应,
那么就称对应f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作 “f(对应关系):
A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f

A

B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。

注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射,而映射不一定的函数

课时八函数的单调性(局部性质)及最值
1、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内 的任
意两个自变量x
1
,x
2
,当x
1
2
时,都有f(x
1
)2
),那么就说f(x)在
区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
(2)如果对于区间D上的任意两个自 变量的值x
1
,x
2
,当x
1
2
时 ,都有
f(x
1
)

f(x
2
),那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的
单调减区间.


注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调
不减两种
2、 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数,那 么说函数
y=f(x)
在这一区间
上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图 象从左到右是上升的,减函数
的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
2


2 作差f(x
1
)-f(x
2
);

3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数< br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
y=f(u)
的单调性密切相
关,其规律:“同增异减”





注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和
在一起写成其并集.





课时九:函数的奇偶性(整体性质)


(1)、偶函数
一 般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)
就叫做偶 函数.
(2)、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x )=—f(x),那么
f(x)就叫做奇函数.
(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非

奇非偶 的函数;若对称,则进行下面判断;
2确定f(-x)与f(x)的关系;

3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;

若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
1)在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
2)复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的
定义域是否关于原 点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)

f(-x)=
±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .







课时十、函数最值及性质的应用
1、函数的最值

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

2 利用图象求函数的最大(小)值

3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数y=f(x )在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值 f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)
在x=b处有最小值f(b);

2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

3、判断含糊单调性时也可以用作商法, 过程与作差法类似,区别在于作差法是与0
作比较,作商法是与1作比较。

4、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。

5、在判 断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并
不一定可以判断函 数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。
















课时十四
1、 指数与指数幂的运算:
复习初中整数指数幂的运算性质:
a
m
*a
n
=a
m+n

(a
m
)
n
=a
mn

(a*b)
n
=a
n
b
n


2 、根式的概念:一般地,若
x
n
?
a
,那么
x
叫做
a

n
次方根,其中
n
>1,且
n
N
*

当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 。
此时,a的n次方根用符号 表示。
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两 个数互为相反数。此时正数a
的正的n次方根用符号 表示,负的n的次方根用符号 表示。正的n次
方根与负的n次方根可以合并成 (a>0)。
注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0


n
是奇数时,
n
a
n
?
a
,当
n
是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
?
a (a?0)

?
?a(a?0)
式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。

3、 分数指数幂
正数的分数指数幂的


a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n ?1)

a
n
m*
?
m
n
?
1< br>a
m
n
?
1
n
a
m
(
a?
0,
m
,
n?N
*
,
n?
1)

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

4、 有理数指数米的运算性质
(1)
a
·
a
r
r
?a
r?s



(a?0,r,s?R)

(a?0,r,s?R)


(a?0,r,s?R)

rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)

5、无理数指数幂
一般的,无理数指数幂
a
a
( a>0,a是无理数)是一个确定的实数。有理数指数
幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。



课时十五:指数函数的性质及其特点(1)
1、指数函数的 概念:一般地,函数
y?a
x
(a?0,

a?1)
叫做指 数函数,其中x是自变量,
函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.为什么?
2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像:
(1) (2) (3) (4) (5)
图像特征
a>1 a>1
向X、Y轴正负方向无限延伸
图像关于原点和Y轴不对称
函数图像都在X轴的上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看图像逐渐自左向右看图像逐渐
上升。 上升。
图像特征
0函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+

a
0
=1
增函数 减函数
a>1
在第一象限内图像纵在第一象限内图像纵
坐标都大于1。 坐标都大于1。
x>0,a
x
>1 x>0, a
x
<1


在第二象限内图像纵在第二象限内图像纵
坐标都小于1。 坐标都大于1。
x<0,a
x
<1 x<0,a
x
>1
图像上升的趋势愈来图像上升的趋势愈来
愈陡。 愈陡。
函数值开始增加较慢,函数 值开始减小极快,
到了某一值后增长速到了某一值后减小速
度极快。 度较慢。
课时十六:指数函数的性质及其特点(1)
指数函数的图象和性质
a>1
6
5
4
06
5
4
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数

-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递减
非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
函数图象都过定点(0,1)
( 1)在[a,b]上,值域是
[f(a),f(b)]

[f(b),f(a)]
(2)若
x?0
,则
f(x)?1

f(x)取遍所有正数当且仅当
x?R

(3)对于指数函数
f(x)
?
a
x
(a
?
0

a
?
1),总有
f(1)?a

(4)当a>1时,若X
1
2
,则有f(X
1
)2
)。

二、对数函数

(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果
ax
?
N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数,
记作:
x
?log
a
N

a
— 底数,
N
— 真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:

1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1

2

a< br>x
?
N
?log
a
N
?
x

3 注意对数的书写格式.

两个重要对数:
log
a
N

1 常用对数:以10为底的对数
lgN


2 自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN


? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

a
b
= N
?
log
a
N
= b

底数
指数 对数

(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1< br>,
M?0

N?0
,那么:
1

2

3

log
a
(
M
·
N)?
log
a
M

log
a
N

log
a
M
?
log
a
M
N

log
a
N


(n?R)

l og
a
M
n
?n
log
a
M
注意:换底公 式
log
a
b?
log
c
b

a ?0
,且
a?1

c?0
,且
c?1

b ?0
).
log
c
a
1
n
log
ab
;(2)
log
a
b?
log
b
a
m
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?








(二)对数函数
1、对数 函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫 做对数函数,其中
x
是自变量,
函数的定义域是(0,+∞).
注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y
?2log
2x


y?log
5
x

5
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)


2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增

-2
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递减

函数图象都过定点(1,
0)
函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
?
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别 地,

?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?
? 1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从右
边趋向原点时, 图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图
象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.

(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.

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