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高中数学必修1知识点清单

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 15:43
tags:高中数学必修一

高中数学周期结论及推倒-高中数学发散思维能力


高中数学必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念:
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是 或者不是这个给定的集合的元
素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对 象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判 定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,
不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法:列举法与描述法。
(Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(Ⅱ)描述法:将集 合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某
些对象是否属于这 个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
(3)
图示法(文氏图):
4、常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说a 属于集合A 记作 a∈A ,相反,
a 不属于集合A 记作 a
?
A
6、集合的分类:
1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A 与 B,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称
集合A 为集合 B 的子集,记作A
?
B
注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。
反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合B 不包含集合A,记作 A
?
B 或B
?
A
集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 子集个数为 2
n
.
2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A 与B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元
素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合 B,即:A=B
? A ? B且B ? A
① 任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果 A
?
B,且A
?
B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A
?
B(或B
?
A)
③如果 A
?
B, B
?
C ,那么 A
?
C
④ 如果 A
?
B 同时 B
?
A 那么 A=B


3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交
集. 记作A∩B(读作”A 交B”),即A∩B={x|x∈A,且 x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:
A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)
全集:如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常
用U 来表示。
(2)
补集:设S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A
?
S),由 S 中
S
所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集)。
A
记作: C
S
A ,即 C
S
A ={x | x
?
S 且 x
?
A}

(3)
性质:⑴C
U
(C
U
A)=A ⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
CsA
(4)(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B) (5)(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)

二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合A 中的任意一个数x,
在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合A 到集合 B 的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数
值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:1、如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的 定义域即是指能使这个式子有意义
的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充:
能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)
分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数
式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义
域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义
域还要保证实际问题有意义.
(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如
果两个函数的定义域和对应关系完全 一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系 完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备)
值域补充
(1)
、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)
、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复 杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)
定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点P(x,y)
的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为
坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y 轴的直线最多只有一个交点


的若干条曲线或离散点组成。
(2)
画法:
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相
应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法:
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
(1)
将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)∣的图象如:书上 P21 例 5
?
1
?

x? x
(2)
y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如
y ? a与y ? a?
? ?
?
?
a
??
(3)
y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如
y ? log
a
x与y ? ?log
a
x ? log
1
x
a
x
Ⅱ、平移变换: 由 f(x)得到 f(x
?
a) 左加右减; 由 f(x)得到 f(x)
?
a 上加下减
(3)
作用:A、直观的看 出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发
现解题中的错误。
4. 区间的概念
(1)
区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

5. 映射
定义:一般地,设A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一
个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A
?
B 为从集合A 到集合B 的
一个映射。记作“f:A
?
B”
给定一个集合A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a
的象,元素 a 叫做元素 b 的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则
有“方向性”,即强调从集合 A 到集合B 的对应,它与从B 到A 的对应关系一般是不同的;
③对于映射 f:A→B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一
的;(Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元
素在集合A 中都有原象。
6、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续 的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象
的依据:作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法:必须注明函数的定义域;
3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:解析法:便于算出函数值。列表法 :便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数
在定义域的不同部分上有不同 的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相
应的表达式。分段函数的解析式不 能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大
括号括起来,并分别注明各部分 的自变量的取值情况.注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是
几个函数;(2)分段函数 的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f 是 g 的复合函数。
7.
函数单调性
(1).增函数
设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x
1
,x
2
,当x
1
2
时,


都有 f(x
1
)2
),那么就说 f(x)在区间D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的
单调增区间;
u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
增 增
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值 x
1
,x
2
,当 x
1
2
时,都有 f(x
1
)

减 减
>f(x
2
),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为 y=f(x)的单调减区

减 增 减
间.
注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部
减 减 增
性质;

2、必须是对于区间D 内的任意两个自变量 x
1
,x
2
;当 x
1
2
时,总有 f(x
1
)2
) (或 f(x
1
)>f(x
2
))。
(2) 图象的特点
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有( 严格的)单调性,在单
调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取 x
1
,x
2
∈D,且 x
1
2
;2 作差 f(x
1
)-f(x
2
);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差
f(x
1
)-f(x
2
)的正负);5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间D 上的单调性).
(B) 图象法(从图象上看升降)
(C) 复合函数的单调性:复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规
律如下:
复合函数单调性:口诀:同增异减
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
(4)判断函数的单调性常用的结论
①函数
y ?? f (x)

y ? f (x)
的单调性相反;

y ??
1
f (x)
与函数
y ? f (x)
的单调性相反;
②当函数
y ? f (x)
恒为正或恒有负时,
③函数
y ? f (x)
与函数
y ? f (x) ? C
(C 为常数)的单调性相同;
④当C > 0(C 为常数)时,
y ? f (x)

y ? C f (x)
的单调性相同;
当 C < 0(C 为常数)时,
y ? f (x)

y ? C f (x)
的单调性相反;
⑤函数
f (x)

g(x)
都是增(减)函数,则
f (x) ? g(x)
仍是增(减)函数;
⑥若
f (x) ? 0, g(x) ? 0

f (x)

g(x)
都是增(减)函数,则
f (x) g(x)
也是增(减)函数;

f (x) ? 0, g(x) ? 0

f (x)

g(x)
都是增(减)函数,则
f (x) g(x)
也是减(增)函数;

n
n
f (x)
f (x) ? 0 f (x) k f (x)(k ? 0) f
⑦设 ,若 在定义域上是增函数,则 、、
(x)(n ? 1)
都是增函数,

1

f (x)
是减函数.
8.
函数的奇偶性
(1)
偶函数
一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数.
(2)
奇函数
一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函
数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,
则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)
具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.


总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若
f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,
若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根
据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
y
轴对称.
③若
f (x)
为偶函数,则
f (?x) ? f (x) ? f (| x |)
.
④若奇函数
f (x)
定义域中含有 0,则必有
f (0) ? 0
.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数
F (x)
与一个偶函数
G(x)
的和(或
差)”.如设
f (x)
是定义域为 R 的任一函数, 则
F (x) ??
f (x) ? f (?x)
2

G(x) ??
f (x) ? f (?x)
.

2
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(
f (x) ? 0
,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
9、函数的解析表达式
(1) 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对
应 法则,二是要求出函数的定义域.
(2)
求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时 ,
可用待定系数法;B、已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值 范围;当已知表
达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法 求出 f(x) 10.函数
最大(小)值(定义见课本 p30 页)
(1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
(2) 利用图象求函数的最大(小)值;
(3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,
c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b, c]
上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.
根式的概念:
负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作
n

0
=0。
注意:(1)
(
n
a )? a
n
?
a, a ? 0

(2)当 n 是奇数时,
a? a
,当 n 是偶数时,
a?| a |?
?
?a, a ? 0
??
n
n
n
n
2.
分数指数幂
m
正数的正分数指数幂的意义,规定:
a
n

? a(a ? 0, m, n ? N ,且n ? 1)
?

n m ?
正数的正分数指数幂的意义:
a
_
m
n
1
(a ? 0, m, n ? N
?
?
, 且n ? 1)
?
m
a
n
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义
3.
实数指数幂的运算性质
(1) a
r
a
s
? a
r ?s
(a ? 0, r, s ? R)


(2)
(a)? a(a ? 0, r, s ? R)
(3)
(ab)? ab(a ? 0,b ? 0, r ? R)
r rr
r s rs




1
2
2
?
?
?


注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如
[(1??
2)]? 1??
2而应=
2 ?1
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y ? a

叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.即 a>0 且 a≠1
2、指数函数的图象和性质






x
0
a>1








定义域 R , 值域(0,+∞)
(2)在 R 上是增函数
(3)当 x>0 时,y>1;
当 x<0 时,0函数性质
函数的定义域为R
函数的值域为R
+

非奇非偶函数
过定点(0,1)
减函数
当 x>0 时,0当 x<0 时,y>1
函数值开始减小极快,
到了某一值后减小速度较慢;
增函数
当 x>0 时,y>1;
当 x<0 时,0(1)过定点(0,1),即x=0 时,y=1
(2)在 R 上是减函数
性质
(3)当 x>0 时,0当 x<0 时,y>1
图象特征
向 x 轴正负方向无限延伸
函数图象都在 x 轴上方
共性
图象关于原点和 y 轴不对称
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标都小于 1
在第二象限内的图象纵坐标都大于 1
图象上升趋势是越来越缓






0
自左向右看,图象逐渐上升
在第一象限内的图象纵坐标都大于 1
在第二象限内的图象纵坐标都小于 1
图象上升趋势是越来越陡

a>1
注意: 指数增长模型:y=N(1+p)
x
3 考点:(1)a
b
=N, 当b>0 时,a,N 在 1 的同侧;当b<0 时,a,N 在 1 的 异侧。
(2)
指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小,
同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进 1(=a
0
)进行传递或者利用(1)的知识。
(3)
求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。
(4)
分辨不同底的指数函数图象利用 a
1
=a,用x=1 去截图象得到对应的底数。
函数值开始增长较慢,
到了某一值后增长速度极快;
指数型函数: y=ka
x


(5)指数型函数:y=N(1+p)
x

二、对数函数
(一)对数
简写:y=ka
x
1.对数的概念:一般地,如果
a? N
x
,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:
x ? log
a
N
( a— 底数, N— 真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:1. 注意底数的限制,a>0 且 a≠1;2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式.
2、两个重要对数:
(1)
常用对数:以 10 为底的对数,
log
10
N记为lg N

(2)
自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 ,
log
e
N记为ln N

3、对数式与指数式的互化
x
x ? log N ? a? N
a
对数式 指 数 式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论:(1)负数和零没有对数
(2)log
a
a=1, log
a
1=0 特别地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
(3) 对数恒等式:
a
a
? N
(二)对数的运算性质
如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
1
M? N)? log
a
M ? log
a
N
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和


M

两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
2 、
log
a

? log
a

M ? log
a
N
logN
N
n
a
3


log log (n ?R)
a
M ? n
a
M
l
一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍
说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,+∞)
4) 特别注意:
log
a
MN ? log
a
M ? log
a
N
log
a
?
M ? N
?
? log
a
M ? log
a
N
log
c
b lg b
b ? ?
?
a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1,b ? 0
??
注意:换底公式
log
a
log a
c
a lg
利用换底公式推导下面的结论
1
n
n

log b ?

b? log b
b ?log c ?log d ? log
log d

log
a
log
b
a
a b c a
a
m

m
a
(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数
y ? log
a
x
(a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是
(0,+∞).
注意:(1) 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:
y ? log
a

x ?1

y ? log
a
x ? 2
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
(2) 对数函数对底数的限制:a>0,且 a≠1




2、对数函数的图像与性质:对数函数
y ? log
a
x
(a>0,且a≠1)






0 < a < 1
y






0
(1,0)





a

1

y







x


0





(1,0)

x


定义域:(0,+∞)


在(0,+∞)上是减函数
当 x>1 时,y<0
当 x=1 时,y=0
当 00
值域:R

在(0,+∞)上是增函数
当 x>1 时,y>0
当 x=1 时,y=0
当 0过点(1 ,0), 即当 x =1 时,y=0

重要结论:在 log b 中,当 a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时,有 log b>0;
a a

当 a,b 不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有 log b<0.
a
口诀:底真同大于 0(底真不同小于 0).
(其中,底指底数,真指真数,大于 0 指 log b 的值)
a

3、如图,底数 a 对函数
y ? log
a
x
的影响。

规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。
4 考点:
Ⅰ、log
a
b, 当 a,b 在 1 的同侧时, log
a
b >0;当 a,b 在 1 的异侧时, log
a
b <0
Ⅱ、对数函数的单调性 由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小,
同底找对应的对数函数 ,底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进 1(=log
a
a)进行传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用 1=log
a
a ,用 y=1 去截图象得到对应的底数。Ⅴ、
y=a
x
(a>0 且 a ≠1) 与 y=log
a
x(a>0 且 a ≠1) 互为反函数,图象关于 y=x 对称。


5 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.
6 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数);(2) 利用中间值(如:0,1.);(3) 变形后比较;(4) 作差比较
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如
y ? x
的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)
所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)
α>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+ ∞)上是增函数.特
别地,当α>1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α<1 时,幂函数的图象
上凸;
(3)
α<0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,
?

当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当
x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。(实质上是函数 y=f(x)与 x 轴交
点的横坐标)
2、函数零点的意义:方程 f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点
3、零点定理:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)
至少有一个零点 c,使得 f( c)=0,此时c 也是方程 f(x)=0 的根。
4、函数零点的求法:求函数 y=f(x)的零点:
(1) (代数法)求方程f(x)=0 的实数根;
(2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性
质找出零点.
5、二次函数的零点:二次函数 f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0).
1)
△>0,方程 f(x)=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)
△=0,方程 f(x)=0 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二
重零点或二阶零点.
3)
△<0,方程 f(x)=0 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零
点. 二、二分法
1、概念:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间
一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零 点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步骤:
⑴确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度ε;
⑵求区间(a,b)的中点 c;
⑶计算 f(c),
①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;
②若 f(a)f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x
0
∈(a,c))
③若 f(c)f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x
0
∈(c,b))
(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复⑵~⑷
三、函数的应用:


(1)
评价模型: 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。
(2)
几个增长函数模型:一次函数:y=ax+b(a>0)
指数函数:y=a
x
(a>1) 指数型函数: y=ka
x
(k>0,a>1)
幂函数: y=x
n
( n?N*) 对数函数:y=log
a
x(a>1)
二次函数:y=ax
2
+bx+c(a>0)
增长快慢:V(a
x
)>V(x
n
)>V(log
a
x)
解不等式 (1) log
2
x< 2
x
< x
2
(2) log
2
x< x
2
< 2
x

(3)
分段函数的应用:注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区间。
(4)
二次函数模型: y=ax
2
+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域,在求函数的对称轴,看它在不在定义域内,
在的话代进求出最值,不在的话,将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。
(5)
数学建模:
(6)一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
两个根都在(m,n )内
y
两个有且仅有一个在(m,n)内 x
1
∈(m,n) x
2
∈(p,q)




m

n


m
m
n
x



f(m)f(n)<0
n p q
? 0
?
?
?
b
? n
?
m ? ?
2a
?
?
f (m) ? 0
??
?
?
f (n) ? 0

两个根都小于 K
?
f (m) ? 0
?
f (n) ? 0
?
?
?

f ( p) ? 0
??
?
?
f (q) ? 0
一个根小于 K,一个根大于 K 两个根都大于 K
y







k
k
?
? ? 0
?
b
?? k
?
2a
??
?
?
f (k ) ? 0


x
k
?
? ? 0
?
b
?? k
?
2a
??
?
?
f (k ) ? 0

f(k)<0

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本文更新与2020-09-14 15:43,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/394363.html

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