高中数学必修1练习题集

例9. 已知集合A={a + 2，(a + 1)
2
，a
2
+ 3a + 3}，若1
?
A，求实数a的值。






例10. 集合M的元素为自然数，且满足：如果x
?
M，则8 - x
?
M，试回答下列问题：
⑴ 写出只有一个元素的集合M；
⑵ 写出元素个数为2的所有集合M；
⑶ 满足题设条件的集合M共有多少个？













创新、拓展、实践

1、实际应用题
例11. 一个笔记本的价 格是2元，一本教辅书的价格是5元，小明拿9元钱到商店，如
果他可以把钱花光，也可以只买一种商品 ，请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来，
并用集合表示。








2、信息迁移题
例12. 已知A= {1，2，3}，B={2，4}，定义集合A、B间的运算A＊B={x∣x
?
A且
x
?
B}，则集合A＊B等于（ ）
A. {1，2，3} B. {2，4} C. {1，3} D. {2}

4

3、开放探究题
例13. 非空集合G关于运算
?
满足：⑴ 对任意a、b
?
G，都有a
?
b
?
G；⑵ 存在
e
?
G，使得对一切a
?
G，都有a
?
e = e
?
a = a，则称G关于运算
?
为“融洽集”。现给
出下列集合与运算：
① G={非负整数}，
?
为整数的加法。
② G={偶数}，
?
为整数的乘法。
③ G={二次三项式}，
?
为多项式的加法。
其中G关于运算
?
为“ 融洽集”的是__________。（写出所有“融洽集”的序号）
例14. 已知集合A={0，1，2，3，a}，当x
?
A时，若x - 1
?
A，则 称x为A的一个“孤
立”元素，现已知A中有一个“孤立”元素，是写出符合题意的a值_______ (若有多个a
值，则只写出其中的一个即可)。
例15. 数集A满足条件；若a
?
A，则
⑴ 若2
?
A，试求出A中其他所有元素；
⑵ 自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
⑶ 从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”。











1
1?a
。
?
A（a≠1）
高考中出现的题

例1. （2008·江西高考）定义集合运算：A＊B={z∣z = xy，x
?
A，y
?
B}。设A={1，
2}，B={0，2}，则集合A＊B的所有元素之和为 （ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
例2. （2007·北京模拟）已知集合A={a
1
，a
2，?，a
k
}(k≥2)，其中a
i
?
Z (i=1，2，?，
k)，由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）∣a
?
A，b
?
A，a + b
?
A}；T={(a，
b)∣a
?
A，b< br>?
A，a - b
?
A }，其中（a，b）是有序数对。
若对于任意的a
?
A，总有- aA
?
A，则称集合A具有性质P。
试检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T。





5

1.1.2 集合间的基本关系
例1 用Venn图表示下列集合之间的关系：A={x∣x是平行四边形}，B={ x∣x是菱
形}，C={ x∣x是矩形}，D={ x∣x是正方形}。




例2 设集合A={1，3，a}，B={1，a
2
- a + 1}，且A
?
B，求a的值




例3 已知集合A={x，xy，x - y}，集合B={0，
x
，y}，若A=B，求实数x，y的值。






例4 写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集。





例5 判断下列关系是否正确：（1）0
?
{0} ；（2）
??
{0}；（3）
??
{0}；（4）






题型一 判断集合间的关系问题
例1 下列各式中，正确的个数是（ ）
(1) {0}
?
{0，1，2}；（2） {0，1，2}
?
{2，1，0}；（3）
??
{0，1，2}；（4）??
{0}；
（5）{0，1}={（0，1）}；（6）0={0}。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4





6

题型二 确定集合的个数问题
例2 已知{1，2}
?
M
?
{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有__________个。









题型三 利用集合间的关系求字母参数问题
例3 已知集合A={x︱1＜ax＜2}，B ={x∣
x
＜1},求满足A
?
B的实数a的范围。











例4 设集合A={x∣x
2
+ 4x=0，x
?
R}，B={x∣x
2
+ 2(a + 1)x + a
2
- 1=0，x
?
R }，若B
?
A，
求实数a的值。










一、数形结合思想：1. 用Venn图解题
例5 设集合A={x︱x是菱形}，B={x︱x是平行四边形}，C={x︱ x是正方形}，指出A、
B、C之间的关系。



7

例6 （2. 用数轴解题）已知A={x︱x＜-1或x＞5}，B={x
?
R︱a＜x＜a + 4}，若A
?
B，
求实数a的取值范围。






二、分类讨论思想
例7 已知集合A={a，a + b，a + 2b}，B={a，ac，ac
2
}，若A=B，求c的值。









创新、拓展、实践
1. 数学与生活
例8 写出集合{农夫，狼，羊}的所有子集，由此设计一个方案：农夫把狼、羊、菜从
河的一岸送到另一岸，农夫每次乘船只能运送一样东西，并且农夫不在场的情况下，狼和羊
不能 在一起，羊和菜不能在一起。






2. 开放探究题
例9 已知集合A={x∣
x?a
= 4}，集合B={1，2，b}.
（1） 是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A
?< br>B？若存在，求出对应的a值，
若不存在，说明理由。
（2） 若A
?
B成立，求出对应的实数对（a，b）







8

高考要点阐释
例1 （山东模拟）设a、b
?
R，集合{1，a + b，a }={0，
(请写出解题过程)
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2





例2 (湖北模拟）已知集合A={-1，3，2m -1}，集合B={3，m
2
} ，若B
?
A，则实数
m=___________.
例3 （2008·福 建高考）设P是一个数集，且至少含有两个数，若任意a、b
?
P，都
有a + b、ab、
a
b
b
a
，b}，则b – a =( )
，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域；数集F={a
?
P（除数b≠0）
+b
2
∣
a
、
b< br>?
Q}也是数域。有下列命题：①整数集是数域；②若有理数Q
?
M，则数集< br>M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。
其中正确的命题的序号是__________.（把你认为正确的命题的序号都填上）
<名师专家专辑1·空集>
1. 空集的概念及性质
例1 在（1）{0}；（2）{
?
}；（3）{x∣3m＜x＜m}；（4）{x∣a + 2＜x ＜a}；（5）{x∣x
2
+1=0，
x
?
R}中表示空集的是__ ________.
2. 空集性质的应用
例2 已知集合A={x∣x＞0，x
?
R}，B={x∣x
2
- x + p=0}，且B
?
A，求实数p的范围。









例3 已知A={x∣x
2
- 3x + 2=0}，B={x∣ax - 2=0}，且B
?
A，求实数a组成的集合
C.




9

1.1.3 集合的基本运算
例1 设集合A={x︱-1＜x＜2}，集合B={ x︱1＜x≤3 }，求A
?
B.



例2 A={ x︱-1＜x≤4}，B={ x︱2＜x≤5}，求A
?
B.



例3 若A、B、C为三个集合，A
?
B = B
?
C，则一定有（ ）
A. A
?
C
例4 不等式组
在数轴上。




题型一 基本概念
例1 设集合A={（x，y）∣a
1
x + b
1
y + c
1
= 0}，B={（x，y）∣a
2
x + b
2
y + c
2
= 0}，
?
a
1
x?b
1
y? c
1
?0,
则方程组
?
的解集是__________；方程(a< br>1
x + b
1
y + c
1
)（a
2
x + b
2
y +
ax?by?c?0
22
?
2
B. C
?
A C. A≠C D. A =
?

的解为A，U=R，试求A及 C
U
A，并把它们分别表示
c
2
）= 0的解集是__________.








题型二 集合的并集运算
例2 若集合A={1，3，x}，B={1，x
2
}，A
?
B ={1，3，x}，则满足条件的实数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个






10

题型三 集合的交集运算
例3 若集合A={x∣x
2
- ax + a
2
- 19 = 0}，B={x∣x
2
- 5x + 6 = 0}，C={x∣x
2
+ 2x
- 8 = 0}，求a的值使得
??
(A
?
B)与A
?
C=
?
同时成立。






例4 集合A={1，2，3，4}，B
?
A，且1
?< br>(A
?
B)，但4
?
(A
?
B)，则满足上述条件< br>的集合B的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
题型四 集合的补集运算
例5 设全集U={1，2，x
2
- 2}，A={1，x}，求C
U
A








例6 设全集U为R，A={x︱x
2
- x –2 = 0}，B={x︱
x
= y + 1，y
?
A}，求C
U
B







题型五 集合运算性质的简单应用
?
B=2， 例7 已知集合A={x︱x
2
+ ax + 12b = 0} 和B= {x︱x
2
- ax + b = 0}，满足（C
U
A）
A
?
(C
U
B)={4}，U = R，求实数a、b的值。






11

例8 已知A={x︱x
2
- px –2 = 0}，B= {x︱x
2
+ qx + r = 0}，且A
?
B ={-2，1，5}，A
?
B
={-2}，求实数p、q、r的值。







数学思想方法
一、数形结合思想
例9（用数轴解题）已知全集U={ x︱x≤4 }，集合A={x︱-2＜x＜3}，集合B={ x︱
-3＜x≤3 }，求C
U
A，A
?
B ，C
U
( A
?
B)，(C
U
A)
?
B






例10（用Venn图解题）设全集U和集合A、B、P满足A= C
U
B，B= C
U
P，则A与P
的关系是（ ）
A. A= C
U
P B. A=P C. A
?
P D. A
?
P






二、分类讨论思想
例11 设集合A={
a?1
，3，5}，集合B={2a+1，a
2
+ 2a，a
2
+ 2a - 1}，当A
?
B={2，
3}时，求A
?
B







三、“正难则反”策略与“补集”思想
12

例12 已知方程x
2
+ ax + 1 = 0，x
2
+ 2x - a = 0，x
2
+ 2ax + 2 = 0，若三个方程至少有一
个方程有实根，求实数a的取值范围。










四、方程思想
例13 设集合A={x︱x
2
+ 4x = 0，x
?
R}，B= {x︱x
2
+ 2(a + 1)x + a
2
- 1 = 0，x
?
R }，
若B
?
A，求实数a的值。










创新、拓展、实践
例14（实际应用题） 在开秋季运动会时，某班共有28名同学参 加比赛，其中有15人
参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3 人，同时
参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的
有多少人？只参加径赛的同学有多少人？











例15（开放探究题）定义集合A和B的运算为A﹡B ={ x︱x
?
A且x
?
B}，试写出含
13

有几何运算符号“﹡”、“
?
”、“
?
”，并 对任意集合A和B都成立的一个式子__________
___________________ __________________________________________________ _________

例16 我们知道，如果集合A
?
U，那么U的子集A的补集为C
U
A={ x︱x
?
U，且x
?
A}，
类似地，对于集合A、B，我们把集合{ x︱x
?
A，且x
?
B}叫做A与B的差集，记作A - B，
例如A={1，2，3，5，8}，B={4，5，6，7，8}，则A - B={1，2，3，}，B – A={4，6，7}。
据此，回答以下问题：
⑴ 补集与差集有什么异同点？
⑵ 若U是高一⑴班全体同学的集合，A是高一⑴班全体女同学组成的集合，求U – A
及C
U
A.
⑶ 在图1-1-24所示的各图中，用阴影
表示集合A – B
⑷ 如果A – B=
?
，那么A与B之间具
有怎样的关系。










高考要点阐释
例1（2008·陕西高考）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A= {x︱x
2
- 3x + 2 = 0}，
B= {x︱x= 2a，a
?
A}，则集合C
U
(A
?
B)中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2（2008·上海高考）若集合A= {x︱x≤2}，B= {x︱x≥a}，满足A
?
B={2}，则实
数a = _________________________________.
例3（2008·北京高考）已知集合A= {x︱-2≤x≤3}，B= {x︱x＜-1或x＞4}，则集合
A
?
B等于（ ）
A. {x︱x≤3或x＞4} B. {x︱-1＜x≤3} C. {x︱3≤x＜4} D. {x︱-2≤x＜-1}
1.2 函数及其表示
例1 判断下列对应是否为函数
⑴ x
?

14
2
x
，x≠0，x
?
R；⑵ x
?
y，这里y
2
= x，x
?
N，y
?
R

2.1 指数函数
例1 求下列各式的值
⑴
3
(?2)
3
= ⑵
4
(?2)
4
= ⑶
6
(3?
?
)
6
= ⑷
x
2
?2xy?y
2
=
例2 ⑴ 把下列各式中的a写成分数指数幂的形式（a＞0）；
① a
5
=256 ② a
?4
=28 ③ a
?7
=5
6
④ a
?3n
=3
5m
(m，n
?
N
*
)
3
⑵ 计算：① 9
2

② 16
?
3
2

2
3
例3 化简
ab
?
?
a
?1
b
?1
÷
?
?
2
3
?

a
?
1
2
?
3
b
?
?
ba
?
?






例 4 化简（式中字母都是正数）
⑴ （x
2
y
3
）
6


⑵ (2x
2
+ 3y
?3
)(2x
2
- 3y
?3
)

1
?
1
⑶ 4x
2
·3x
2
(- y
3
)·y
?
3
3


例 化简下列各式
⑴
x
?2
?y
?2?2
?y
?2
22
-
x
22

x
?
3
?y
?
3
x
?
3
?y
?
3









15

41
⑵
a
a
2
3
3< br>?8a
3
b
2
3
3
÷（1 – 2
3
b
a
）×
3
a

?2ab?4b






典型例题
题型一、根式的性质
例1 求值




例2 计算：⑴
5?26?







⑵
3
2?






题型二、分数指数幂及运算性质
1. 计算问题：例3 计算：
a
2





16
3
9
a
a?
2
3
2
（a＞0）.
a
5?26

5?
3
2?5

a
?3
?
3
a
?7
3
a
13

2. 化简问题：例4 化简下列各式：⑴
a
2









⑵ （x



3. 带附加条件的求值问题
1
1
2
?1
1
2
1
3
7
a
?3
?
3
a
?8
3
a
15
?
3
a
?3
a
?1

（x
?x?x
）
0
?
?x
2
）
例5 已知a
2
+ a
⑴ a + a
?1


⑵ a
2
+ a
?2


3
?
= 3，求下列各式的值：
⑶
a
2
?a
1
?
3
2
1
2

a
2
?a
?






数学思想方法
一、化归与转化思想
a
2
例6 化简：




b
3
a
b
3
ba
（a＞0，b＞0）.
17

二、整体代换思想
例7 ⑴ 已知2
x
?2
?x
?a
（常数），求8
x
?8
?x
的值。








11
⑵ 已知x + y = 12, xy = 9，且x＜y，求
x
2
?y
2
11
的值。
x
2
?y
2







创新、拓展、实践
1. 数学与科技
例8 已知某两星球间的距离d
1
= 3.12×10
34
千米，某两分子间的距离d
2
= 3.12×10
?32
米，请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍？







2. 创新应用题
例9 已知a、b是方程x
2
- 6x + 4 = 0的两根，且a＞b＞0，求






18
a?
a?
b
b
的值。

3. 开放探究题
例10 已知a＞0，对于0≤r≤8，r
?
N
?< br>，式子(
a
)
8?r
(
数幂的可能情形有几种？






高考要点阐释(写出解题的过程)
1 313
1
4
)
r
能化为关于a的整数指
a
例1（2 008·重庆文高考）若x＞0，则（2x
4
+ 3
2
）（2x
4
- 3
2
）- 4x
=_____________________________.



例2（上海高考）若x
1
、x
2
为方程2=（



x
?
1
2
1
·（x - x
2
）
1
2
）
?
1
x
?1
的两个实 数解，则x
1
+ x
2
=_____.
例3（北京高考改编）函数f（x）= a
x
(a＞0，且a≠1)对于任意的实数x、y都有（ ）
A. f（x·y）= f（x）·f（y） B. f（xy）= f（x）+ f（y）
C. f（x + y）= f（x）·f（y） D. f（x + y）= f（x）+ f（y）



名师专家点穴
一、巧用公式
引入负指数幂及分数指数幂后，初中的平方差、立方差、完全平方公 式有了新的特征；如：
11
2
1
2
1
2
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
（a
?
a
?1
）= a
?
2 + a；a – b = (a+ b)(a- b)；a + b = (a+ b)·（a- ab+ b
3
）
2
22?2
19

例1 化简下列各式
⑴ （x+ x + 1）(x




二、整体带入
1
?
?
1
2
1
- x
2
)
例2 已知x
2
+ x







例3 计算（1 +










?
1
2
=3 求
x?x
3
2?2
3
2
?2
?3
的值。
x
2
?x
?
1
2
2048
）（1 +
1
2
1024
）?（1 +
1
2
4
）（1 +
1
2
2
）（1 +
1
2
）.

三、根式、小数化为指数幂
例4 计算（0.0081）








20
?
1
4
- [3×(
7
8
)]
0? 1
·[81
?0.25
+(3
3
8
)
?
1
3
]
?
1
2
.

2.1.2 指数函数及其性质
例1 指出下列函数哪些是指数函数
⑴ y = 4
x
；⑵ y = x
4
；⑶ y = - 4
x
；⑷ y = (-4)
x
；⑸ y =
?
x
；⑹ y = 4x
2
；
⑺ y = x
x
；⑻ y = (2a - 1)
x
(a＞



例2 比较下列各题中两个值的大小。
⑴ 1.7
2.5
，1.7
3
； ⑵ 0.8
?0.1
，0.8
?0.2
； ⑶ 1.7
0.3
，0.9
3.1






例3 求下列函数的定义域和值域：
1
1
2
，且a ≠ 1)
⑴ y =







1?2
x
； ⑵ y = 2
x?1
⑶ y = (
1
2
)
x?2x?3
2

教材问题探究
1. 函数图像的变换
例1 画出下列函数的图像，并说明他们是由函数f (x) = 2
x
的图像经过怎样的变换得
到的。
⑴ y = 2
x?1
； ⑵ y = 2
x?1
； ⑶ y = 2
⑸ y = -2
x
； ⑹ y = -2
?x








21
x
； ⑷ y =
2
x
?1
；

2.图像变换的应用
例2 设f (x) =
3
x
?1
，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的
是（ ）
A. 3
c
＜3
b
B. 3
c
＞3
b
C. 3
c
+ 3
a
＞2 D. 3
c
+ 3
a
＜2






探究学习
例3 选取底数a (a＞0，且a ≠ 1)的若干个不同的值, 在同一平面直角坐标系内作出
相应的指数函数的图像. 观察图像, 你能发现他们有哪些共同特征?





















22

典型例题精析
题型一 指数函数的定义
例1 函数y = (a
2
+ 3a + 3) a
x
是指数函数，则a的值为___________________________






题型二 指数函数的图像和性质
1. 过定点问题
例2 函数y = 2
x?3
+ 3恒过定点________________.




2. 指数函数的单调性
例3 讨论函数f (x) = (























23
1
3
)
x
2
?2x
的单调性，并求其值域。

例4 已知函数f (x) =
a?1
a?1
x
x
（
a
＞1）
⑴ 求该函数的值域；⑵ 证明f (x)是R上的增函数











3. 指数函数的图像
例5 若函数y = a
x
+ b – 1（a＞0，且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定
有（ ）
A. a＞1，且b＜1 B. 0＜a＜1，且b＜0
C. 0＜a＜1，且b＞0 D. a＞1，且b＜1



变试训练1：当
a
≠0时，函数y =
ax
+ b和y = b
ax
的图象只可能是下列中的（ ）


题型三 指数函数图像和性质的综合应用

1. 比较大小
例6 右图是指数函数：① y = a
x
，② y = b
x
，③ y = c
x
，
④ y = d
x
的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）
A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c
C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c
24

2. 解不等式
?
1
?
例7 ⑴ 解不等式
??
?
2
?
x?2
2
≤2.







⑵ 已知
?< br>a
2
?a?2
?
＞
?
a
2
?a?2
?
x1?x
，则x的取值范围是________________。


?x
?
2?1
?
x?0
?
,
?
1
⑶ 设函数f(x)=
?
若f (x
0
)＞1，则x
0
的取值范围是（ ）
2
?
?
x
?
x?
0
?
,





变试训练2：设y
1
= a
3x?1
，y
2
= a
?2x
，其中a＞0，a≠1，确定x为何值时，
有：⑴ y
1
= y
2
； ⑵ y
1
＞ y
2
.






3. 定义域和值域
例8 求下列函数的定义域与值域
1
?x
⑴ y = 2
x?4






?
2
?
； ⑵ y =
??
?
3
?
.
25

例10 已知 -1≤x≤2，求函数f(x)=3+2·3
x?1
?
9
x
的值域









4. 指数方程
例10 解方程：3
x?2
-3
2?x
=80







xx?1
例11 若方程
?
?
1
?
?
?
?
?
1
?
?a?0有正数解，则实数
a
的取值范围是（
?
4
??
2
?
?
A．（
??
，1） B. (
??
，2) C. （-3，-2） D.（-3，0）






5. 单调性问题
例12 已知a＞0且a≠1，讨论f(x)=a
?x
2
?3x?2
的单调性










26
）

例13 设
a
＞0，f(x) =
e
x
a
?
a
e
x
在R上满足f(-x) =f(x)。
⑴ 求
a
的值 ⑵ 证明：f(x)在（0，+
?
）上是增函数









6. 奇偶性问题
例14 已知函数f(x)=
?
⑴ 求f(x)的定义域



⑵ 讨论f(x)的奇偶性





⑶ 证明f(x)＞0




题型四 指数函数的实际应用
例15 截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口平均增长率 控制在
1%，那么经过20年后，我国人口约为多少？（精确到亿）









?
x
1
?
2?1
?
1
?
3
?
?x
，
2
?
27

数学思想方法
一、数形结合思想
1. 比较大小
例16 比较3
?1.5
和4
?1.7






2. 求参数的取值范围
3a?2
?
3
?
例17 关于x的方程
??
?
有负根，求
a
的取值范围。
5?a
?
4
?
x









3. 研究函数的单调性
x?12x
?2
的单调区间 例18 求函数y =
1?2








二、分类讨论思想
?
1
?
例19 根据下列条件确定 实数x的取值范围：
a
＜
??
?
a
?
1?2x(a＞0且a≠1)






28

三、函数与方程思想
例20 已知x,y
?R，且3
x
+5
y
＞3
?y
+ 5
?x
，求证x + y＞0.










创新、拓展、实践
1. 数学与科技
例21 家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量
Q呈指数函数型变化，满足关系式Q = Q
0
e
?0.0025t
，其中Q
0
是臭氧的初始量，t为时间。
⑴ 随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
⑵ 多少年以后将会有一半的臭氧消失？












例22 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定
的剂 量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）
与时间t（小时）之间近似满足右图所示的曲 线。
⑴ 写出服药后y与t之间的函数关系式y = f(t)；
⑵ 据进一步测定：每毫 升血液中含药量不少于0.25微
克时，治疗疾病有效。求服药一次治疗疾病有效的时间。






29

2. 数学与生产
例23 某工厂今年1月、2月、3月 生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3
万件，为了估测以后各月的产量，以这三个的月产 量为依据，用一个函数模拟产品月产量y
（万件）与月份数x的关系，根据经验，模拟函数可以选用二次 函数或y=ab
x
+c（其中a、
b、c为常数），已知4月份该产品产量为1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较
好？并求此函数的解析式。












3. 创新应用
例24 设f(x)=
4
x
x
4?2
，若0＜a＜1，试求：
⑴ f(a)+ f(1-a)的值





⑵














30

高中数学必修4
第一章 三角函数
三角函数是中学数学的重要内容，还是学习解三角形、向量、立体几何中有关内容的
重要工具。
学法指导：1.要掌握三角函数中各个函数的基本概念，熟悉他们之间的内在联系。
2.在熟练掌握概念、公式的基础上，要不断总结解题规律，掌握变形方法
与技巧。
3.注意化归思想、数形结合思想在本章中的应用
1.1 任意角和弧度制
题型三 已知角
a
所在象限，求2
a、
所在象限问题
2
a
例4 已知角
a
是第二象限角，求角2
a
是第几象限角。





例5 若
a
是第一象限角，则





题型四 弧度制的概念问题
例6 下列诸命题中，假命题是（ ）
A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B. 一度的角是周角的
1
360
1
2
?
a2
是第几象限角？
，一弧度的角是周角的
C. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位。
D. 不论使用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
题型七 用弧度表示终边相同角的问题
例9 将 - 1485°表示成2k
?
+
a
，k
?
Z的形式，且0 ≤
a
＜2
?
.




题型八 由两角终边的位置确定两角的关系
例10 若角
?
、
?
的终边互为反向延长线，则
?
与
?
之间的关系一定是（ ）
A.
?
= -
?
B.
?
=180°+
?

C.
?
=
k·
360°+
?
（k
?Z
） D.
?
=
k·
360°+ 180°+
?
（k
?Z
）
31

数学思想方法
一、分类讨论思想
例11 若
a
是第二象限角，则









二、函数思想
例12 扇形的周长C一定时，它的圆心角
?
取何值才能使该扇形面积S最大？最大值
是多少？







创新·拓展·实践
一、实际应用题
例13 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？






二、数学与应用
例14 一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用每小时30 km的
速度通过，10 s间转过多少弧度？









32
a
3
是第几象限角？

33