(完整word版)高一数学必修一综合

老梁试卷高一数学必修一综合

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（5.00分）已知集合 A={x|x
2
＜16}，B={x|4﹣2x＞0}，则A∩B=（ ）

A．（﹣4，2） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，4）

2．（5.00分）函数f（x）=ln||的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

3．（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（ ）

A． B．3 C．或3 D．或3

4．（5.00分）已知奇函 数f（x），当x＞0时单调递增，且f（1）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取
值范围为（ ）

A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜﹣1或x＞1}

5．（5.00分） 已知函数f（x）=log
a
x（0＜a＜1）的导函数为f'（x），记A=f'（a），B =f（a+1）﹣f
（a），C=f'（a+1），则（ ）

A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A

6．（5.00分）已知函数
是（ ）

A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]

，若x，y满足，则的取值范围
7．（5.00分）已知点（m， 8）在幂函数f（x）=（m﹣1）x
n
的图象上，设
，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c

，g（x）=e
x
（e是自然对数的底数），若关于x的8．（5.00分）已知函数f（x） =
方程g（f（x））﹣m=0恰有两个不等实根x
1
、x
2
，且x
1
＜x
2
，则x
2
﹣x
1
的最小值为（ ）

A．（1﹣ln2） B．+ln2 C．1﹣ln2 D．（1+ln2）

9．（5.00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至1 00万元的投资收益，为激发开
发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益 x（万元）的增加而增
加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟 合公司奖励方案，
则较适合的函数是（ ）

A．y=+2 B．y= C．y=+ D．y=4lgx﹣3

）
x
的图象可能是（ ）

10 ．（5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax
2
+bx+c与函数y=（
A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

11．已知log
2
x=log
3
y=log
5
z＜0，则、、由小到大排序为 ．

12．已知函数
3x）＜f（4）的解集为 ．

（a ＞0，且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（x
2
﹣
13．函数f（x ）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数
根，则实数k的取值范围为 ．

14．已知λ∈R，函数（fx）=，当λ=2时，不等式（fx）＜0的解集是 ．若
函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．

三．解答题（共6小题）

15．已知定义域为R的函数f（x）=﹣+
（1）求a的值；

（2）判断函数f（x）的单调性并证明；

（3）若对于任意的t∈（1，2），不 等式f（﹣2t
2
+t+1）+f（t
2
﹣2mt）≤0有解，求m的取值范
围．
是奇函数

16．（1）计算：；

（2）已知x+x=2，求的值．




17．已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．




18．已知幂函数f（x）=
（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）当x∈（1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k 的取
值范围．




19．已知函数
（1）求函数f（x）的反函数f
1
（x）；
（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；
若不存在，说明理由；

（3）若方程
＜x
2
＜x
3
，且x
3
﹣x
2
=2（x
2
﹣x
1
）， 求实数a的值．




的三个实数根x
1
、x< br>2
、x
3
满足：x
1
﹣
在（0，+∞）上单调递增， 函数g（x）=2
x
﹣k，

20．如 图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，
其起点和终点均 在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹
在两线段EF、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、
CD间的弧上收益为 每千米a元．已知，设∠EOD=2θ，

（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；

（2）求商业街的总收益的最大值．

老梁试卷高一数学必修一综合

参考答案与试题解析



一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（5.00分）已知集合 A={x|x
2
＜16}，B={x|4﹣2x＞0}，则A∩B=（ ）

A．（﹣4，2） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，4）

【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【解答】解：A={x|﹣4＜x＜4}，B={x|x＜2}；

∴A∩B=（﹣4，2）．

故选：A．

【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集的运算．



2．（5.00分）函数f（x）=ln||的大致图象是（ ）

A． B． C．
D．

【分析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断

【解答】解∵，

∴f（﹣x）=ln||=﹣ln||=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，排除A，C

当0＜x=e+1，则f（e+1）=ln||=ln|e+2|﹣lne＞0，故排除B，

故选：D．

【点评】本题考查了函数图象的识别和判断， 关键是掌握函数的奇偶性，以函数值的特点，属于
基础题



3．（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（ ）

A． B．3 C．或3 D．或3

【分析】根据f（x）为奇函数即可得出，从而可解出a=±1，从而可 求出f（a）
的值．

【解答】解：f（x）是奇函数；

∴；

整理得：（2a
2
﹣2）2
x
=0；

∴2a
2
﹣2=0；

∴a=±1；

a=1时，；

a=﹣1时，．

故选：C．

【点评】考查奇函数的定义，指数式的运算，以及已知函数求值的方法．



4．（5.00分）已知奇函数f（x），当x＞0时单调递增，且f（1）=0，若f（x﹣1）＞0 ，则x的取
值范围为（ ）

A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2} C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜﹣1或x＞1}

【分析】先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，再将不等式等价变形，
即可得到结论．

【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，

且﹣1＜x＜0或x＞1，f（x）＞0；

x＜﹣1或0＜x＜1，f（x）＜0；

∴不等式f（x﹣1）＞0，

∴﹣1＜x﹣1＜0或x﹣1＞1，

解得0＜x＜1或x＞2，

故选：A．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得 到对称区间得单调性，
属于基础题．



5．（5.00分）已知 函数f（x）=log
a
x（0＜a＜1）的导函数为f'（x），记A=f'（a），B=f （a+1）﹣f
（a），C=f'（a+1），则（ ）

A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A

【分析】设M坐标为（a，f（a））， N坐标为（a+1，f（a+1）），利用导数及直线斜率的求法得到
A、B、C分别为对数函数在M处 的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数
函数的图象可知大小，得到正确答案．
【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），

则由于B=f（a+1）﹣f（a）=，表示直线MN的斜率，

A=f′（a）表示函数f（x）=log
a
x在点M处的切线斜率，

C=f′（a+1）表示函数f（x）=log
a
x在点N处的切线斜率．

所以，C＞B＞A．

故选：D．

【点评】本题考查三个数的大小 的比较，考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线
斜率的求法，是一道中档题．



6．（5.00分）已知函数
是（ ）

A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]

，若x，y满足，则的取值范围
【分析】先求 出函数y=f（x）的定义域（﹣1，1），并利用定义判断出函数y=f（x）为奇函数，

利用复合函数的单调性判断出函数y=f（x）为减函数，由
，可得到关于x、y的二元 一次方程组，然后利用线性规划的知识可求出
取值范围．

【解答】解：由
所以，函数
，得，解得﹣1＜x＜1，

，得
的
的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，

，
< br>任取x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），
所以，函数
令
则内层函数，

在x∈（﹣1，1）上单调递减，

为减函数，

为奇函数，

而外层函数y=lnu单调递增，由复合函数的单调性可知，函数
由，得，

则有，化简得，

做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示，


而代数式表示连接可行域上的点（x，y）与定点P（﹣3，0）两点连线的斜率，

由斜率公式可得直线PC的斜率为
直线PB的斜率为
结合图 形可知，
故选：C．

，

的取值范围是（﹣1，1），

，

【点评】本题考察函数的奇偶性与单调性、以及线性规划，关键在于利用函数的单 调性与奇偶性
得到二元一次不等式组，然后利用线性规划求代数式的取值范围，属于中等题．



7．（5.00分）已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）x
n
的图象上，设
，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c

【分析】由幂函数的定义可得m=2，n =3，f（x）=x
3
，且f（x）在R上递增，结合对数函数和幂
函数的性质，即可 得到a，b，c的大小关系．

【解答】解：点（m，8）在幂函数f （x）=（m﹣1）x
n
的图象上，

可得m﹣1=1，即m=2，

2
n
=8，可得n=3，

则f（x）=x
3
，且f（x）在R上递增，

由a=f（
0＜＜
），b=f （ln π），c=f（
＜1，ln π＞1，

），

可得a＜c＜b，

故选：A．

【点评】本题考查幂函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题．



，g（x）=e
x
（e是自然对数的底数），若关于x的8．（ 5.00分）已知函数f（x）=
方程g（f（x））﹣m=0恰有两个不等实根x
1
、x
2
，且x
1
＜x
2
，则x
2
﹣x1
的最小值为（ ）

A．（1﹣ln2） B．+ln2 C．1﹣ln2 D．（1+ln2）

【分析】化简方程为f（x）=lnm，作函数f（x），y=lnm的 图象，结合图象可知，存在实数m（0

＜m≤1），使x
2
=e
≥g（）=
=m，可得x
1
﹣x
2
=m﹣lnm，令g （m）=m﹣lnm，利用导数可得g（m）
，

【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）＞0恒成立；

∴g[f（x）]=e
f
（
x
）
=m，∴f（x）=lnm；

作函数f（x），y=lnm的图象如下，

结合图象可知，存在实数m（0＜m≤1 ），使x
2
=e
故x
1
﹣x
2
=m﹣lnm，令g （m）=m﹣
=m

lnm，则g′（m）=1﹣，

故g（m）在（0，]递减，在（，1）递增，∴g（m）≥g（）=
故选：D．

，

【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最 值问题，应用
了数形结合的思想及转化构造的方法．



9．（5 .00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开
发者的潜 能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增
加，同时奖金不超 过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，
则较适合的函数是（ ）

A．y=+2 B．y= C．y=+ D．y=4lgx﹣3

【分析 】由设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10，100]时，
① f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立．然后对两个函数模型逐一分析，
对三个条件全部 满足的选取，三个条件有一个不满足则舍弃．

【解答】解：设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：

当 x∈[10，100]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③
①对于函数模型y=+2：

+2=5+2=7．

恒成立．

当x∈[10，100 ]时，f（x）是增函数，则f（x）
max
=f（100）=
所以f（x）≤9恒成 立．

因为函数
即
=+在[10，100]上是减函数，所以[]
m ax
==＞．

不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．

：

=10＞9．

②对于函数模型y=
当x∈[10，1 00]时，f（x）是增函数，则f（x）
max
=f（100）=
所以f（x）≤9 不成立．故该函数模型不符合公司要求．

③于函数模型y=+=（x+）：

+当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）
max
=f（100）=所以f（x）≤9恒成立．

因为函数
即
=+在[10，100]上是减函数，所以[
=4+．

]
max
=+=＜．

恒成立．故该函数模型符合公司要求．

④对于函数模型f（x）=4lgx﹣3：

当x∈[10，100]时，f（x）是 增函数，则f（x）
max
=f（100）=4lg100﹣3=8﹣3=5．

所以f（x）≤9恒成立．

设g（x）=4lgx﹣3﹣，则
当x≥10时，
．

，

所以g（x）在[10，100]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=﹣1＜0．

所以4lgx﹣3﹣＜0，即4lgx﹣3＜，所以
故该函数模型符合公司要求．
< br>在③和④中，③的f（x）
max
=4+．④的最大值为（x）
max
=5．

恒成立．

则为了达到激励的目的，应该是收益越高，奖励的比例越高，故④比③更合适，

故选：D．

【点评】本题考查了函数模型的选择及应用， 训练了函数最值的求法，综合性较强，有一定的难
度．



10． （5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax
2
+bx+c与函数y=（）
x的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【分析】二次函数y =ax
2
+bx+c与函数y=（
此寻找正确答案．

）
x
的图象，分别判断a，b，c的符号及关系，由
【解答】解：A中，由二次函数y=ax
2
+bx+c的图象知，a＞0，b＞0，c=0，
x
．此时，y=（）
即 y=（）
x
为减函数，故A成立；

＜0，函数y=（）
x
无B中，由二次函数y=ax
2
+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，
意义，故B不成立；

C中，由二次函数y=ax
2
+bx+c的图象知， a＜0，b＜0，c=0，
x
．此时，y=（）
x
即y=（）
为增函 数，故C不成立；

＜0，函数y=（）
x
无D中，由二次函数y=ax2
+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，
意义，故D不成立；

故选：A．

【点评】本题考查指数函数和二次函数的图象和性质，解题时结合图象要 能准确地判断系数的取
值．



二．填空题（共4小题）

11．已知log
2
x=log
3
y=log
5
z ＜0，则、、由小到大排序为 ＜＜ ．

=2
1k
，=3
1k，=5
1k
，
﹣﹣﹣
【分析】设k=log
2
x=lo g
3
y=log
5
z＜0，可得x=2
k
，y=3
k
，z=5
k
．可得=
利用指数函数的即可得出．

【解答】解：设k=log
2
x=log
3
y=log
5
z＜0，∴x=2
k
，y=3
k
，z=5< br>k
．

则=
﹣
=2
1k
，=3
1k
，=5
1k
，

﹣﹣
﹣﹣﹣
∴2
1k＜3
1k
＜5
1k
，

∴＜＜，

故答案为：＜＜．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



12．已知函数（a＞0，且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（ x
2
﹣
3x）＜f（4）的解集为 （﹣1，0）∪（0，3）∪（3，4） ．

【分析】直接利用函数的性质和定义域求出结果．

【解答】解：函数
则：函数单调递增，

故：不等式f（x
2
﹣3x）＜f（4）满足：x
2
﹣3x＜4，

解得：﹣1＜x＜4，

由于：x
2
﹣3x≠0，

解得：x≠0且x≠3，

故：不等式f（x
2
﹣3x）＜f（4） 的解集为：（﹣1，0）∪（0，3）∪（3，4）．

故答案为：（﹣1，0）∪（0，3）∪（3，4）．

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，单调性的应用．



（a＞0，且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），

13．函数f（x）=，关于x 的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数
根，则实数k的取值范围为 k≥﹣且k≠1 ．

【分析】根据函数与方程的关系，转化为函数f（x）与g（x）=k（x﹣1），至少有 两个不同的交
点，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：由f （x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，得f（x）=k（x﹣1）至少有两个不相
等的实数根，

设g（x）=k（x﹣1），则等价为f（x）与g（x）至少有两个不同的交点，

作出函数f（x）的图象如图：

g（x）=k（x﹣1），过定点C（1，0），

当x＞0时，f（x）=x
2
﹣x的导数f′（x）=2x﹣1，

在x=1处，f′（1）=2﹣1=1，

当k=1时，g（x）=x﹣1与f（x）=+x=x+1平行，

此时两个图象只有一个交点，不满足条件．

当k＞1时，两个函数有两个不相等的实数根，

当0≤k＜1时，两个函数有3个不相等的实数根，

当k＜0时，当直线经过点A（﹣，）时，两个图象有两个交点，

此时k（﹣﹣1）=，即k=﹣，

当﹣＜k＜0时，两个图象有3个交点，

综上要使方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则k＞﹣且k≠1，

故答案为：k≥﹣且k≠1．


【点评】本题主要考查函数与方程的应用， 利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，结合
数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的 难度．



14．已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是 {x|1
＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 （1，3]∪（4，+∞） ．

【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的 图象，通过函数的零点得到不等
式求解即可．

【解答】解：当λ=2时函数f（x） =，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：
{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化 为：x
2
﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的
解集为：{x|1＜x＜ 4}．

函数f（x）恰有2个零点，

函数f（x）=的草图如图：

函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．

故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．


【点评】 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题
解决问题的能力．



三．解答题（共6小题）

15．已知定义域为R的函数f（x）=﹣+
（1）求a的值；

（2）判断函数f（x）的单调性并证明；

（3）若对于任意的t∈（1，2），不 等式f（﹣2t
2
+t+1）+f（t
2
﹣2mt）≤0有解，求m的取值范
围．

【分析】（1）根据f（0）=0求出a的值；

是奇函数

（2）根据函数单调性的定义证明；

（3）根据奇偶性和单调性列出不等式，从而得出m的范围．

【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（0）=﹣+=0，

∴a=1．

（2）f（x）=﹣+，故f（x）是R上的减函数．

证明：设x
1
，x
2
是R上的任意两个数，且x
1
＜x< br>2
，

则f（x
1
）﹣f（x
2
）=﹣=，

∵x
1
＜x
2
，

∴0＜3＜3，

∴＞0，即f（x
1
）﹣f（x
2
）＞0，

∴f（x
1
）＞f（x
2
），

∴f（x）在R上是减函数．

（3）∵f（x）是奇函数，f（﹣2t
2< br>+t+1）+f（t
2
﹣2mt）≤0有解，

∴f（t
2< br>﹣2mt）≤﹣f（﹣2t
2
+t+1）=f（2t
2
﹣t﹣1），< br>
又f（x）是减函数，

∴t
2
﹣2mt≥2t
2
﹣t﹣1在（1，2）上有解，

∴m≤=﹣++．

＜0，

设g（t）=﹣++，则g′（t）=﹣﹣
∴g（t）在（1，2）上单调递减，

∴g（t）＜g（1）=．

∴m的取值范围是（﹣∞，]．

【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性的应用，函数最值的计算，属于中档题．



16．（1）计算：；

（2）已知x+x=2，求的值．

【分析】（1）利用根式的运算性质即可得出．

（2）由
﹣
，两边 平方：，可得x+x
1
=2，两边平方得：x
2
+x
2
=2 ，
﹣﹣
两边平方得：x
4
+x
4
=2，代入即可得出．
【解答】解：（1）原式=；

（2）∵
﹣
，∴两边平方：
﹣﹣
，

∴x+x1
=2，两边平方得：x
2
+x
2
=2，两边平方得：x
4
+x
4
=2，

∴原式=．

【点评】本题考查了乘法公式、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



17．已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．

【分析】（1）欲使f（x）有意义，须有，解出即可；

（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；

【解答】解：（1）依题意有

解得﹣1＜x＜1

故函数的定义域为（﹣1，1）

（2）

∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）

∴f（x）为奇函数．

【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属 基础题，定义是解决函数奇偶性的
基本方法．



18．已知幂函 数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2
x
﹣k，

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）当x∈（1，2]时，记f （x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取
值范围．

【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，

（Ⅱ）先求出f（x）， g（x）的值域，再根据若A∪B?A，得到关于k的不等式组，解的即可．

【解答】解：（Ⅰ）依题意幂函数f（x）=
解得m=0或m=2，

当m=2时，f（x）=x
∴m=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x< br>2
，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，

∴A=[1，4]，B=（2﹣k，4﹣k]，

∵A∪B?A，

∴解得，0≤k≤1，

﹣
2
得：（m﹣1）
2
=1，

在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去

故实数K的取值范围为[0，1]．

【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．



19．已知函数
（1）求函数f（x）的反函数f
1
（x）；

﹣

（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求 出这些点的坐标；
若不存在，说明理由；

（3）若方程
＜x
2＜x
3
，且x
3
﹣x
2
=2（x
2
﹣ x
1
），求实数a的值．

【分析】（1）用y表示出x，即可得出反函数；

（2）设出对称的两点横坐标坐标，令函数值的和为0求出点的横坐标，从而得出两点坐标；

（3）判断f（x）与2
值．

的大小，求出x
1
、x2
、x
3
的值，根据得x
3
﹣x
2
=2（x< br>2
﹣x
1
）得出a的
的三个实数根x
1
、x
2
、x
3
满足：x
1

【解答】解：（1） ∵∴当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣2x，且0＜f（x）
≤2．

由y=﹣2x，得，互换x与y，可得．

当0≤x≤1时，f（x）=x
2
﹣1，且﹣1≤f（x）≤0．

由y=x
2
﹣1，得，互换x与y，可得．

∴

（2）函数图象上存在两点关于原点对称．

设点A（x
0
，y0
）（0＜x
0
≤1）、B（﹣x
0
，﹣y
0
）是函数图象上关于原点对称的点，

则f（x
0
）+f（﹣x
0< br>）=0，即
解得
因此，函数图象上存在点
（3）令f（x）=2
①当< br>解得
解得：
②当
x
2
+4ax=0，

解得，

，令
．

时，，原方程可化为，化简得（a
2
+4）
，解得x=﹣
时，有
，

，

，原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4=0，

，

，且满足0＜x≤1．

关于原点对称．

又，∴．

∴．

由x
3
﹣x
2
=2（x
2
﹣x
1
），得，解得a=﹣（舍）或a=．

因此，所求实数．

【点评】本题考查了反函数的求解，考查函数的对称性，函数零点的计算，属于中档题．



20．如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划 建一条商业街，
其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、 CD，及夹
在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两 线段EF、
CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD=2θ，

（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；

（2）求商业街的总收益的最大值．


【分析】（1）①求出θ∈（0，
②求出θ∈（，
]时f（θ）的解析式；

）时f（θ）的解析式，

）上的解析式；

）上的单调性并求出最大值．

+cosθ；

利用分段函数写出f （θ）在（0，
（2）利用导数研究函数f（θ）在（0，
【解答】解：（1）①当θ∈（0，
∴f（θ）=2aθ+2a（
②当θ∈（，
+2cosθ）；

）时，ED+FA+BC=4θ﹣
）a+2a（4cosθ）；

]时，ED=2θ，EF=
，EF=2cosθ；

∴f（θ）=（4θ﹣
由①②可得，f（θ）=；

（2）①当θ∈（0，
由a＞0，填表如下：

θ

f′（θ）

f（θ）

∴当θ=
②当θ∈（
]时，f′（θ）=2a（1﹣2sinθ）；

（0，
+

]

0


（，
﹣

）

单调递增

+2
极大值

+）a；

单调递减

时，f（θ）有最大值为（2
，）时，f′（θ）=a（4﹣8sinθ）；

，1），

∵a＞0，且sinθ∈（
∴f′（θ）=a（4﹣8sinθ）＜0，

∴f（θ）在θ∈（
∴f（θ）＜f（
又∵f（
，
）；

），

时f（θ）取得最大值为（2
+2+
+2
）a．

+）a；

）时单调递减，

）＜f（
∴当θ∈（0，即θ=
）时，在θ=
时，商业街总收益最大，最大值为（2
【点评】本题考查了三 角函数模型的应用问题，也考查了用导数研究函数的单调性与最值问题，
是难题．