新教材高中数学必修一第一章 再练一课 (范围：1.1.1)

再练一课(范围：1.1.1)

1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x
2
＝1的解集
答案 A
解析 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D 中P，
Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
2．设集合M是由不小于26的数组成的集合，a＝69，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M
C．a＝M
答案 A
解析 判断一个元素是否属于 某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，
若具有就是，否则不是．∵69>26， ∴a∈M.
3．(多选)若2?{x|x－a>0}，则下列实数在实数a的取值范围内的是( )
A．1 B．2 C．6 D．10
答案 BCD
解析 因为2? {x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－
B．a?M
D．a≠M

a≤0，即a≥2.
?
?
?
x
??
，则集合B中元素的个数为( )
z＝，x∈A，y∈A
4．已知集合A＝{1,2,4}，集合B＝z
?
y
??

A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 因为A＝{1,2,4}，
??
x
z＝
，x∈A，y∈A
?
所以集合B＝
?
z
?
?
y
??

11??
＝
?
1，
2
，
4
，2，4
?，
??
所以集合B中元素的个数为5.
5．(多选)集合A的元素y满足y＝ x
2
＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x
2
＋1(A，B中x∈R，< br>y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．(1,2)∈A，且2∈B
B．(1,2)?A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
答案 BC
解析 集合A中的元素为y，是数集 ，又y＝x
2
＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，
且满足y＝x< br>2
＋1，经验证，(1,2)，(3,10)∈B.
1
6．不等式3x－≤x的解集可用区间表示为________．
3
1
－∞，
?
答案
?
6
??
?
1
?
1
11
x≤
?
，可用区间表示为
?
－∞，
?
. 解析 由3x－≤x，得x≤
，故不等式的解集为
?< br>x
?
6
?
6
??
36
?
?

7．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N
＋
}为___ _____．
答案 {(0,3)，(1,2)，(2,1)}
解析 集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，
当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，
故A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)}．
8．设区间A＝(－2,3)，B＝[2 ，＋∞)，则使得x∈A且x∈B的一个实数为________．
答案 2(答案不唯一)

解析 区间[2,3)内任一个实数都符合x∈A且x∈B.
1
9． 集合A是由形如m＋3n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－3，b＝，c
3－3
＝(1－23)
2
与集合A的关系．
解 因为a＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z，
所以a∈A；
3＋3
113
因为b＝＝＝＋，
3－3?3－3??3＋3?
26
11
而，
?Z，所以b?A；
26
因为c＝(1－23)
2
＝13＋(－4)×3，
而13，－4∈Z，所以c∈A.
10．已知集合A＝{x∈R|mx
2
－ 2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范
围．
3
解 ①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝
，符合题意．
2
②当m≠0时，方程mx
2
－2x＋3＝0为一元二次方程，
11
由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，
33
方程mx
2
－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．
1
由①②知m＝0或m≥
.
3

11．已 知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N
＋
，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{ xy|x∈P，y∈Q}
中元素的个数为( )
A．147 B．140 C．130 D．117
答案 B
解析 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数 ，不与y＝3，y＝5时有
相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝ 3,9,15，…，57时有相同的元素，
共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140. < br>12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元 素的个数为________．
答案 3
解析 根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素． 13．已知集合A＝{x|x
2
＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)
2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合
B＝________.
答案 {1,5}
解析 由A＝{x|x
2
＋px＋q＝x}＝{2}知，2
2< br>＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)
2
－4q＝0.计算得出，p
＝－3，q＝ 4.
则(x－1)
2
＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)
2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)
2
－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出，x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1,5}．
14．设a∈N，b∈N，a＋b＝2，集合A＝{(x，y)| (x－a)
2
＋(y－a)
2
＝5b}，(3,2)∈A，则a＝_____ ___，
b＝________.
答案 1 1
解析 由a＋b＝2，得b＝2－a，
代入(x－a)
2
＋(y－a)
2
＝5b得，
(x－a)
2
＋(y－a)
2
＝5(2－a)，①
又因为(3,2)∈A，将点代入①，可得
(3－a)
2
＋(2－a)
2
＝5(2－a)，
整理，得2a
2
－5a＋3＝0，

解得a＝1或1.5(舍去，因为a是自然数)，
所以a＝1，所以b＝2－a＝1，综上，a＝1，b＝1.

15．已知集合A中 的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么称k是A的一
个“孤立元”．给定集 合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤
立元”的集 合共有________个．
答案 6
解析 根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成 的所有集合中，不含“孤立元”的集合
为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5 ,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共有6个．
a
16．定义满足“如果a∈A，b ∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭
b
集”．试问数集N ，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例
说明．
解 (1)数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N,2∈N，
33
而＝1.5?N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5?Z，
2
－2
故N，Z不是闭集．
(2)数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
a
即a±b，ab，
(b≠0)仍是有理数，
b
故Q是闭集，同理R是闭集．