北师大版高中数学必修1-知识点总结

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高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
（2）常用数集及其记法
N
表示 自然数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z
表示整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集(
?< br>).
【1.1.2】集合间的基本关系
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（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
(1)A
?
A
(2)
??A

A中的任一元
（或
B?A)

性质 示意图
A?B

子集
(3)若
A?B
且
B?C
，则
A(B)
BA
素都属于B
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

或
（1）
??A
（A为非空子
A
?
B
?
?
真子
集
（或
?
A?B
，且B
集）
中至少有一
BA
(2)若
A?B
且
B?C
，则
??
B
?
A）
元素不属于A

A?C

?
A中的任一元
集合
A?B

相等
素都属于B，
B中的任一元
素都属于A
(1)A
?
B
A(B)
(2)B
?
A

（7）已知集合
A有
n(n?1)
个元素，则它有
2
n
个子集，它有
2< br>n
?1
个真子集，它有
2
n
?1
个非空子集，它有< br>2
n
?2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
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名记
称 号
意义 性质 示意图
（1）
AA?A

（2）
A???

交
集
AB
{x|x?A,
且

x?B}

（3）
AB?A

AB

AB?B


（1）
AA?A

（2）
A??A

并
集
AB
{x|x?A,
或

x?B}

（3）
AB?A

A
B

AB?B


⑴ （
⑵
补
集

{x|x?U,且x?A}
⑶


⑷
⑸
⑼ 集合的运算律：
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.







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结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)
分配律:
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)< br>
0-1律：
?A??,?A?A,UA?A,UA?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩
反演律：

A∪
A)∪(
=U
B) (A∪B)=(

A)∩(B) (A∩B)=(
第二章函数
§1函数的概念及其表示

一、映射
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系
f
，对于集合A中的 元
素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到
的映射，记作 .
2．象与原象：如果
f< br>:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素
a
对应的
叫做象， 叫做原象。
二、函数
1．定义：设A、B是 ，
f
:A→B是从A到B的一个映射，则映射
f
:A→B叫
做A到B 的 ，记作 .
2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同
时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有 、 、 。

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§2函数的定义域和值域

一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式 的集合.
2．常见的三种题型确定定义域：
① 已知函数的解析式，就是 .
② 复合函数
f
[g(
x
)]的有关定义域，就要保证内函数g(
x
)的 域是外函
数
f
(
x
)的 域.
③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
1．函数
y
＝
f
(
x
)中，与自变量
x
的值 的集合.
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ， 常
用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥
数形法；⑦判 别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和
法）
例如：① 形如
y
＝
1
2?x
2
，可采用 法；②
y
＝
2x?1
(x??
2
)
，可采用
3x?23
法或 法；③
y
＝
a
[
f
(
x
)]
2
＋
bf
(
x
)＋
c
，可采用 法；④
y
＝
x
－
1?x
，可采用 法；⑤
y
＝
x
－
1?x
2
，可采用 法；⑥
y
＝
sinx
2?cosx
可采用 法等.

§3函数的单调性


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一、单调性
1．定义：如果函数
y
＝
f
(
x
)对于属于定义 域I内某个区间上的任意两个自变量
的值
x
1、
、
x
2，当
x
1、
<
x
2
时，①都有 ，则称
f
(
x
)在这个区间上是增函数，
而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称
f
(
x
)在这
个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .
若函数
f
(
x
)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则
f
(
x
)称为 .
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法，若函数
y
＝
f
(
x
)在定义域内的某个区间上可导，①
若 ，则
f
(
x
)在这个区间上是增函数；②若 ，则
f
(
x
)
在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1．若
f
(
x
),
g
(
x
)均为增(减)函数，则
f
(
x
)＋
g
(
x
) 函数；
2．若
f
(
x
)为增(减)函数，则－
f
(
x
)为 ；
3．互为反函数的两个函数有 的单调性；
4．复合函数
y
＝
f
[g(
x
)]是定义在M上的函数，若
f
(
x
)与g(
x
)的单调相同，
则
f
[g(
x
)]为 ，若
f
(
x
), g(
x
)的单调性相反，则
f
[g(
x
)]为 .
5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调
性 .

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：
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① 定义：如果对于函数
f
(
x
)定义域内的任意
x
都有 ，则称
f
(
x
)
为奇函数；若 ，则称
f
(
x
)为偶函数. 如果函数
f
(
x
)不具有上述
性质，则
f
(
x
)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则
f
(
x
) .
② 简单性质：
1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对
称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2） 函数
f
(
x
)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.
2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现
f(x?a)??f( x)
、或
f(x?a)f(x)?m
（
a
、
m
均为
非零常数，
a?0
），都可以得出
f(x)
的周期为 ；
②
y?f(x)
的图象关于点
(a,0),(b,0)
中心对称 或
y?f(x)
的图象关于直线
x?a,x?b
轴对称，均可以得到
f(x)
周期
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数
函数y＝a
x
(a>0，a≠1，x∈N
＋< br>)叫作________指数函数；形如
y
＝
ka
x
(
k
∈R，
a
>0，且
a
≠1)的函数称为________函数．
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的定义：给定正实数
a
，对于任意给定的 整数
m
，
n
(
m
，
n
互素)，
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m
m
存在唯一的正 实数
b
，使得
b
＝
a
，我们把
b
叫作a
的次幂，记作
b
＝
a
n
；
n
nm
(2)正分数指数幂写成根式形式：
a
＝
a
m
(
a
>0)；
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：
a
?
m
n
m
n
n
＝__________________(
a
>0，
m
、
n
∈N
＋
，且
n
>1)；
(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)
a
m
a
n
＝ ________(
a
>0)；
(2)(
a
m
)
n
＝________(
a
>0)；

(3)(
ab)
n
＝________(
a
>0，
b
>0)．

§3 指数函数(一)

1．指数函数的概念

一般 地，________________叫做指数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域
是____．

2．指数函数
y
＝
a
x
(a
>0，且
a
≠1)的图像和性质

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a
>1

0<
a
<1


图像


定义域

R


(0，＋∞)
值域
过定点

过点______，即
x
＝____时，
y
＝____
性 函数值 当
x
>0时，______； 当
x
>0时，________；
质 的变化

当
x
<0时，________

当
x
<0时，________
单调性

是R上的________

是R上的________
§4 对数(二)
1．对数的运算性质
如果
a
>0，且
a
≠1，
M
>0，
N
>0，则：
(1)log
a
(
MN
)＝________________；
(2)log
a
＝________；
(3)log
a
M
n
＝__________(
n
∈R)．
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M
N

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2．对数换底公式 < br>log
b
N
＝
log
a
N
(
a，
b
>0，
a
，
b
≠1，
N
>0)；
log
a
b
特别地：log
a
b
·log
b
a
＝____(
a
>0，且
a
≠1，
b
>0，且
b
≠1)．
§5 对数函数(一)

1．对数函数的定 义：一般地，我们把______________________________叫
做对数函数， 其中
x
是自变量，函数的定义域是________．________为常用
对数函 数；
y
＝________为自然对数函数.
2．对数函数的图像与性质

定义

底数

y
＝log
a
x
(
a
>0，且
a
≠1)
a
>1

0<
a
<1
图像


定义域

值域

______
______

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数
共点性

图像过点______，即log
a
1＝0
x
∈(0,1)时，
函数值
特点

x
∈(0,1)时，
y
∈______；
x
∈[1，＋∞)时，
y
∈______.
y
∈______；
x
∈[1，＋∞)时，
y
∈______.

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对称性

函数
y< br>＝log
a
x
与
y
＝
log
1
x< br>的图像关于______对称
a
3.反函数
对数函数
y
＝ log
a
x
(
a
>0且
a
≠1)和指数函数___ _________________互为反函
数．
第四章 函数应用
§1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在

2．函数
y
＝
f
(
x
)的零点就是方程
f
(
x
)＝ 0的实数根，也就是函数
y
＝
f
(
x
)的
图像与< br>x
轴的交点的横坐标．
3．方程
f
(
x
)＝0有实数根
?函数
y
＝
f
(
x
)的图像与
x
轴有________
?函数
y
＝
f
(
x
)有________．
4．函数零点的存在性的判定方法
如果函数
y
＝
f
(x
)在闭区间[
a
，
b
]上的图像是连续曲线，并且在区间端点 的
函数值符号相反，即
f
(
a
)·
f
(
b
)____0，则在区间(
a
，
b
)内，函数
y
＝
f
(
x
)
至少有一个零点，即相应的方程
f
(x
)＝0在区间(
a
，
b
)内至少有一个实数解．
1.2 利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念
每次取区间的中 点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小
区间的方法称为二分法．由函数的 零点与相应方程根的关系，可用二分法来
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____________________ _____________________________________________
．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[
a
，
b
]，使____________． (2)求区间(
a
，
b
)的中点，
x
1
＝__ ________.
(3)计算
f
(
x
1
)．
①若
f
(
x
1
)＝0，则________________； < br>②若
f
(
a
)·
f
(
x
1
)<0，则令
b
＝
x
1
(此时零点
x
0
∈ (
a
，
x
1
))；
③若
f
(
x
1
)·
f
(
b
)<0，则令
a
＝
x
1
(此时零点
x
0
∈(
x
1
，
b
))．
(4)继续实施上述步骤，直到区间[
a
n
，
b
n
]，函数的零点总位于区间[
a
n
，
b
n
]
上，当
a
n
和
b
n
按照给定的精确度所取的近 似值相同时，这个相同的近似值就
是函数
y
＝
f
(
x
)的近似零点，计算终止．这时函数
y
＝
f
(
x
)的近似 零点满足
给定的精确度．

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