高一数学必修1、必修2基本公式

高一数学必修1、必修2基本公式
一、集合
1、集合的三个性质：确定性、互异性、无序性；
例如：高一数学难题能不能够成一个集合。
2、常用的数集符号有：自然数集N、整数Z、有理数Q、实数R、空集
?
；
注意：（1）最小的自然数为0；（2）
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 < br>3、元素与集合的关系是
?
与
?
的关系，集合与集合是
?与
?
的关系，
4、集合
A?
?
1,2,3
?
的子集有
2?8
个，有
?,
?
1
?
,?
2
?
,
?
3
?
,
?
1,2
?
,
?
1,3
?
,
?
2,3
?< br>,
?
1,2,3
?
。
3
5、集合的运算：
A?B?
?
xx?A或x?B
?
,A?B?
?
xx?A且 x?B
?
，
C
U
A?
?
xx?U且x?A
?

6、重要结论：（1）如果
A?B,
则
A?B?B,A?B?A
；反之结论也成立；
（2）
A?C
U
A?U,A?C
U
A??
。
7、集合的代表元素一定要注意。
例如、（1）集合
M?(x,y)x?y?2，
N?(x,y)x?y?4
则集合
M?N
= .
（2）、集合
A?xy?x?1,B?yy?x?1
，这两个集合的关系 。
二、函数
1、映射：对于集合A中任意一个元素，在集合B都有唯一元素对应。
2、定义域：自变量X的取值范围构成的集合；
常见的题型有四类：（1）分母不为0；（2 ）开偶次方根，被开方数大于或等于0；（3）对
数的真数大于0；（4）0次幂的底数不能等于0。
例：求下列函数的定义域
(1)y?
????
????
1
, (2)y?x,(3)y?log
5
x,(4)y?(x?3)
0
。
x?2
3、值域：函数值Y的取值范围构成的集合。求值域的常见方法：直接法、图象法等。
直接法：利用常见函数的值域来求
①一次函数y=ax+b(a
?
0)的定义域为R，值域为R；
②反比例函 数
y?
k
(k?0)
的定义域为{x|x
?
0}，值域为{ y|y
?
0}；
x
③二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的定义域为R，
22
(4ac?b)(4ac?b)
}. 当a>0时，值域为{
y|y?< br>}；当a<0时，值域为{
y|y?
4a4a
例 求下列函数的值域① y=3x+2(-1
?
x
?
1) ②
f(x)?2?4?x

③
y?
x
④
y?x
2
?2x?3

x?1
解：①∵-1
?< br>x
?
1，∴-3
?
3x
?
3，∴-1
?3x+2
?
5，即-1
?
y
?
5，∴值域是[-1，5 ]
②∵
4?x?[0,??)
∴
f(x)?[2,??)
即函数
f(x)?2?4?x
的值域是 { y| y
?
2}
③
y?
∵
xx?1?11

??1?
x?1x?1x?1
1

?0
∴
y?1
，即函数的值域是 { y| y?R且y?1}（此法亦称分离常数法）
x ?1
4、（1）函数的单调性：当
x
1
?x
2
,
都 有
f(x
1
)?f(x
2
)
，则函数在该区间内为增函数；
当
x
1
?x
2
,
都有
f(x
1< br>)?f(x
2
)
，则函数在该区间内为减函数。
（2）证明函数的单 调性一般是根据定义来证明。步骤是：①先在定义域内任取
x
1
,x
2
，②
做差比较
f(x
1
)?f(x
2
)
的大小， 这一步最重要的是变形（常见的变形有通分、因式分解、配
方法），③下结论。
（3）常见函数的单调性：
①一次函数单调性
y?kx?b
，当
k ?0
，函数在
R
为增函数，当
k?0
，函数在
R
为 减函数；
k
，当
k?0
，函数在
(??,0),(0,??)为减函数；当
k?0
，函数在
x
(??,0),(0,??)
为 增函数；
②反比例函数
y?
③二次函数
y?ax
2
?bx ?c
的单调性由抛物线的开口方向与对称轴
x??
区间可数形结合写出。
④ 指数函数
y?a
x
，当
a?1
，函数在
R
为增函数 ，当
0?a?1
，函数在
R
为减函数；
⑤对数函数
y?l og
a
x
，当
a?1
，函数在
(0,??)
为增函 数，当
0?a?1
，函数在
(0,??)
为
减函数；
5、 （1）函数的奇偶性：如果
f(?x)?f(x)
，则
f(x)
为偶函数；如 果
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
为奇函数；判断函数奇偶性的前提条 件是定义域要关于原点对称。
（2）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于Y轴对称，反之结论也成立。
（3）奇函数过原点（0在定义域范围内）；
（4）奇函数的单调性在其对称区间内一致，偶函数的单调性在其对称区间内是相反的。
6、反函数：同底的指导数函数与对数函数互为反函数，它们的图形关于直线Y=X对称。
例 、指数函数
y?3
x
与对数函数
y?log
3
x
互 为反函数。
7、（1）指数公式整数指数幂的概念
b
决定，其单调
2a
0
a?1(a?0)

a
?a?a?a(n?N*)

a?a

?????
n
?n
?
n个a
1
(a?0,n?N*)

n
a

（2）运算性质：
am
?a
n
?a
m?n
,(a
m
)
n< br>?a
mn
,(ab)
n
?a
n
?b
n
。
（3）根式的运算性质：①当n为奇数时，
n
n
a
n
=a；②当n为偶数时，
?
a(a?0)
. 例
a
n< br>=|a|=
?
?a(a?0)
?
x
3
(?8)
3
= ；②
(?10)
2
= ；③
4
(3?
?
)
4
=
（4）指数函数：
y?a(a?0且a?1)
。图象和性质如下表：


图
象
1
a>1
6
06
55
44
33
22
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2
0
-1
246


性
质

(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
8、（1）对数：一般地，如果
a
?
a?0,a?1
?
的b次幂等于N, 就是
a?N
，那么数 b
b
叫做 以a为底 N的对数，记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数，N叫做真数
例如：
4?16

?

log
4
16?2

（2）重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵log
a
1?0
，
log
a
a?1
⑶对数恒等 式
a
2
log
a
N
?N

（3）特殊对数 ：常用对数：以10为底的对数叫做常用对数常用对数
log
10
N
简记作l gN。
例如：
log
10
5
简记作lg5
log
10
3.5
简记作lg3.5.
自然对数：以无理数e=2 .718为底的对数叫自然对数，自然对数
log
e
N
简记作lnN
例如：
log
e
3
简记作ln3
log
e
10
简记作ln10
（4）
对数的运算法则，如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 则 有：

log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N(1)
M
log
a
?log
a
M?log
a
N(2)

N
log
a
M
n
?nlo g
a
M(n?R)(3)

（5）对数换底公式：
log
a
N?
log
m
N

log
m
a
n
（6）两个常用的推论:①
log
a
b?log< br>b
a?1
， ②
log
a
m
b?
n
log
a
b
。
m
x
（7）函数
y?log
a
x
(a?0且a?1 )
叫对数函数；它是指数函数
y?a
的反函数
对数函数
对数函数的性质：

3
2.5
a>1
3
2.5
02
2
1.5
1.5
图
象
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1< br>2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5

定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当
x?1
时，
y?0

性
质
x?(0,1)
时
y?0

x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0

在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数

1
x
当
a?0
时，在
(0,??)
为增函数；当
a?0
时，函数在
(0,??)
为减函 数。
14、（1）零点就是使
f(x)?0
的实数，零点不是点；
（2） 方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
图象与X轴 有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。
13、幂函数：函数
y?x
a
叫做幂函数。例幂函数
y?x
2
,y?,y?x,y?x< br>。
（3）零点定理：如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)f(b)?0
，那么y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点。
三、直线
1、直 线的倾斜角：直线向上的方向与X轴所成最小正角。倾斜角取值范围是0°≤
?
＜180。 < br>2.斜率公式：过两点
P
1
(x
1
,y
1
) ,P
2
(x
2
,y
2
)
的直线的斜率公式
k?
y
2
?y
1
?tan
?
，
x
2
?x
1
所有的直线都有倾斜角，当直线的倾斜角
?
＝
9 0?
，没有斜率
王新敞

3．直线的方程：
直线名称
点斜式
斜截式
已知条件 直线方程 使用范围 示意图


P
1
(x
1
,y
1
),k

y?y
1
?k(x?x
1
)

k存在

k，b

(x
1
,y
1
)
y?kx?b

k存在

两点式
（
x
2
,y
2
)

截距式
一般式
y?y
1
x?x
1
?

x
1
?x
2
,y
1
?y
2

y
2
?y
1
x
2
?x
1

a,b


xy
??1

ab
Ax?By?C?0

a?0,b?0

A、B不全为0


4、两条直线的位置关系：
（1）．特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：
①当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
②当另一条直线的斜率为0时，两直线互相垂直
（2）．斜率存在时两直线的平行与垂直．
王新敞
设直线
l
1
和
l
2
的斜率为
k
1
和
k
2
，它们的方程分别是：
l
1
：
y?k
1
x?b
1
；
l
2
：
y ?k
2
x?b
2
．
①
l
1
l
2
?
k
1
=
k
2
且
b
1
? b
2
②
l
1
?l
2
?
k
1??
1
?
k
1
k
2
??1

k
2
王新敞
（3）已知直线
l
1
、
l
2
的方程为
l
1
：
A
1
x?B
1
y ?C
1
?0
，
l
2
：
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，
①
l
1
∥< br>l
2
?
A
1
B
1
C
1
??
；
A
2
B
2
C
2
②
l
1
?
l
2
?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
③
l
1
与
l< br>2
相交
?
A
1
B
1
；
?
A
2
B
2
A
1
B
1
C
1
??
。
A
2
B
2
C
2
④
l< br>1
与
l
2
重合
?
（4）求两直线的交点：解方程组。
四、圆
1、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
王新敞
2、圆的标准方程 ：
(x?a)?(y?b)?r
圆心为
C(a,b)
，半径为
r
，
特殊：若圆心在坐标原点上，这 时
a?b?0
，则圆的方程就是
x?y?r

222
222
王新敞

22
3、 圆的一般方程：只有当
D?E?4F?0
时，
x?y?Dx?Ey?F?0
① 表示的曲
22
线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程。当
D
2
?E
2
?4F?0
时，①表示以（-
为圆心,
1
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆；
2
222
DE，-）
22
4、点与圆的位置关系：点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系的判断方法：
①< br>(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点在圆上；
②
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点在圆外；
③
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
?
点在圆内。
5、直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线
的距离为d，那么
①直线

和⊙O相交

d＜r，
②直线和⊙O相切
d=r，

③直线和⊙O相离
d＞r。
6、圆与圆的位置关系：如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,则
两圆外离
d?r?R
；两圆外切
d?r?R
；两圆相交
R?r?d?r?R
；两圆内切
d?R?r

两圆内含
d?R?r
。
五、立体几何
1、公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
2、公理2如果两个平面 有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合
是一条过这个公共点的直线
3、公理3 经过不共线的三点，有且只有一个平面
推论1：经过直线和直线外的一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
4、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
．．

5、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
6、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
推论:如果两 条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直
角)相等.
7、直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）；（2）和（3）称为直线在平面外。

8、 线面平行的判定定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这
个平面平行． < br>9、平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这
两个平 面互相平行．
10、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么
这条直线垂直于这个平面
11、两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面
互相垂直

12、线面平 行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相
交，那么这条直线和交 线平行．
13、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
14、夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．
15、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
16、直线 和平面所成角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线
和这个平面所成的角
17、二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；
从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半
平面叫做二面角 的面
18、二面角的平面角：过二面角的棱上的一点
O
分别在两个半平面内作棱的两 条垂线
OA,OB
，则
?AOB
叫做二面角
?
?l?
?
的平面角
19、两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线
的直线垂直于另一个平面
20、棱 柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫
棱柱两个互相平行的 面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边
叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的 公垂线段叫棱柱的高。
21、棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形， 这样的多面体
叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；
22 、球的体积公式：
V?
4
?
R
3
；球的表面积公式
S?4
?
R
2
。
3
23、长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和。
3a
2
24、边长为
a
的等边三角形面积为
s?
。
4
25、正方体内切球，球内接正方体的关系：
a?2r,3a?2r
。