高一数学必修一重点难点分析

一、知识结构
本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合 与
集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，
介绍了集合的常用表示方法 ，包括列举法、描述法，还给出了画图
表示集合的例子．
二、重点难点分析
这 一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合
的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合 ．这一节的特点是概
念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为
此，在 教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题
目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合 的概念和表示方法．
1．关于牵头图和引言分析
章头图是一组跳伞队员编成的图案，引 言给出了一个实际问
题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际
间题，必 须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提
高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知 识是高中数学重要
的基础．
2．关于集合的概念分析

点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合
则是集合论中原始的、不加定义的概念．
初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；
初中几何中也知道中垂线是“ 到两定点距离相等的点的集合”等
等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成
为一个集合，也简称集．”这句话 ，只是对集合概念的描述性说明．
我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，< br>从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来
的，而是来自现实世界．
3．关于自然数集的分析
教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科
书不尽相同，应该注意．
新 的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了
推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标 准，以便早日与之接轨，
另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，?，9｝中最小的数，有了
0，减法运算

仍属于自然数，其中

．因此要注意几下几点：
（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然
数集包含0；

（2）自然数集内排除0的集，表示成

或

，其他数集{如整
，

数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示

，

；
（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如

，

，

?不再适用．
4．关于集合中的元素的三个特性分析
集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖 市”
这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。
集合中的元素常用小写的拉丁字母

集合A的元素，就说a属于集合A，记作

属于A，记作


，?表示．如果a是
；否则，就说a不
要正确认识集合中元素的特性：
（l）确定性：

和

，二者必居其一．
集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．例如，给出集合{地
球上的四大洋}，它的元素是：太 平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其
他对象都不用于这个集合．如果说“由接近

这里“接近

构成集合．

的数组成的集合”，
的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能

（2）互异性：若

，

，则


集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复
的，集合中相同的元素只能算 是一个．例如方程

重根

有两个
，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝．
（3）无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个集合．
集合中的元素是不分顺序的．集合 和点的坐标是不同的概念，
在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合．
5．要辩证理解集合和元素这两个概念
（1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合
之间关系的，不能用来 表示集合之间的关系．例如

就是错误的，而

的写法就是正确的．
的写法
（2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些
对象的 全体，而非个别现象．例如对于集合

，就是指所
有不小于0的实数，而不是指“

可以在不小于0的实数范围内取
值”，不是指“

是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指
“

是不小于0的任一实数值”??
（3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的 对象都是它
的元素；只要是它的元素就必须符合条件．

6．表示集合的方法所依据的国家标准
本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家
标准如下的规定．
符号

应用

意义或读法
诸元素

构成
的集

使命题

为
例：

，如果从
备注及示例
也可用

I表示指标集
，这里的
真的A中诸元前后关系来看，集A已
素之集 很明确，则可使用

来表示，例如


此外，

有时也可写成

或


7．集合的表示方法分析
集合有三种表示方法：列举法 、描述法、图示法．它们各有优
点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．
（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于

的自
然数组成的集合”就可以表为：
①列举法：


；

②描述法：

；
③图示法：如图1。
（2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于

的正 实数
组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素
—一列举出来，但这个集 合可以这样表示：
①描述法：

②图示法：如图2．
（3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什
么，它应该符合什么条件，从而准确理解集 合的意义．例如：
①集合

的取值范围，即

②集合

围，即

③集合

；
中的元素是点

，它表示方程

的解
中的元素是

，它表示函数

；
中的元素是

，它表示函数值。的取值范
中自变量

；
组成的集合，或者理解为表示曲线

④集合

上的点组成的集合；
，它是用中的元素只有一个，就是方程

列举法表示的单元素集合．
实际上，这是四个完全不同的集合．

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表
示 法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集
中的元素—一列举出来，而没有列举出来 的元素往往难以确定．
8．集合的分类
含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示．

含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示．

9．关于空集分析
不含任何元素的集合叫做空集，记作

．空集是个特殊的集
合，除了它本身的实际意义 外，在研究集合、集合的运算时，必须
予以单独考虑．

教学设计方案

集 合
知识目标：
（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其
记法
（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
能力目标：
（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学
会分析问题和创造地解决问题；
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和
逻辑思维能力；
德育目标：
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学
生坚忍 不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正
确表示一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与
和数；
2．教材中的章头引言；
3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；
4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P
4
）。
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念（例子见书）：
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作
N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N或N
+

（3）整数集：全体整数的集合。记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q
（5）实数集：全体实数的集合。记作R
注：
（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集
包括数0。
*

*
（2）非负整数集内排除0的集。记作N或N
+
、Q、Z、R等其
它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，
表示成Z
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a
∈A；
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，
记作

．
*
4、集合中元素的特性
（1）确定性：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不
在，不能模棱两可。
（2）互异性：
集合中的元素没有重复。
（3）无序性：
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
注：

1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q??
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q??
2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。
练习题
1、教材P
5
练习
2、下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数。 （不确定）
（2）好心的人。 （不确定）
（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
阅读教材第二部分，问题如下：
1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？
2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。
（二）集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表
示集合的方法。

例如，由方程

1}．
的所有解组成的集合，可以表示为{-1，
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，?，
100}
所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，?}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集
合只有一个元素。
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把
这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
例如，不等式


所有直角三角形的集合可以表示为：


的解集可以表示为：

或

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。
如：{直角三角形}；{大于10的实数}

4

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
注：何时用列举法？何时用描述法？
（1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法
表示，只能用列举法。
如：集合


（2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便
于、不需要一一列举出来，常用描述法。
如：集合

注：集合

答：不是。
集合

是点集，集合

=

是数集。
；集合{1000以内的质数}
与集合

是同一个集合吗？
（三） 有限集与无限集
1、 有限集：含有有限个元素的集合。
2、 无限集：含有无限个元素的集合。
3、 空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

练习题：
1、P
6
练习
2、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
3、用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），
（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}


③

④

⑤


⑥


{-1，1}
{（0，8）（2，5），（4，2）}

{（1，1），（1，2），（1，4 ）（2，1），（2，2），（2，4），
（4，1），（4，2），（4，4）}