高一数学必修1第一章知识点总结

高一数学必修1第一章知识点总结

一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性,
(2) 元素的互异性,
(3) 元素的无序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印
度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内
表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分， ；（2）A与B是
同一集合。
?
B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
?
A 或B
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记

作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集
三、集合的运算
运算
类型
定 由所有属于A且属
义 于B 的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交集．记作A
?
B
（读作‘A交 B’），即
A
?
B=｛x|x
?
A，
且x
?
B｝．
由所有属于集合A或
属于集合B的元素所
组成的集合，叫做A,B
的并集．记作：A
?
B
（读作‘A并B’），即
A
?
B ={x|x
?
A，或
x
?
B})．
设S是一个集合，A是
S的一个子集，由S中
所有不属于A的元素
组成的集合，叫做S中
子集A的补 集（或余
集）
记作
C
S
A
，即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

韦
恩
图
示
S
交 集 并 集 补 集
A
B
A
B
A

图1

图2

性 A
?
A=A



质
A
?
Φ=Φ
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若 集合M={y|y=x
2
-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0}，则M 与N的关系是 .
4.设集合A=
x1?x?2
，B=
xx?a
，若A
?
B，则
a
的取值范围是
?
?
?
?
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得 有40人，化
学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .
7.已知集合A={x| x
2
+2x-8=0}, B={x| x
2
-5x+6=0}, C={x| x
2
-mx+m
2
-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值



二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的 数集，如果按照某个确定的对应
关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确
定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一
个函数．记作： y=f(x )，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围
A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数 值，函数值
的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么，它的
定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值
的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横
坐标，函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
y)
的集合C，叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象．C上每一点的坐标< br>(x
，
y)
均满足函数关系
y=f(x)
，反过
来， 以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x，
y)
，均
在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对
应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯

一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B为从集合A到
集合B的一个映射。 记作
f
：
A
→
B

6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并
集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g
的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x )的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D
内的任意两个自变量x
1
，x2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就
说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区 间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x< br>1
2
时，
都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为
y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x )
在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从
左到右是上升的，减函数 的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
○
2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数< br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
，y=f(u)
的单调
性密切相关，其规律：“同增异减”