高一数学必修1知识点总结86917

高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念：
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是 或者不是这个
给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对 象，相同的对象归入一个集合时，仅
算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺 序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元
素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集 合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确
定的条件表示某些对象是否属于这 个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）图示法（文氏图）：
4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a
∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a
?
A
6、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素
的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包
含关系，称 集合A为集合B的子集，记作A
?
B
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
B或B
?
A
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2
n
.
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对 于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B
的任何一个元素都是集 合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
?A?B且B?A

1 14

① 任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果 A
?
B,且A
?
B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
?
B(或B
?
A)
③如果 A
?
B, B
?
C ,那么 A
?
C
④ 如果A
?
B 同时 B
?
A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的
并集。记作：A∪B(读作 ”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B =
B∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的 全部元素，这个集合就可以看作一个
全集。通常用U来表示。
S
（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即A
?
S），由S中

所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。

记作： C
S
A ，即 C
S
A ={x | x
?
S且 x
?
A}
CsA
A
（3）性质：⑴C
U
(C
U
A)=A ⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
(4)(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B) (5)(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)




















2 14

二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空 的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中
的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合
A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做
函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值
域．
注意：1、如果只给出解析式y=f (x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这
个式子有意义的实数的集合；2、函数的 定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充：
能使函数式有意义的实数x的集合称 为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要
依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须
大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是由一些基本函数通过四
则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 .（6）指数为
零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系
决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全 一致，即称这两个函数相等（或为同
一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和 对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的
字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
值域补充
(1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定
义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂
函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标
的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满足y=f(x)的每一组有序实
数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续 曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多
只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法：
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以 (x,y)为坐标在坐标
系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
（1）将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
?
1
?
（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如
y?a与y?a?
??

?
a
?
（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如
y?log
a
x与y??log
a
x?log
1
x

x?x
a
x
3 14

Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x
?
a) 左加右减； 由f(x)得到f(x)
?
a 上加下减
(3)作用：A、直观的看出函数 的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解
题的速度；发现解题中的错误。
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．映射
定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对 于集合A
中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?
B
为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A
?
B”
给定 一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b
叫做元素a 的象，元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B 及对应法则f是确定的；
②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对 应关系一般
是不同的；
③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素 ，在集合B中都有象，
并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个 ；（Ⅲ）不
要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法：
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、 离散的点等等，注意判断一个图形
是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法：必须注明函数的定义域；
3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数 值时必须把
自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几< br>种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：
（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义
域的并集，值域 是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数。
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x
1
，x
2
，
当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是 增函数。区间D称为y=f(x)的单调
增区间；
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f( x
1
)＞f(x
2
)，那么就说
f(x)在这个区间上是减函数.区 间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2、必须是 对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) （或f(x
1
)
＞f(x
2
)）。
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)
单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
4 14