高一数学必修1知识点归纳

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1、集合的概念：某些研究对象的全体叫集合，用大写字母表 示；集合中的每个对象叫做这个集合的元
素，用小写字母表示；
2、集合的表示方法有：（1）列举法（把集合的所有元素一一列举并写在大括号内）；
（2）描述法（把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内）；
3、集合中元素的特征有无序性、互异性、确定性；
4、元素与集合的关系有：属于（
?
）和不属于（
?
）；
5、集合分类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集（
?
）；

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集；

（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集；
6、常用数集及其记法：
（1）自然数集
?
0,1,2,3,
?
：记作
N
； （2）正整数集
?
1,2,3,
?
：记作
N
?
或N
?
；
（3）整数集
?
?3,?2,?1,0,1,2,3,
（4）有理数（包括整数和分数）集：记作
Q
；
?
：记作
Z
；
（5）实数（包括有理数和无理数）集：记作
R
；
7、集合与集合的关系有：子集（包含于，
?
）、真子集（真包含于， ）、相等（=）；
8、子集的概念：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做 集合B的子集，记
作
A?B
；
9、真子集的概念：若集合A是集合B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B
的真子集，记作
A?B
；（ 真子集是除本身以外的子集）

10、子集、真子集的性质：
（1）传递性：若
A?B
，
B?C
，则
A?C
；
（2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；
（3）任何一个集合是它本身的子集；（在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身）

11

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11、集合相等： （1）若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A等于集合B,记作
（2）

A?B,B?A?A?B
（即互为子集）。
nn
A?B
；
12、n
(n?N)
个元素的集合其子集个数共有
2
个；真子集有
2
非空子集有
2
n
；
?1
个（比子集少了它本身）
?1
个；非空的真子集有
2
n
?2
个；
13、集合的运算：
（1）交集（公共元素） ：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
（2）并集（所有元素） ：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
（3）补集（剩余元素） ：
C
U
14、集合运算中常用的结论:
①
③
A
＝{x|
x?A
且x∈U}，U为全集。
A?B?AB?A
； ②
A?B?AB?B
；
AA?A
；
AA?A
； ④
A???;A??A
。
注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯，在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.
15、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
一个数
x< br>，在集合B中都有唯一确定的数
一个函数。记作：
f
，使对于集合A中的任意< br>f(x)
和它对应，那么就称
f
：A→B为从集合A到集合B的
y?f (x),x?A
。其中：
x
叫做自变量，
x
的取值范围A叫做函数的 定义域；与
x
的值相对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
注意；我们现在用符号
y?f(x)
来表示函数，其中
f(x)
表示 与
x
对应的函数值，而不是
f
1
f(x)
中分母
乘
x
。
16、求函数定义域的方法：（1）分式
f(x)?0
；（2 ）二次根式
f(x)
中被开方式
f(x)?0
；（3）对数式
log
f(x)
g(x)
中底数
f(x)?0且f(x)?1
，真数
g(x)?0
；（4）有几个
特殊运算时取其公共部分（交集）；（5）函数的任何问题的处 理都要注意定义域优先原则。

22

v1.0 可编辑可修改 < br>17、求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法（针对格式化定义的函数）----设、代、解、代；
（2）换元法（针对复合型函数）；（3）配方法（针对二次型函数）。
18、区间的概念： （设
a,b
是两个实数且
a?b
） （1）闭区间：
区间：
（2）开
?
xa?x?b
?
?
?
a,b
?
；
?
xa?x?b
?
?
?
a,b
?
；（3 ）半开半闭区间：
?
xa?x?b
?
?
?
a,b
?
；
（4）实数集
R
可以用区间
(??,??)
表示。 ?
xa?x?b
?
?
?
a,b
?
；
1 9、同一函数：如果两个函数的定义域值域和对应关系完全相同，即称这两个函数相等（或者说是同一
函 数）。
20、函数的三种表示法是：解析法；图象法；列表法。
21、分段函数：按自变量
x
取值的不同情况将函数的对应关系（或者是解析式）用不同的式子分段表
示的函数， 处理的方法是分段处理；复合函数的处理方法是从里向外层层剥离。
22、函数的单调性：（1）增函数定义：若
x
1
增）。
（2）减 函数定义：若
x
1
?x
2
?D
，有
f(x
1
)?f(x
2
)
；增函数图象上升（同
?x
2
? D
，有
f(x
1
)?f(x
2
)
；减函数图象下降 （异减）。
（3）用定义法证明（或判断）函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1
取值： 任取两个x
1
，x
2
∈D，且x
12
； ○
2
作差：f(x
1
)－f(x
2
)； ○
3
变形：
4
判号：○（通常是因式分解、配方和通分等）； ○（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
5
下结论：○（即指出函数f(x)在区间D上的单调性）．
23、函数最大（小）值：
（1 ）定义：设函数
设函数
y?f(x)
满足
f(x)?M
，则
M
是函数
y?f(x)
的最大值，记作
y
max
?M
；
；
y?f(x)
满足
f(x)?M
，则
M
是函数
y?f(x)
的最小值，记作
y
min
?M
（2）求 法：①利用函数的单调性求解；②通过换元、配方、反解等求函数的值域；③利用不等式性质
求；④二次 函数利用性质求等。

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24、函数的奇偶性：
（1）奇函数：对于函数
（2）偶函数：对于函数

f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(?x)??f(x)。图象关于原点对称。
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f (?x)?f(x)
。图象关于Y轴对称。
（3）奇（偶）函数的定义域的要求是定义域要关于原点对称，否则就是非奇非偶函数；
（4 ）奇函数在原点两侧的单调性一致且在
x
（5）偶函数在原点两侧的单调性相反且有
2 5、初中学过的二次函数的知识归纳：
二次函数：①解析式
?0
处有定义时必有
f(0)?0
；
f(x)?f(x)
成立。
y?ax
2
?bx?c(a?0)；②在
b?0
时是偶函数，在
b?0
时是非奇非偶函
数；③单调 性与
a
和对称轴有关：在
a?0
时是左减右增，
a?0
时是 左增右减。
的图象的对称轴方程是④其它性质：（1）二次函数
y?ax
2
?bx?c
x??
b
，顶点坐标是
2a
?
b4ac?b2
?
?
?
?
2a
，
4a
?
?
。
??
（2）用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式：一般 式：
f
零点式：
(x)?ax
2
?bx?c
，
f (x)?a(x?x
1
)?(x?x
2
)
，顶点式：
f(x )?a(x?h)
2
?k
，顶点坐标是
(?h,k)
。
y?ax
2
?bx?c
图象：
X轴有2个交点；若
ax< br>2
（3）二次函数
①当
??b
2
?4ac?0
时，图 象与
。②当
?bx?c?0
有两根
x
1
,x
2，则
bc
x
1
?x
2
??;x
1
x< br>2
?
aa
??b
2
?4ac?0
时，图象与X轴只有 1个交点。③当
??b
2
?4ac?0
时，图象与X轴没有交点。
26、指数运算与指数函数：

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①指数的性质与运算法则：
a
m
?a?a
nm?n< br>a
m
n
m?n
nn
m
n
mn
； < br>n
?a
；
?
a
?
?a
；
?
ab
?
?ab
；
a
；②根式的性质：
n
a
n
?
a
?
??
?
n
?
b
?b
n
n
n
；
a?1(a?0)
a
0
? n
1
?
n
a
a?a
m
m
n
；(
n
a)
n
?a
；
?
a,(n是奇数时）
a?
?
；
a,(n是偶数时）
?
y?a
x< br>(a?0,a?1)
叫做指数函数。 ② 指数函数的定义：函数
③指数函数的图象和性质：

图


象


性


质
当
x当
x
（2）图象都经过点
(0,1)
，即当
x
（1）定 义域为
R
，值域为
(0,??)
。
a?1

0?a?1


?
0时，
y?
1。
当
x?0
时，
y?1
；
?0
时，
0?y?1
。
?0
时，
0?y?1
；
?0
时，
y?1
。 当
x
在
?
??,??
?
上是 增 函数。 在
?
??,??
?
上是 减 函数。
27、对数运算与对数函数：
①指数与对数的相互转化：
a
x
?N
?
x?log
a
N
（其中
a?0
且
a?1
），读做以
a
为底
N
的
?0
；
a?1
；零和负数没有对数。
55
对数，其中
a
叫底数，
N
叫真数，且
N②对数基本性质：
log
a
1?0
；
log
a

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③运算性质：
(a?0,a?1,M?0,N?0)

M
)?log
a
M?log
a
N
；
N< br>log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
；
log
a
(
log
a
M
n
?nl og
a
M
④对数恒等式：（
a

N
。（这些性质均保持底数不变）
?0
且
a?1
，
M?0,N?0,b?0,b?1
）
?a
b
?b?log
a
N
；
a
log
a
N
?N
；
log
a
a
n
?n< br>。
⑤对数的换底公式：
log
a
b?
log
cb
(c>0,c?1)
；
log
a
b?log
b
c?log
a
c
（取头取尾去中间）；
log
c
a
N
简记为
lgN
； ⑥特殊的对数：常用对数（以10为底的对数），
log
10
自然对数（以无理数
e?2.71828???
为底的对数），
log
e⑦对数函数：（1）定义式：函数
N
简记为
lnN
；
y?log
a
x(a?0,a?1)
叫做对数函数。
（2）对数函数的图象和性质：


图


象


性


质
当
x
（2）图 象都经过点
(1,0)
，即当
x
（1）定义域
(0,??)
，值域为
R
。
a?1

0?a?1


?
1时，
y?
0。
?1
时，
y?0
；
x?1
时，
y?0
。
当
x?1
时，
y?0
；
x?1
时，
y?0
。
66
当
0?

当
0?

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在
?
0,??
?
上是 增 函数。 在
?
0,??
?
上是 减 函数。
28、幂函数
①幂函 数的定义：形如
②性质：当
?
y?x
?
的函数叫做幂函数（
?
为常数，
x
是自变量）。
?0
时，幂函数图象都过点
( 0,0),(1,1)
点、且在第一象限都是增函数；当
?
?0
时，
幂函数图象总是经过点
(1,1)
点、且在第一象限都是减函数。
29、函数与方程 的关系：（1）函数的零点的概念：对于函数
实数
y?f(x)
，我们把使方程
f(x)?0
的
x
叫做函数
y?f(x)
的零点。即函数
y?f(x)
有零点
?
方程
f(x)?0
有解
?
函 数
（结合函数的图象用数形结合法求解）
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点。
（2）零点存在的条件：如果函数
在区间
y?f(x)
在区间?
a,b
?
上的图象是连续的曲线，则函数
y?f(x)
f(b )?0
；
?
a,b
?
上存在零点的条件是
f(a)
（3）求函数
y?f(x)
零点的方法：①直接解方程
f(x)?0
；②利 用图象求其与
x
轴的交点（交点
f(x)?0
变为两个函数，通过图象看它们 的交点情况（同时可以知道的横坐标即是零点）；③将方程
零点的个数）；④可通过二分法求函数的零点 的近似值。
结束语：希望同学们认真复习，争取在期中考试中取得好成绩，开心过好高一每一天！
请记住：不拼不博，等于白活；付出才有回报！！
祝大家学习进步！！！


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