高一数学必修一全册知识点定义公式定理

高一数学必修一全册知识点（定义、公式、定理）
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西
洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内
表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分， ；（2）A与B是同
一集合。
?
B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
?
A 或B
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
2
实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记
作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1
? 有n个元素的集合，含有2
个子集，2个真子集
1 7

三、集合的运算
运算交 集
类型
定
由所有属于A且属
义
于B的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交集 ．记作A
?
B（读
作‘A交B’），即
A
?
B=｛x|x< br>?
A，且
x
?
B｝．
韦
恩
图
示
并 集
由所有属于集合A或
属于集合B的元素所
组成的集 合，叫做A,B
的并集．记作：A
?
B
（读作‘A并B’），即
A< br>?
B ={x|x
?
A，或
x
?
B})．
补 集
设S是一个集合，A是
S的一个子集，由S中
所有不属于A的元 素组
成的集合，叫做S中子
集A的补集（或余集）
记作
C
S
A
，即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

S

(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．
A
B
A
B
A

图1

图2
A
?
A=A
性
A
?
Φ=Φ

A
?
B=B
?
A

A
?
B
?
A

质
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若 集合M={y|y=x-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
2
4.设集合A=
x1?x?2
，B=
xx?a
，若A
?
B，则
a
的取值范围是
?
?
?
?
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化
学 实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若
B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

2222

2 7

二、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对
应关系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯一
确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B< br>的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的
取值范围A叫做函数的 定义域；与x的值相对应的y值叫做函数
值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么，它
的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数
值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标，函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
y)的集合C，叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象．C上每一点的坐标
( x
，
y)
均满足函数关系
y=f(x)
，反过来，以满足
y =f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐标
的点
(x
，< br>y)
，均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对
3 7

应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯
一确定的元素y与之对应，那么就称 对应f：A
?
B为从集合A到
集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）
?
B（象）”
对于映射
f
：
A
→
B
来说，则应满足：
(1)集合
A
中的每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并
集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)
称为f、g的复合函数。

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y =f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那
么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的 单调增区
间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，
都有f(x
1
)< br>＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区 间D
称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数
的 图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x，x∈D，且x○
2 作差f(x)－f(x)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
1212
12
12
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调 性与构成它的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的
单调性密切相关， 其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调
4 7

性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－
x) =f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有f(－x)=
—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，
○
则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则
f(x)是奇函数．
注意：函数定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条
件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数 是
非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的
图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数 的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间
的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二 是要求出函
数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f(x )在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调
递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值 f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调
递 增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
5 7

⑴
y?
x?1
2

x
2
?2x?15
⑵
y?1?()
x?1
x?3?3
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]
，则 函数
f(x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f (x?1)
的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)
的定义 域是
?
x?2(x??1)
?
4.函数 ，若
f(x)?3
，则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

f(x)
，
f(2x?1)
的解析式 6.已知函数
f(x?1)? x
2
?4x
，求函数
7.已知函数
f(x)
满足
2 f(x)?f(?x)?3x?4
，则
f(x)
= 。 < br>8.设
f(x)
是R上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3
x)
,则当
x?(??,0)
时

f(x)
=
f(x)
在R上的解析式为
?x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1

9.求下列函数的单调区间：
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y?
10.判断函数
y ??x
3
?1
的单调性并证明你的结论
．
11.设函数
f (x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证：
1
f()??f(x)
．

2
1?x
x




第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数< br>y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫 做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f (x)
的零点就是方程
f(x)?0
实
数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实 数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交
点?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
○
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质找 出零点．
6 7

4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
（1）△＞０，方程
a x?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的
图象与
x
轴有两个交点，二次函 数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相等实根，二次函数的
图象与
x
轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜ ０，方程
ax?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函 数无零点．
2
2
2
2
5.函数的模型


















收集数据
画散点图
不
符
选择函数模型
合
实
际

求函数模型
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题
7 7