高中数学必修1函数及其表示题型总结

函数及其表示

求定义域的几种情况

R；

考点一



①若 f(x) 是整式，则函数的定义域是实数集


②若 f(x) 是分式，则函数的定义域是使分母不等于


0 的实数集；

0 的实数集合；

③若 f(x) 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于

④若 f(x) 是对数函数，真数应大于零。


⑤. 因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。


⑥若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；


⑦若 f(x) 是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题


考点二



映射个数公式


m

Card(A)=m,card(B)=n, m,n

方法技巧清单


方法一

函数定义域的求法




N
,则从 A 到 B 的映射个数为
n













。简单说成“前指后底” 。













1．（2009 江西卷文）函数
y



x
4, 0)

得

2

3x

4

x



的定义域为



（


）











A．
[ 4,1]

解析



B．
[

C．
(0,1]

D ．
[

4, 0) (0,1]





由

x

0

x
2

4


x 0
或
0


x 1
,故选

D.





3x

4

0










2．（2009 江西卷理）函数
y


ln( x

x
2

1)

的定义域为


()



3x

4


C．
(


A ．
(


4, 1)

由


B ．
(


4,1)



1,1)


D．
( 1,1]

















x

1

0

解析


x

1


4

x

1





x
2
1

x 1




.故选 C



3x

4 0

y


3.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数







1


有相同定义域的是


(


)

x







A .
f (x) ln x







解析 由
y

B.
f ( x)




1


x


C.
f ( x) | x |


D.
f ( x) e
x



1


x


x
可得定义域是

x 0. f ( x )


ln x
的定义域
x


0
；
f (x)








1


x


的定义域是


x
≠

0；

f ( x)

| x |
的定义域是


x R; f (x) e
定义域是

x

4.（2007 年上海） 函数
y

R
。故选

A.

x )

3



lg( 4

x

的定义域是


．答案

x x 4 且 x


3




5.求下列函数的定义域。①

y=
x 2




x 2
.②

y=

x

x

1

x

2
.③y=


x 1 1 x




6.已知函数 f(x) 的定义域为

方法二 函数概念的考察



1,5
，求函数

F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)

的定义域。





5

2

x ln x
1. 下列各组函数中表示同一函数的是（


） A.y=
5

x

和
y

x

B.y=ln
e

y

和
e

1

C.
y


x 1

x 3

x

1


和 y



x 3



D.
y



0

x


和y





1

0
x

2．函数 y=f(x) 的图像与直线

A.0个 B.1个

2
x=2 的公共点个数为

C. 0个或 1个





D. 不能确定






3．已知函数 y=
方法三



2
定义域为
x
分段函数的考察


1,0.1,2

，则其值域为

ⅰ 求分段函数的定义域和值域





2x+2 x


1,0

x



1 求函数 f(x)=









1
x

2

3



0,2






的定义域和值域










































x


2,



2（ 2010天津文数） 设函数
g (x)

9
x

2

2(x

R)
，

f ( x)


)


{

g ( x)

x 4,x g ( x),

g ( x)

x,x


g( x).


（A ）



,0





(1,


)


（ B）
[0,



（C）
[


4

9
,


4


2

，
)

（ D ）



9
则
f (x)
的值域是

,0




(2,

1或
x




)








4


2
2

x

2
2 (x 4), x x
2


x
x

2, x

2




【解析】依题意知


f ( x)

x
2

2 x, x x
2


2


f ( x)



2 x, 1 x 2




ⅱ求分段函数函数值



f ( f (



















3．（2010 湖北文数） 3.已知函数
f ( x)




log
3
x, x

0

2 , x













x



，则
1

9

))



0






















A.4


B.


1

4





C.-4


D-

1




4













【解析】根据分段函数可得


ⅲ解分段函数不等式



f (

1

)


9


log
3

1

9





2

，则
f ( f (

1

))

9



f (

2)

2
2




1

，所以 B 正确.

4



4.（2009 天津卷文）设函数


f ( x)


x
2

4x


6, x

0

6, x


)


x


x

0


则不等式
f ( x)


f (1)
的解集是（


）


A.
( 3,1)

(3,

)


B.
(

3,1)

(2,


C.
(

1,1)

(3,

)


D.
(


, 3)

(1,3)

3,

3



答案 A解析

由已知，函数先增后减再增当

0

，
f ( x)


2

f (1)

3

故
f ( x)


x


x


f (1)

3
令
f (x)


3
，解得

2

解得
x

1, x

3
。当
x


0

，
x 6

f ( x)


3, x

2
x

1或 x

3

5．（2009 天津卷理）已知函数



x

4x,

2
4x

x ,

)



0

若
f (2


a )


0


C
(

f (a),
则实数
a




的取值范围是


A

(

,

1)

(2,


B
( 1,2)


2
2,1)


2

a


D

(

,

2) (1,

)


解析：由题知

f ( x)

在

R

上是增函数，由题得

2

a


a
，解得

1
，故选择

C。


2

1

, x


6.（2009 北京理）若函数
f ( x)




x

0






则不等式
| f (x) |

() , x

3



1
1


x
的解集为 ____________.

0


3



解析 （ 1）由
| f ( x) |

1

x

0


1 1

3 x 0
.（2）由
| f ( x) |
1



x


0

1

x
x

1

0

1

x

1

0 x 1
.


3


3



x

3



3


3

3



3



∴不等式
| f ( x) |

1

的解集为

x |

3

x

1

，∴应填

3,1
.



3



log
2
x, x

0,


7。（2010 天津理数） 若函数 f(x)=

log
1
( x), x

0

,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是



2

（A）（-1，0）∪（ 0，1） （B）（ -∞， -1）∪（ 1,+∞）

（C）（-1，0）∪（ 1,+∞） （ D ）（-∞， -1）∪（ 0,1）


【答案】 C 由分段函数的表达式知，需要对

a 的正负进行分类讨论。



a


0


a<0


a

0


a

0


f ( a)

f ( a)



log

log log
1
或




1


2
a log

1
a

或


1
(

a)


2
( a)


a


2
1
或



-1

a

0




a
a



a


2


2


【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于


0，同事要注意底数在（

0，
等号的方向不要写错。


ⅳ解分段函数方程


8．（2009 北京文）已知函数

3
x
,

x

1,



f ( x)

若
f ( x)

2
，则

x


.



x,

x

1,


.w

解析

5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求


x
的值

.

属于基础知识、基本运算的考查

.



x

1

，
x

1


无解，故应填
由

x

log
3
2



log


3
2
.



3
x

2


x

2

x


2


方法四 求函数的解析式


1． 求下列函数的解析式


① 已知
f x
3
, 求f


1


1
3

( x).



x

x



2

x



②
已知

f


1

lg x，求 f ( x).



x


③

已知 f(x)是二次函数，若

f(0)=0, 且 f(x+1)=f(x)+x+1, 求 f(x).



④

已知 f(x)满足
2 f
x


1



f


3x.

求

f(x).


x


方法五

函数图像的考察








）上时，不

3

1

1. (2009山东卷理 )函数


e
x


e

e

x
x

y

e
x
的图像大致为










(


).











y










y





y









y











1

O

1





1







1









1

O











x







O 1

x



O 1

x



1


x















B











D









A

C


解析 函数有意义 ,需使

e
x

e


x

0
,其定义域为

x | x









0

,排除 C,D,又因为
y







e
e
x
x


e
e

x
x



e
2 x
e
2 x

1

1

1



2

,所以当
x 0

e
2x

1

时函数为减函数 ,故选 A.

2（. 2009

广 东 卷 理 ）已知甲、乙两车由同一起点同时出发

,并沿同一路线 （假定为直线） 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为
v
甲
和v
乙

2
所示）．那么对于图中给定的
（如图

t
0
和 t
1

，下列判断中一定正确的是


（

）










A. 在
t
1
时刻，甲车在乙车前面


C. 在
t
0
时刻，两车的位置相同


B.
t
1
时刻后，甲车在乙车后面


D.
t
0
时刻后，乙车在甲车前面




解析

则在

由图像可知，曲线

v
甲

比
v
乙

在

0～
t
0

、0～
t
1

与
x
轴所围成图形面积大，



















t
0











y




、
t
1

时刻，甲车均在乙车前面，选


A.



P(x, y)



3.（2009 江西卷文）如图所示，一质点


P(x, y)
在
xOy
平面上沿曲线运动，

















速度大小不变，其在

大致为








x
轴上的投影点

Q( x,0)

的运动速度

V

V (t )
的图象








O


Q( x,0)











x

(

)






V (t)



V (t )




V (t )



V (t )





A

B


C

D




O



t


O







t

O








t

O


t


解析 由图可知，当质点
P( x, y)
在两个封闭曲线上运动时，投影点

Q( x,0)
的速度先由正到

0、到负数，再到

0，到正，故
A
错误；

质点
P( x, y)
在终点的速度是由大到小接近

此
C
是错误的，故选


0，故
D
错误；质点
P( x, y)
在开始时沿直线运动，故投影点



















Q( x,0)




的速度为常数， 因

B
.


x

4（ 2010山东理数） (11)函数
y
=2 -
x

的图像大致是







2

4

【解析】因为当 x=2 或 4 时， 2
-


x
x

=0

，所以排除

B
、
C
；当

x=-2

时，

2

-

x

=


2
x
2

1

4<0
，故排除

D，所以选

A。

4



5（ 2010安徽文数） 设
abc






















0
,二次函数

f ( x)

ax
2

bx c
的图像可能是

【解析】当
a


0
时，
b
、

c

同号，（C）（D

）两图中
c


0
，故
b

0,


b

2a





0
，选项（

D

）符合














【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分

标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

方法六 映射概念的考察


2
a







0
或
a

0

两种情况分类考虑 .另外还要注意













c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐










1． 设
f
:
x


x
A.

是集合 A 到集合 B 的映射，如果 B=
1,2

B.
1

C.

或

，则 A∩B=（ ）

或








2

D.

1


2集合 M=

a,b, c
，

N=

B.5C. 6


1,0.1


映射 f:
M

D. 7


N
满足

f(a)+(b)+f(c)=0,

那么映射 f:
M











N
的个数是（










）

A.4


3集合 M=

a,b, c
到集合

N=


1,0.1
一共有


个不同的映射。


2
方法七函数值域和最值的求法


1．利用二次函数在有限区间上的范围求值域

1
求函数 y=


x





6x

5
的值域




2．分离常数法


求函数 y=

3x


x 2


的值域


3．换元法




求函数 y=

4．数形结合法



求函数 y=

x 4 1 x
的值域



x 1 x 4
的值域


2

5．判别式法


求函数 y=


2
x

2

x


2

的值域













x

x

1


方法八

5

函数奇偶性和周期性的考察


1.（2009 全国卷Ⅰ理）函数

f ( x)
的定义域为

R，若
f ( x

1)
与
f ( x


1)
都是奇函数，则

(

)


A.
f ( x)
是偶函数


B.
f (x)
是奇函数


C.
f ( x)

f ( x 2)


D.
f (x


3)

是奇函数


答案

D 解析

f (x

1)

与
f ( x 1)

都是奇函数，


f ( x 1)

f ( x 1), f ( x 1)

f ( x 1)
，



函 数
f (x)
关 于 点
( 1 , 0
，
)
及 点
(


1 , 0
对
)
称 ， 函 数
f ( x)
是 周 期
T

2 [ 1

数 .


f ( x

1

4)
，


f (x

1

4) f ( x


3)


f ( x


3)
，即
f (x

3)
是奇函数。故选

D


2.(2009山东卷理 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=

log
2

(1

x), x

0

，




f (x


1)

f ( x


2), x

0


则 f（ 2009）的值为


(

)


A.-1


B. 0


C.1


D. 2


答案

C 解析

由已知得
f (

1)

log
2
2 1

,
f (0)


0
,
f (1)

f (0)

f ( 1)

1
,


f (2)


f (1)

f (0)

1

,
f (3)

f (2)

f (1)


1

(

1)


0
,


f (4)


f (3)

f (2)

0

(

1)

1

,

f (5)

f (4)

f (3)

1

,

f (6)

f (5)

f (4)

0
,


所以函数 f(x)的值以 6

为周期重复性出现

.,所以 f （ 2009）= f （ 5） =1,故选 C.


3.（ 2009

江西卷文）已知函数

f ( x)
是
(


,

)
上的偶函数，若对于

x

0
，都有
f ( x

2）

f ( x)
，且当
f ( x)

log
2

(x

1）


f (

2008)

f (2009)



，则


的值为



（


）


A ．
2


B．
1


C．
1


D．
2


答案


C 解析

f (

2008)

f (2009)

f (0)


f (1)

log
1
2


log
2
2

1
,故选

C.


方法九

函数奇偶性和对称性考察


x

2

的图像


（

）


1.（2009 全国卷Ⅱ文）函数
y

log
2

2

x


（A ） 关于原点对称


（B）关于主线
y


x
对称


（C） 关于
y
轴对称


（ D ）关于直线
y

x
对称


答案 A 解析 由于定义域为（ -2，2）关于原点对称，又


f(-x)=-f(x) ，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选

A。

4
x


1


2．（2010 重庆理数） (5)

函数
f

x


的图象



2
x


A. 关于原点对称

B. 关于直线 y=x 对称


C. 关于 x 轴对称


D. 关于 y 轴对称














( 1)]
的周期函












[0, 2)
时，
















6
x

解析：

f (

x)




4
x



1


1

2
x
4

x


2
x
f (x)







f ( x)
是偶函数，图像关于













y 轴对称





































方法十


函数奇偶性和单调性的考察

1.(2009山东卷文 )已知定义在 R 上的奇函数



f ( x)
，满足
f (x


4)


(

B.

).


f (x)
,且在区间

[0,2]上是增函数

,则





A.
f (

25)

f (11)

f (80)

f (80)


f (

25)


f (80)

f (

25)

f (11) f (

f (80)

25)

f (11)


C.

f (11)



D.


答案


D 解 析 因 为
f ( x)
满 足
f ( x 4)

f ( x )
,

所 以
f ( x 8)

f (3)


f ( x )
,

所以 函数是 以

8

为周 期的周 期 函 数

,

则

f (

25)

f (80)



f (

f (0)


1)
,

f (80)

0



f (0)


,

f (11)


,

又 因 为

f ( x)
在

,

而

R 上是奇函数，

f (0)

f (

x

4


0

)

, 得

f (

25)

,

f (

1)

f (1)




f

由


得

f (11)


即
f (3)

f ( 3)


f (1


4)

f (1)
,又因为
f ( x)
在区间

[0,2]上是增函数

,所以
f (1)

f (0)

0

,所以

f (1)

0
,

f (

25)

f (80)

,
故选
D.
f (11)


2.（2009 全国卷Ⅱ文）设

（ A）
a b c

答案



a

lg e,b (lg e) , c

lg

e,
则

（B）
a c b


（C）
c a

2

（


）




































b
（

D

）
c b a

B 解析



本题考查对数函数的增减性，由


1>lge>0, 知 a>b,又 c=


1

lge, 作商比较知 c>b,选 B。

2



3.（2009 辽宁卷文）已知偶函数













f ( x)
在区间

0,





)
单调增加，则满足


f (2 x

1)
＜
f ( )
的

x

取值范围是



















1










3
















12

12
3

3


(


12
3


)


12
2


（A）（，）


答案



B.［， ）








C.（，）


D.［，）



3

3


A


2




3


1
3

2
3

解析



由于 f(x) 是偶函数 ,故 f(x) ＝f(|x|)

∴得 f(|2x － 1|) ＜f(




1

3


),再根据 f(x)的单调性得 |2x －1| ＜


1

3

解得

＜x＜



f ( x
2
)

f ( x)
满足：对任意的

x
1
, x
2


f ( x
1
)

0
.则

()


4.（2009 陕西卷文）定义在 R 上的偶函数



[0,





)( x
1

x
2
)
，有


x
2

x
1






(A)

f (3)

f ( 2)

A

f ( 2)

f (1)

由

f (1)

f (3)

B.

f (1)

f (3)

f ( 2)

f (1)

f (3)


f ( 2)

f (x
2
)






C.

D.


答案

解析
( x
2

x
1
)( f ( x
2

)

等价，于

f ( x
1
))

0
f ( x
1
)

x
1

0
则

f ( x)
在

x
2








x
1
, x
2
( ,0]( x
1

x
2
)
上单调递增

,

又

f ( x)

是偶函数

,故

f ( x)

在

7

x
1
, x
2

(0,

f (3)

f (

2)

]( x
1

x
2
)
单调递减

.且满足

n

f (1)
,故选

A.


N
时

,
f (


*
2)


f (2)
,

3>2

1 0
,得


5.(2009陕西卷理 )定义在 R 上的偶函数

的
f ( x)
满足：对任意


x
1
, x
2

(

*
,0]( x
1

x
2
)
，有
(x
2

x
1
)( f ( x
2
) f ( x
1
))

0
.




则当
n

N

时,有

n)

f (n

(

)

(A)
f (

1)

f ( n

1)


B.
f (n

D.
f (n



1)

f (

n)

f (n

1)

f (

n)

f

( x
1
))



1)

f ( n )f (n 1)


0



C. C.
f (n

答案C


1)

f (

n)

f (n

1)

解析：

x
2


1)

f ( n

1)

x
2
)

( x
2

f ( x) 在 (

]为减函数

f ( n )

f ( n





x
1
, x
2

x
1
时，

(


, 0](

x
1

x
1
)( f ( x
2
)


1)

f

( x
2
)

f ( x
1
)

1)

, 0] 为增函数


f ( n



而 n+1>n>n-1>0,


f ( x ) 为偶函数

f ( x )在 (0，

f ( n

6.（2009 江苏卷）已知
a


5

1

，函数
f ( x)

a
，若实数
m
、
n
满足

f (m)

f (n)
，则

m

、

n

的大小关系为

2


x
x
.






解析



a

5 1

(0,1)

，函数
f (x)

a
在

R

上递减。由

f ( m)

2






f ( n)
得：

m





7．（2010 安徽文数）（ 7）设
a

（ ）

, b

3

5

5
2
（



）， c （

2

5
5

3
2

5
2
）
，则 a， b，c 的大小关系是



5



（A ） a＞ c＞ b


（B ）a＞ b＞c

5
2
（ C） c＞ a＞ b



（D ）b＞c＞ a


7.A【解析】
y




x
在

x

0
时是增函数，所以


a c
，

y

( )
在
x

0
时是减函数，所以
c b
。


2
x
5




方法十一抽象函数的解法

1.（ 2009 四川卷理）已知函数

f ( x)

是定义在实数集

R
上的不恒为零的偶函数，且对任意实数







x
都有

xf ( x 1)





(1 x) f (x)
，则


f ( f ( ))
的值是

2


A.0



5
















(



)











5














B.

1

2




C.1


D.








2

)

1


答案


A 解析


令


x


1

，则


2

1

1


1

f (

)

f (

2

2


2


1

2

)

1

2

f (

1

2



f ( ) 0

；令
x

0
，则
f (0)


0

2





由
xf ( x 1)


(1

x) f ( x)
得
f ( x 1)


x

1

f ( x)
，所以



x
















f ( )

5

2


5


2

f (

3

)

3


2

2


5

3


f (

3

)

3

5

2

3

1

2



f ( )

1

2



0



2








f ( f (

5

2


))



f (0)

0
，故选择

A。











2.(2009 山东卷理 )已知定义在


R 上的奇函数

f (x)
，满足
f (x

4)


f ( x)
,且在区间

[0,2]上是增函数

,若方程

f(x)=m(m>0)

在区间

8

8,8

上有四个不同的根

x
1
, x
2
, x
3
, x
4

,则
x
1

x
2
x
3
x
4

_________.

答案

-8 解析

因为定义在 R 上的奇函数，满足


f ( x

4)

4)

所以
f ( x)
,
f (x

4)

f (

x)
,所以

,

由
f (x)
为奇函数

,所以函

8

为周期的周期函数

,又因为

数图象关于直线
x

2
对称且

f (0)

0
,

由
f (x

f ( x)
知
f ( x

8)

f (x)
,所以函数是以

f ( x)
在区间

[0,2]上是增函数

,所以
f

( x)
在区间

[-2,0]上也是增函数

.如图所示

,那么方程

f(x)=m(m>0) 在区间

8,8

12

上有四个不同的根
















x
1
, x
2
, x
3
, x
4

,不妨设
x
1

x
2

x
3

x
4

由对称性知
x
1

x
2

12 x
3

x
4
4

所以
x
1

x
2

x
3

x
4

4

8

y

f(x)=m (m>0)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

方法十二

对数函数的考察


3（ 2010全国卷 1 文数） (7)已知函数
f (x)

(A)
(1,

| lg x |
.若
a

)

(D)

b
且，
f (a)

f (b)
，则
a

)


b
的取值范围是



)


(B)
[1,

)
(C)

(2,

[2,


C【命题意图】做本小题时极易忽视


a的取值范围，而利用均值不等式求得








a+b=
a


1

a

2
,从而错选

D,【解析

1】因为

f(a)=f(b),

所以


|lga|=|lgb|,

所以 a=b(舍去 )，或
b


1


a


，所以 a+b=

a


1

a


又 0f (a)







a



1

a


由“对勾”函数的性质知函数
f (a)





在
a


(0,1)上为减函数，所以

f(a)>f(1)=1+1=2,

即 a+b 的取值范围是 (2,+∞ ).


f a f b



【解 析 2 】由 0

( )=


1 b

( )得：



0

a

1






1 y


0

x 1

z x y




，利用线性规划得：





，化为求



的取值范围问题，

ab

1

y





xy

1




z x


y


yx


z
，
y

1

x



1

x
2
1


过点
1,1

时 z 最小为 2,∴ (C)


(2,


)


4（ 2010全国卷 1

理数）（ 10）已知函数
f
(
x
)=|lg
x
|.

若 0f
(
a
)=
f
(
b
),则 a+2b 的取值范围是

(A)
(2


















2,

)

(B)
[2

2,

)

(C)
(3,


)
(D)
[3,

)


方法十三函数创新题的解法

1.(2009 浙江理）对于正实数


， 记
M


为 满 足 下 述 条 件 的 函 数
f ( x)
构 成 的 集 合 ：

x
1
, x
2

(

R
且
x
2

x
1

， 有

( x
2
x
1
) f ( x
2
) f (
1
x )
( x
2




x
1
)

．下列结论中正确的是

)



9

A．若
f (x)

B．若
f (x)


M

1

，
g(x)

M

2

，则
f ( x)

g ( x)

M
1

f ( x)

g( x)


2
























M
1

，
g( x)

M

2

，且
g( x)

0
，则


M

1
2
C．若
f (x)

D ．若
f (x)

答 案


M

1
g (x)

M
1
g( x)

解 析


，
M

2

M


，则
f ( x)

1
g( x)


M
1

2


2










，，则
2
，且

f ( x)

g (x)


M

1 2

C


对 于


(x
2


x
1
)


f ( x
2
)


f (
1
x )


(
2
x



x )

， 即 有


f ( x
2
)

x
2

f ( x
1
)

x
1


， 令



f (x
2
)


f (x
1
)

x
2





x
1

2
k
，有



k


，不妨设

f ( x) M


1

，
g ( x)


M
2

，即有


1

k
f

1 2

,
k
g


2
，因此有

1
k
f


k
g


1

2

，因此有
f ( x)

g( x)

M


．
1
2

2.（ 2009福建卷理） 函数
f (x)




ax

bx c(a


2
0)
的图象关于直线
x





b

2a




对称。据此可推测， 对任意的非零实数

















a，b，c，m，





n，p，关于 x 的方程
m


f ( x)


nf ( x)

p


0
的解集都不可能是


(

)


A.

1,2

D 解析


B

1,4

2

C

1,2,3,4


D
1,4,16,64


答案


































































对方程
m[ f (x)]
nf (x)

P

0
中

m,n, p

分别赋值求出

f ( x)
代入
f ( x)

0
求出检验即得

.


10